VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
Cette droite coupe [AC] en H et [AB] en I. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur la droite ( ). On appelle le projeté ...
Amérique du Nord – Juin 2010 – Série S – Exercice Lespace est
b. Déterminer les coordonnées du point O' projeté orthogonal du point O sur le plan (. ) ABC . 3. On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur la
Exercices de mathématiques - Exo7
Donner les coordonnées des milieux A B
GÉOMÉTRIE REPÉRÉE
Déterminer les coordonnées du point H projeté orthogonal de A sur la droite d. Page 4. 4. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques
Calcul vectoriel – Produit scalaire
2 Déterminer les coordonnées d'un point Déterminer les coordonnées du point M tel que AM = ... On appelle H le projeté orthogonal de C sur la droite.
Baccalauréat S Géométrie
Déterminer les coordonnées du point H projeté orthogonal du point F sur le plan P . c. Retrouver le résultat de la question 1. b.
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
Méthode : Déterminer les coordonnées du projeté? orthogonal d'un point sur une droite. Vidéo https://youtu.be/RoacrySlUAU. Dans un repère orthonormé
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
La projection orthogonale de A sur P est le point H appartenant à P tel que la droite. (AH) soit orthogonale au plan P. Propriété : Le projeté orthogonal
11 : DROITES ET CERCLES DANS UN REPÈRE : exercices - page 1
Déterminer les coordonnées de H le projeté orthogonal de C sur (AB). Ex 11-7 : Coordonnées d'un point de projeté orthogonal connu. 1 ) On considère la droite
Méthodes de géométrie dans lespace Déterminer une équation
les coordonnées d'un point du plan et on résout l'équation pour trouver d Soit H(x ;y ;z) le projeté orthogonal de A sur D alors H est sur D et donc.
[PDF] Partie 4 Positions relatives droites et plan projeté orthogonal I
Déterminer les coordonnées du point H projeté orthogonal du point A sur ? 2 En déduire la distance du point A à la droite ? 1er étape : On détermine l'
3 Projection orthogonale - Lelivrescolairefr
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point A(5;1;3) sur le plan P
[PDF] Propriétés de calcul du produit scalaire - Projeté orthogonal
Le projeté orthogonal de M sur la droite (d) est le point H intersection de la perpendiculaire à (d) passant par le point M et de (d) 2) Propriété • Les
[PDF] PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE - maths et tiques
La projection orthogonale de A sur d est le point H appartenant à d tel que la droite (AH) soit perpendiculaire à la droite d 2) Projection orthogonale d'un
[PDF] VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE - maths et tiques
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur la droite ( ) On appelle le projeté orthogonal du point sur la droite ( ) On a :
[PDF] Fiche 7 : Produit scalaire dans lespace - Studyrama
Après avoir déterminé le projeté orthogonal H du point 0 M sur le plan il suffit d'exprimer que le symétrique orthogonal K de 0 M par rapport au plan est
[PDF] Exercices Orthogonalité dans lespace - Jaicompris
2) Déterminer les coordonnées du point H intersection de P et D 3) Conclure Perpendiculaire commune `a deux droites de l'espace Dans un rep`ere orthonormé
[PDF] Spécialité Métropole 1 - Meilleur En Maths
Déterminer les coordonnées du point H projeté orthogonal de G sur le plan (ABC) 3 c En déduire la distance du point G au plan (ABC) est égale à 3?5 4 a
Comment calculer les coordonnées d'un projeté orthogonal ?
Si on note H le projeté orthogonal de A sur le plan P, alors d(A,P)=AH. Ressource affichée de l'autre côté.Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur un plan ?
Si on projette un point (appelons le A) sur une droite ou un plan, imaginons que cette droite ou ce plan est le sol et qu'on fait "tomber" le point A dessus. Alors bien évidemment il va tomber verticalement. L'endroit sur lequel il va atterrir est exactement là que se trouve son projeté orthogonal H.- Projection du point: la projection d'un point de l'espace sur un plan est le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan. nota: les projections d'un même point sont sur une même ligne de rappel.
PanaMaths [ 1 - 5 ] Juin 2010
Amérique du Nord - Juin 2010 - Série S - Exercice L'espace est rapporté à un repère orthonormal ;,,Oi jk GG Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives :A1;2;4 B 2;6;5 C 4;0;3
1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b. Démontrer que le vecteur1; 1; 1n
est un vecteur normal au plan ABC. c. Déterminer une équation du plan ABC.2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant
par le point O et orthogonale au plan ABC. b. Déterminer les coordonnées du point O' projeté orthogonal du point O sur le plan ABC.3. On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur la droite
BC.Soit t le réel tel que
BH BCt
a. Démontrer que BO.BC BCt b. En déduire le réel t et les coordonnées du point H.PanaMaths [ 2 - 5 ] Juin 2010
Analyse
Un exercice d'entraînement idéal pour appliquer certaines notions fondamentales degéométrie dans l'espace : orthogonalité, projetés orthogonaux, produit scalaire, droites et
plans, etc. La troisième question, sans être à proprement parler délicate, aborde le thème de la
projection orthogonale d'un point sur une droite, thème qui est loin d'être le plus apprécié par
les élèves en général ...Résolution
Question 1.a.
Pour montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, il suffit, par exemple, de vérifier que les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires.Or, on a facilement :
AB 3; 4;1
et AC 5;2; 7 En considérant avec les abscisses et les ordonnées de ces vecteurs, on constate que : 5234. Ces deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
Les points A, B et C ne sont pas alignés.
Question 1.b.
D'après la question précédente, les points A, B et C n'étant pas alignés, ils définissent bien un
plan.Pour montrer que le vecteur
n est normal à ce plan, il suffit de montrer qu'il est orthogonal aux deux vecteurs AB et AC , soit AB. 0n G et AC. 0n G Le repère considéré étant orthonormal, on a facilement :AB. 3 1 4 1 1 1 3 4 1 0
AC. 5 1 2 1 7 1 5 2 7 0n
nLe vecteur
n est un vecteur normal au plan ABC.Question 1.c.
Le plan
ABC est l'ensemble des points M,,xyz de l'espace qui vérifient : AM. 0nPanaMaths [ 3 - 5 ] Juin 2010
Or, on a : AM 1; 2; 4xyz
. On en déduit immédiatement : AM. 011 21 410
124010n xy z xyz xyz G
Une équation du plan
ABC est 1 0xyz.
Question 2.a.
La droite considérée étant orthogonale au planABC, elle admet pour vecteur directeur le
vecteur n. Un point M,,xyz de l'espace appartient alors à cette droite si, et seulement si, les vecteurs OM et n sont colinéaires. C'est-à-dire s'il existe un réel t tel que : OMtn Or : OM xt tn y t ztFinalement :
La droite passant par O et orthogonale au plan
ABC admet pour représentation
paramétrique : ,xt ytt ztQuestion 2.b.
Puisque la droite considérée à la question précédente passe par O et est orthogonale au plan
ABC, son intersection avec ce plan n'est autre, par définition, que le projeté orthogonal du point O sur ce plan, c'est-à-dire le point O'.Puisque le point
O' est un point de cette droite, il existe un réel t tel que : O' , ,ttt.Par ailleurs,
O' étant un point du plan ABC, ses coordonnées vérifient l'équation 10 xyz. On a donc : 10tt t , soit 310t et, finalement : 1 3 t.PanaMaths [ 4 - 5 ] Juin 2010
On en déduit immédiatement :
111O' ; ;333.
111O' ; ;333
Question 3.a.
On a :
22BH BC BH.BC BC.BC BC BCtttt .
Mais on a également :
BH.BC BO OH .BC BO.BC OH.BC
Le point H étant le projeté orthogonal du point O sur la droiteBC, le vecteur OH est
orthogonal à tout vecteur directeur de cette droite, en particulier au vecteurBC. On a donc :
OH.BC 0 , puis BH.BC BO.BC et enfin :
2BO.BC BCt
Ainsi, on a bien :
2 BO.BC BCt JJJGQuestion 3.b.
On a facilement :
B 2; 6;5 OB 2; 6;5 BO 2;6; 5
et BC 2;6; 8On en déduit :
BO.BC 2 2 6 6 5 8 4 36 40 72
Et : 2222BC 2 6 8 4 36 64 104
D'où :
2BO.BC 72 8 9 9
104 8 13 13
BCtPanaMaths [ 5 - 5 ] Juin 2010
Il vient alors, en notant
HHH ,,xyz les coordonnées du point H : HHH HHH HHH9184422 213 13 13
9 9 54 24BH BC BH BC 6 6 613 13 13 13
972758 513 13 13xxx
tyyy zzzConclusion :
913t et 44 24 7H;;13 13 13.
quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] coordonnées projeté orthogonal d'un point sur une droite
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