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31. © Ministère de l'enseignement supérieur et de la recherche 2013 http://www.enseignementsup-recherche.gouv.fr. Mathématiques PCSI. 1/32. Page 3. Le

MATHÉMATIQUES DISCRÈTESMathieu SABLIK

Table des matières

I Introduction à la théorie des ensembles

I.1 Notions sur les ensembles

5 I.1.1 Construction par extension et compréhension 5

I.1.2 Principales règles de fonctionnement

I.1.3 Représentation

I.2 Sous-ensembles

I.2.1 Inclusion

I.2.2 Ensemble des parties

I.3 Opérations sur les ensembles

I.3.1 Union et Intersection

I.3.2 Différence et complémentaire

I.3.3 Produit cartésien

II Notions sur les langages

II.1 Exemples de problèmes

II.2 Mots sur un alphabet fini

II.2.1 Un peu de vocabulaire

II.2.2 Propriété d"équidivisibilité

II.3 Langage

II.3.1 Définition et exemples de langages

II.3.2 Opérations sur les langages

II.3.3 Equations sur les langages

III Fonctions et applications

III.1 Premières notions

III.1.1 Définition

III.1.2 Modes de représentation

III.1.3 Composition de fonction et d"applications

III.1.4 Applications singulières

III.2 Propriétés sur les fonctions

III.2.1 Injection et surjection

III.2.2 Bijection et application réciproque

III.3 Quelques classes importantes de fonctions

III.3.1 Fonction caractéristique d"un ensemble

III.3.2 Suites

IV Cardinalité21

IV.1 Cardinalité des ensembles finis

IV.1.1 Ensembles de même cardinalité

IV.1.2 Cardinal d"un ensemble fini

TABLE DES MATIÈRES2

IV.1.3 Principe des tiroirs

IV.2 Dénombrement

23
IV.2.1 Dénombrement et opération sur les ensembles 23

IV.2.2 Arrangements et combinaisons

IV.3 Cas des ensembles infinis

29
IV.3.1 Définition et premiers exemples d"ensembles dénombrables 29

IV.3.2 Critères de dénombrabilité

IV.3.3 Ensembles non dénombrables

31
31

V Relations sur les ensembles

V.1 Vocabulaire des relations

V.1.1 Définition

V.1.2 Modes de représentations

V.1.3 Quelques notions proches

V.2 Propriétés sur les relations

V.3 Relations d"équivalence

V.3.1 Définition et exemples

V.3.2 Classes d"équivalence et partition

V.3.3 Ensemble quotient

VI Relations d"ordre

VI.1 Premières notions

VI.1.1 Définition

VI.1.2 Exemples de relations d"ordre classiques

VI.1.3 Mode de représentation

VI.1.4 Fonctions croissantes et décroissantes

VI.2 Bornes d"un ensemble

VI.3 Induction

VI.3.1 Ordre bien fondé

42
VI.3.2 Application à l"étude de la terminaison d"algorithme 42
VI.3.3?et le principe de récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

VI.3.4 Principe d"induction

VI.3.5 Définition inductive

VIIQuelques problèmes sur les graphes

VII.1Différents problèmes à modéliser

VII.2Premières propriétés

VII.2.1 Graphe orienté ou non

VII.2.2 Isomorphisme de graphe

VII.2.3 Degré

VII.3Quelques classes de graphe importantes

VII.3.1 Graphes isolés

VII.3.2 Graphes cycliques

VII.3.3 Graphes complets

VII.3.4 Graphe biparti

VII.3.5 Graphes planaires

VII.3.6 Arbres

VII.4Problèmes de coloriages

VII.4.1 Position du problème

VII.4.2 Exemples d"applications

VII.4.3 Nombre chromatique de graphes classiques

VII.4.4 Comment calculer un nombre chromatique?

VII.4.5 Résolution algorithmique

VII.4.6 Cas des graphes planaires

3Table des MatièresVII.5Problèmes de chemins dans un graphe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

VII.5.1 Définitions

VII.5.2 Connexité

VII.5.3 Chemin Eulérien

VII.5.4 Chemins hamiltonien

TABLE DESMATIÈRES4

ChapitreIIntroduction à la théorie des ensembles I.1

Notions sur les ensembles

I.1.1

Construction par extension et compréhension

Intuitivement, unensembleest une collection d"objets deux à deux distincts appeléséléments.

On peut définir un ensemble de deux manières : en extension: on donne la liste exhaustive des éléments qui y figurent;

en compréhension: on donne les propriétés que doivent posséder les éléments de l"ensemble.

ExempleI.1.Voilà quelques exemples d"ensembles d"élèves : -fPierre; Paul; Marieg, on donne les trois éléments qui définissent l"ensemble; -félèves de la classe qui ont les yeux bleusg; -félèves qui viennent en cours en pyjamag, mais cet ensemble est certainement vide! ExempleI.2.Dans votre scolarité vous avez rencontré certains ensembles classiques de nombres : -?=f0,1,2,3,...gest l"ensemble des nombres naturels;quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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