[PDF] Chapitre 7 : Polynome caract´eristique valeurs propres

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Chapitre 7 : Polynˆome caract´eristique, valeurs propres,espaces propresL1-Math2B : Mme Moser-Jauslin : Cours 11-12 D´efinition.Soitf:E→Eun endomorphisme d"unK-espace vectorielE. On dit queλest une valeur propre defs"il existeu?E,u?= 0 tel quef(u) =λ·u. On dit queuest vecteur propre de valeur propreλ. SoitEλ={vecteurs propres de valeurs propresλ} ? {0}. Siuest un vecteur propre def, alors le sous-espace vectorielV ect(u) eststableparf. Autrement dit f(V ect(u)) =V ect(u). La direction deuest pr´eserv´ee parf. Proposition 1.Soitf:E→Eune application lin´eaire avec valeur propreλ. AlorsEλest un sous-espace vectoriel deE, etdim(Eλ)≥1.

D´emonstration.On montre que

•Eλcontient le vecteur 0;

•Siu1,u2?Eλ, alorsu1+u2?Eλ; et

•Siu?Eλ, et sia?K, alorsau?Eλ.

Par d´efinition,Eλcontient 0. Siu1etu2?Eλ, alorsf(u1+u2) =f(u1) +f(u2) =λu1+λu2= λ(u1+u2). Doncu1+u2?Eλ. En plus, siu?Eλeta?K, alorsf(au) =af(u) =a(λu) =λ(au).

Doncau?Eλ.

On a donc montr´e queEλest un sous-espace vectoriel. En plus, par d´efinition, commeλest une valeur

propre def, il existe un vecteur propre de valeur propreλ. Autrement dit,Eλcontient un ´el´ement

non nul. Ceci implique quedim(Eλ)≥1. D´efinition.Eλestl"espace proprede valeur propreλ.

Remarque.Siλ,μsont deux valeurs propres defqui sont distinctes, alorsEλ∩Eμ={0}. Autrement

dit,Eλ+Eμ=Eλ?Eμ. D´efinition.Spec(f) ={λ?K|λ est une valeur propre de f}. (Spec(f) = lespectre def). On va d´efinir maintenant les valeurs propres et vecteurs propresdes matrices. SoitBune base deE, etA=Mat(f;B). On dit queλest valeur propre deA siλest valeur propre def. Soitu?E, etX=Mat(u;B). On dit queXest vecteur propre de valeur propreλdeAsiu est vecteur propre de valeur propreλdef.

Remarque.Autrement dit,

λest valeur propre de la matriceAde vecteur propreXsi et seulement siAX=λX.

Les r´esultats suivantes donnent une m´ethode pour d´eterminer les valeurs propres d"un endomorphisme

ou d"une matrice, en utilisant lepolynˆome caract´eristique. Proposition 2.SoitEunK-espace vectoriel de dimensionnde baseB. Soitf:E→Eun endormor- phisme etA=Mat(f;B). Alorsλest valeur propre def(et deA) si et seulement sidet(f-λid) = 0. Cette condition est ´equivalente `adet(A-λIn) = 0. 20 D´emonstration :Commefest un endomorphisme deE, siλ?K, alorsf-λidest aussi un endomorphisme deE. En plusMat((f-λid);B) =A-λIn.

Commef-λidest un endomorphisme, d"un espace vectoriel de dimension finie, les conditions suivantes

sont ´equivalentes :

•f-λidest un automorphisme;

•f-λidest injectif;

•ker(f-λid) = 0;

•det(f-λid)?= 0;

•det(A-λIn)?= 0.

Soitλune valeur propre defavec valeur propreu. Alorsf(u) =λu, ou bien (f-λid)(u) = 0. Ceci implique queu?ker(f-λid). En particulier,Eλ= ker(f-λid), et doncf-λidn"est pas injectif.

Par l"´equivalence des conditions au dessus, on a : siλest valeur propre, alors det(f-λid) = 0. On a

aussi la r´eciproque : si det(f-λid) = 0, alors il existeu?Edans le noyau. Ce vecteur est vecteur

propre defde valeur propreλ.

D´efinition.(Polynˆome caract´eristique d"une matrice) SoitAune matrice carr´een×navec

coefficients dans un corpsK.Le polynˆome caract´eristique deAest le polynˆome deK[X] donn´e par

det(A-XIn). Notation : Le polynˆome caract´eristique deAest appel´eχA.

Proposition 3.SoientAetBdeux matrices qui sont semblables. Alors les polynˆomes caract´eristiques

AetχBsont identiques.

D´emonstration.SiAetBsont semblables, il existe une matrice inversiblePtel queB=P-1AP. On a aussiB-XIn=P-1(A-XIn)P. Comme le d´eterminant d"un produit est le produit des d´eterminants, on a

B= det(P-1(A-XIn)P)

= det(P)-1det(A-XIn)det(P) = det(P)-1det(P)det(A-XIn) = det(A-XIn) =χA. Remarque.Rappelons que deux matricesAetBsont semblables si elles repr´esentent le mˆeme en-

dormorphisme, par rapport `a deux bases diff´erentes. Autrement dit, soitfest un endomorphisme d"un

espace vectorielE, et soientBetB?deux bases deE. AlorsA=Mat(f;B) etMat(f;B?) sont sem-

blables. Par la proposition 3, elles ont la mˆeme polynˆome caract´eristique. Le polynˆome caract´eristique

d´epende uniquement def, pas de la base. Cette remarque justifie la d´efinition suivante. D´efinition.(Polynˆome caract´eristique d"une matrice) Sif:E→Eest un endomorphisme,

le polynˆome caract´eristiqueχfdefest le polynˆome caract´eristique d"une matriceMat(f;B) pour

une baseBdeE. Autrement dit,χf= det(f-Xid).

Proposition 4.SoitAune matrice carr´ee. Alorsλest valeur propre deAsi et seulement siχA(λ) =

0. En particulier, deux matrices semblables ont les mˆemes spectres.

D´emonstration :Ceci est une cons´equence du fait que le determinant deA-XInest exactement le

polynˆome caract´eristique. Plus pr´ecis´ement,λest racine duχAsi et seulement si det(A-λIn) = 0.

Par la proposition 2,χA(λ) = 0 si et seulement siλest valeur propre deA. On peut alors trouver les valeurs propres deA(et def).

On a aussi vu que, pour chaque valeur propreλ, le sous-espace propre de valeur propreλest le noyau

ker(λid-f). On peut trouver alors tous les espaces propres def.

J"´enonce maintenant un th´eor`eme tr`es utile pour ´etudier des matrices et leurs valeurs propres. Les

cons´equences et la d´emonstration de ce r´esultat vont ˆetre trait´es en profondeur l"ann´ee prochaine, en

21

L2. Pour cette ann´ee, dans les exercices, on va simplement remarquer la validit´e de ce th´eor`eme pour

certains cas. Th´eor`eme. Cayley-Hamilton(sans d´emonstration)SoitAune matrice carr´ee. Alors

A(A) = 0.

(Autrement dit, si on remplace la variableXdu polynˆome caract´eristique par la matrice, on trouve

la matrice 0.) Pour le reste de ce chapitre, on montrera comment trouver des valeurs propres, vecteurs propres, et, en plus, on ´etudiera la notion dediagonalisabilit´ed"une matrice. Notation :SiDest une matrice diagonale de taillenavec termesdisur le diagonal, on noteD= diag(d1,...,dn), i.e., diag(d1,...,dn) =((((((d

10···0

0d20. . 0...0

0···0dn))))))

Exemple 1.SoitD?Mn(R) une matrice diagonaleD=diag(d1,...,dn). AlorsχD=?ni=1(di- X). Les racines de ce polynˆome sont exactement{d1,...,dn}. Donc le spectre deDest l"ensemble {d1,...,dn}. Soitf:Rn→Rnl"application lin´eaire telle queMat(f;C) =D, o`uCest la base canonique deRn.

(I.e.,f(v) =D·v.) Chaque ´el´ementeide la baseC. deRnest un vecteur propre de valeur propredi.

deR2, etAθ=Mat(fθ;C) est de la forme : A

θ=?cosθ-sinθ

sinθcosθ?

On trouveχfθ=χAθ=X2-2cosθ+1?R[X]. Siθ= 0, alorsf0=id, et l"unique valeur propre est

1, avecE1=R2. Siθ=π, alors l"unique valeur propre est-1, etE-1=R2. Siθn"est pas un multiple

deπ, alorsfθ(etAθ) n"a pas de valeurs propres r´eelles. (Ceci correspond au fait queune rotation

ne preserve pas une direction. Sifθavait un vecteur propreu, la droite engendr´e parudevrait ˆetre

stable parfθ. Commefθest une rotation, il ne preserve pas une droite quandθn"est pas un multiple

deπ.)

Exemple 3.SoitA=?1 21 0?

, etf:R2→R2donn´e parf(v) =Av. AlorsχA(X) = (X2-X-2) = (X-2)(X+1). Le spectre deAest{2,-1}. On sait que dim(E2)≥1, et dim(E-1)≥1. En particulier, dim(E2?E-1)≥2. MaisE2?E-1?R2. Donc l"unique possibilit´e est : dim(E2) = 1 et dim(E-1= 1. On va trouver maintenant les espaces propresE2estE-1. Le vecteurv=?x y? ?E2si et seulement si :A?x y? = 2?x y? . Donc on se ram`ene `a la r´esolution d"un syst`eme lin´eaire homog`ene. On trouve : ?x y? ?E2si et seulement six= 2y. Donc une base deE2est donn´e par (?21? 22
On trouvera maintenant une base deE-1. Le vecteurv=?x y? ?E-1si et seulement si :A?x y? ?x y? . On trouve :?x y? ?E-1si et seulement six=-y. Donc une base deE-1est donn´e par ?1 -1?

Exemple 4.SoitA=?1 10 1?

, etf:R2→R2donn´e parf(v) =Av. AlorsχA(X) = (X-1)2. Le spectre deAest{1}. On trouve une base deE1: (?10? ), et donc dim(E1) = 1. D´efinition.SoitEunK-espace vectoriel, etfun endomorphisme deE. On dit quefestdiagonali- sables"il existe une baseBdeEtelle queMat(f;B) soit une matrice diagonale. On dit qu"une matrice A?Mn(K) estdiagonalisablesi elle est la matrice d"un endomorphisme diagonalisable (par rapport `a une base quelconque). Autrement dit, Aest diagonalisable si et seulement siAest semblable `a une matrice diagonale. Th´eor`eme.Soitf:E→Eo`un= dim(E)de baseB, et soitfun endomorphisme avecA= Mat(f,B). Alorsf(ouA) est diagonalisable si et seulement si les deux conditions suivantes sont v´erifi´ees :

•Le polynˆome caract´eristiqueχfpeut s"ecrire de la forme?ni=1(λi-X)avecλi?Kpour tous

k; ET •La somme directe des espaces propres est ´egale `aE. D´emonstration :SiAest diagonalisable, il existeP?Mn(K) qui est inversible, tel queP-1AP=D

est diagonale. On aD?Mn(K). DoncDest de la formediag(λ1,...,λn) etλ1,...,λn?K. La matrice

Da le mˆeme polynˆome caract´eristique queA,χA=χD=?ni=1(λi-X). On a donc la premi`ere

propri´et´e. En plus, commeAest semblable `aD, il existe une baseB?deEtel queMat(f;B?) =D. Donc par l"exemple 1, il existe une base deEform´ee de vecteurs propres def, et donc la somme directe des espaces propres estE. La d´emonstration de la r´eciproque est laiss´ee en exercice. Remarque.Le th´eor`eme implique quef:E→Eest diagonalisable si et seulement s"il existe une base deEform´ee de vecteurs propres def.

Diagonalisation d"une matrice

SiAest une matrice carr´ee diagonalisable, alors on donnera une m´ethode pour d´eterminer une matrice

de passageP, telle queP-1APsoit diagonale. (Une telle matrice de passage n"est pas unique!.) Soitf:Kn→Knl"endomorphismef(v) =Av. SoitCla base canonique deKn. (I.e.,A=Mat(f;C).) Etape 1 : Trouver les valeurs propres (c-`a-d. le spectre deA). Etape 2 : Trouver une base de chaque espace propre. CommeAest diagonalisable, la r´eunion de ces bases est une base def, qu"on appelleB?. 23
Etape 3 : SoitPla matrice de passage entre les baseCetB?:P=PB?

C. AlorsP-1AP=Dest une

matrice diagonale.

Consid´erons les exemples pr´ec´edents :

Exemple 1.Une matrice diagonale est diagonalisable.Aest d´ej`a diagonale, donc on peut choisir P=In.

Exemple 2.Siθ= 0 ouθ=π, alorsAest diagonale. Sinon, alorsAn"a pas de valeurs propres r´eelles.

DoncAn"est pas diagonalisablecomme matrice deM2(R). (On peut, par contre, la diagonaliser comme matrice deM2(C), mais pas comme matrice deM2(R).) Exemple 3.On a trouv´e des bases deE2etE-1. SoitB?est la r´eunion de ces bases.B?= (?21? ,?1 -1? ). AlorsP=PB?

C=?2 11-1?

On va v´erifier maintenant queP-1APest diagonale =diag(2,-1). Pest une matrice de taille 2×2, avec d´eterminant =-3. DoncP-1=-1

3?-1-1

-1 2? =((1 313
1

3-23))

On va calculerP-1AP.

Pour faire le produit, on utilise l"astuce de calcule not´e dans le chapitre 4 : On placeP-1`a gauche,

etAen haut. On calcule ainsiP-1A. Apr`es on placePen haut, pour calculer (P-1A)P.

Premi`ere multiplication :

A

P-1P-1A

Continuer `a la deuxi`eme multiplication :

AP

P-1P-1A(P-1A)P.

Autrement dit, on trouve

?1 21 0? ? 2 1 1-1? 1 313
1

3-23))

(2 323
-1 323))
(2 00-1))

Exemple 4.Dans ce cas,An"est pas diagonalisable. On voit ce r´esultat par le th´eor`eme. L"espace

vectorielE1est de dimension 1, et l"unique valeurs propre deAest 1. DoncEn"est pas la somme directe des espaces propres.

Quand une matrice est diagonalisable, les vecteurs propres et valeurs propres nous aident `a visualiser

les applications lin´eaires.

On va traiter le cas de l"exemple 3.

D"abord, on dessine les espaces propres de l"application lin´eairef(v) =Av. On a trouv´e les bases

avant. 24
E2 E-1 (2,1) (1,-1) (1,0)(0,1)

Maintenant, soitv= (x,y) un point du plan. On montrera comment trouver l"imagef(v) g´eom´etriquement.

D"abord on projettevsurE2, parall`element `aE-1pour obtenirw, et on projettevsurE-1pa-

rall`element `aE2, pour obtenir un vecteurw?. (Autrement dit, on a d´etermin´e les uniques vecteurs

w?E2etw??E-1pour quev=w+w?.) •v •w w? On sait quef(w) = 2w,f(w?) =-w?, et doncf(v) = 2w-w?. G´eom´etriquement, on peut dessiner f(v) : 25
•v •w w?

•2w

-w?• f(v) = 2w-w? Etude des matrices 2×2, avec coefficients dansR

Dans les exemples, on a vu plusieurs exemples de matrices deM2(R). Maintenant on va d´ecrire toutes

les possibilit´es pour les matrices r´eelles de taille 2.

SiA?M2(R), alorsχAest un polynˆome de degr´e 2 avec coefficients r´eels. Il a donc 2 deux racines

(complexes), qu"on appelerar1etr2.

On remarque d"abord que :

•r1r2= det(A); et

•r1+r2=tr(A).

3 cas sont possibles :

(i)r1,r2?Rsont distinctes; (ii)r1?C\R, etr2= r1, le conjugu´e complexe der1; ou (iii)r1=r2?R. Cas (i) : Dans ce cas,Aest diagonalisable, et on a deux espaces propres, chacun de dimension 1. (On a vu ce cas dans l"Exemple 3.)

Cas (ii) : Dans ce cas,An"est pas diagonalisable surR, carAn"a pas de valeurs propres r´eelles. (On

a vu ce cas dans l"Exemple 2, o`uθ?= 0 ouπ.

Cas (iii) : Dans ce cas,Aest diagonalisable si et seulement siAest diagonale, ´egale `ar1I2. (Pour

A=I2ouA=-I2, alorsAest diagonalisable. Par contre, dans l"Exemple 4, on a vu un cas de ce type qui n"est pas diagonalisable.)

Dans ce cours, on s"int´eresse surtout sur les cas de matrices diagonalisables, et comment d´eterminer

si une matrice est diagonalisable. L"ann´ee prochaine, on ´etudieraplus profond´ement les cas non dia-

gonalisables.

FIN DU COURS

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