[PDF] [PDF] Fiche 6 : Intervalle de confiance

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H " Kt-t-) 3EnseignementScientifique TerminaleThème 3 : une histoire du vivantFiche 6 : Intervalle de confianceOn s'intéresse à un caractère particulier au sein d'un

e populatio n d e grand e taille

.Mais on ignore la proportion, notée p, des individus ayant ce caractère dans lapopulation et rien ne permet de faire une hypothèse sur la valeur de p.On cherch

e don c estime r ave c u n certai n nivea u d e confianc e quell e valeu r peu

tprendre p en s'appuyant sur la fréquence observée de ce caractère dans un échantillonde taille n sélectionné aléatoirementPOPULATIONp

es t l a proportio n de s individu s ayan

tun caractère donné au sein de lapopulation.ECHANTILLON/ est la fréquenceobservée du caractèredonné pour unéchantillon de taille nLe paramètre p est inconnu.On est dans une situation de problème d'estimationet d1 intervalle de confiance.Définitions :La fréquence observée du caractère dans l'échantillon est :nombre d'individu

s d e l'échantillo n possédan t l e caractèr

ecn, la taille de l'échantillonDans une population, on note p la proportion théorique d'individus ayant un caractère donné.On considère un échantillon de taille

n dan s cett e populatio n e t o n calcul e l a fréquenc e d

ucaractère dans cet échantillon.• Si n > 25 et 0,2 < / < 0,8, alors p appartient à l'intervalle/ = \f ~-=\f + -=\s environ 95 %

de s cas

.L Vn ' VnJ/est appelé intervalle de confiance au seuil de 95 %.• La marge d'erreur est -7=yn2• L'amplitude de cet intervalle est -r=

Exercice 7 : Capture-Marquage-RecaptureOn désire évaluer le nombre N d'individus d'une espèce animale vivant sur une île.Pour cela, on capture 800 individus, ces individus sont marqués, puis relâchés.On recapture ultérieurement 1000 animaux parmi lesquels on dénombre 250 animaux marqués.1) Estimer la taille de cette population animale.2) Déterminer l'intervalle de confiance à 95 % associé à la proportion d'individus marqués dans ia population.3) Déterminer l'intervalle de confiance à 95 % pour la taille de cette population.Exercice 8 : Simulation d'échantillonsDans le nord des Alpes, 30% des renards sont infectés en moyenne par l'échinococcosealvéolaire. A l'aide d'un tableur, on a simulé le prélèvement de 20 échantillons dans lapopulation des renards dans le nord des Alpes et on a représenté graphiquement lesintervalles de confiances au niveau de confiance de 95 % associés.0,50O^ç0,30fi "jçn ^nn i çn miiiiiiL1[4L•iti,ii•,'.i.4 - »-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 201} Que représente l'axe des abscisses ? l'axe des ordonnées ? les triangles de couleur rouge ?2) Quel phénomène explique une telle différence entre les intervalles de confiances ?3) Quel est le pourcentage d'intervalles de confiance ne contenant pas la proportion p de renards infectés parl'échinococcose alvéolaire sur cette simulation . Etait-ce prévisible ?4) Observer tes intervalles de confiance qui contiennent ta proportion p.Cette dernière est-elle au centre de chaque intervalle ? proche de ses extrémités ?Que peut-on en déduire ?Exercice 9 : Vaccinons les chatons !Le coryza du chat est une maladie virale associée à un syndrome respiratoire qui toucheprincipalement les chatons. Pour estimer la prévalence (proportion de sa présence) dans undépartement, on a prélevé un échantillon de 145 chatons : 25 s'avèrent porteurs de cettemaladie.1) Calculer la fréquence observée de chatons porteurs du coryza dans cet échantillon.2) Calculer la marge d'erreur et déterminer l'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % pour l'estimation dela proportion de chatons touchés par cette maladie dans ce département.3) L'amplitude de cet intervalle étant trop important, il est décidé de prélever un autre échantillon. Quelle devrait êtresa taille pour que la marge d'erreur soit proche de 4 % ?

Exercice 10 : Estimer la taille d'une populationUne équipe scientifique souhaite estimer l'effectifd'une population de lions de mer de StellerEumetopîas jubatus, une espèce classée" quasi menacée » par l'organisation UICN.Pour cela, ils ont accès à des données decapture/marquage/recapture dans une zone dunord de l'Océan Pacifique : 57 individus ont étécapturés et marquée lors d'une première étude.Un an plus tard, 48 individus ont été capturésdont 19 marqués.A partir de ces données et après avoir présenté le principe de la technique CMR utilisée, estimer la taille de la populationétudiée.Exercice 11 : La Nouvelle-Zélande face à une espèce invasive : le rat noir Rattus rattus.Dès leur arrivée en Nouvelle-Zélande autour de 1200, les êtres humains y ont introduit de nombreuses espèces. Sansprédateurs naturels, certaines pullulent. Ainsi, de nos jours, ia vallée de l'Orongorongo est confrontée à une invasion derats noirs, que les autorités essaient de limiter. Un site de ta vallée est pris pour étudeDOC1 : Résultats de CMR sur la période 2003-2004 dans la vallée d'OrongorongoIndividus capturés en début de sessionIndividus capturés en fin de sessionIndividus marqués dans la recaptureSession de 2003345226Session de 20042860241) Déterminer la taille de la population au départ de l'étude en 2003.2) Déterminer la taille de la population en 2004.3} Le gouvernement craint une croissance de la population. A l'aide des résultats de l'étude, donner des arguments pourconfirmer ou modérer cette crainte.4) Une ville envisage de lancer une campagne massive de dératisation. Les scientifiques veulent estimer l'impact dupoison sur la mortalité au sein de la population de rats. Sur 200 rats retrouvés morts depuis le début de l'étude, 100présentent des signes d'empoisonnement, soit 50 %.Déterminer si cette fréquence observée est précise à ± 3 % avec un niveau de confiance de 95 %.5) Le gouvernement néo-zélandais considère que cette estimation n'est pas assez fiable.Calculer le nombre de rats devant être échantillonnés pour considérer que cette valeur de 50 % de rats empoisonnéssoit fiable à + 3 % avec un niveau de confiance de 95 %.

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