REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur la droite ( ). Page 5. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr.
VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
La projection orthogonale de A sur P est le point H appartenant à P tel que la droite. (AH) soit orthogonale au plan P. Propriété : Le projeté orthogonal d'un
Première S - Projeté orthogonal
est un représentant du vecteur on a les égalités suivantes : Le projeté orthogonal de M sur la droite (d) est le point H.
Projection orthogonale.
Exercice. Soit F une droite vectorielle dirigée par a = 0E. Exprimer le projeté orthogonal d'un vecteur x de E sur F puis celui de
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Tout vecteur colinéaire à '? est solution. IV. Projection orthogonale. 1) Projection orthogonale d'un point sur une droite. Définition : Soit
GÉOMÉTRIE REPÉRÉE
On appelle vecteur normal à une droite d un vecteur non nul orthogonal à un Méthode : Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur ...
Chapitre : Produit scalaire
Mais comment faire la multiplication de deux vecteurs? II.1) Produit scalaire avec la projection orthogonale. Projeté orthogonal d'un point sur une droite.
Exercices de mathématiques - Exo7
Donner un vecteur directeur la pente une équation paramétrique et une équation Déterminer le projeté orthogonal du point M0(x0
Fiche n°2 sur la projection de vecteurs
ABBA. . = • Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires ou orthogonaux est nul. • La norme des deux vecteurs
Produit scalaire dans lEspace
Expression à l'aide de projections : On appelle H le projeté orthogonal de C Définition : Soit d une droite de vecteur directeur u et d une droite de ...
[PDF] Propriétés de calcul du produit scalaire - Projeté orthogonal
Le projeté orthogonal de M sur la droite (d) est le point H intersection de la perpendiculaire à (d) passant par le point M et de (d) 2) Propriété • Les
[PDF] VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE - maths et tiques
La projection orthogonale de A sur P est le point H appartenant à P tel que la droite (AH) soit orthogonale au plan P Propriété : Le projeté orthogonal d'un
[PDF] PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE - maths et tiques
La projection orthogonale de A sur P est le point H appartenant à P tel que la droite (AH) soit orthogonale au plan P Propriété : Le projeté orthogonal d'un
[PDF] LEÇON N? 28 : Projection orthogonale sur une droite du plan
Projection orthogonale sur une droite du plan projection vectorielle associée Applications (calculs de distances et d'angles optimisation )
[PDF] Fiche n°2 sur la projection de vecteurs
Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires ou orthogonaux est nul • La norme des deux vecteurs étant fixée le produit scalaire de deux vecteurs
[PDF] Chapitre 1 Géométrie vectorielle euclidienne du plan et de lespace
Le vecteur y = pV (x) est alors appelée la projection orthogonale de x sur V La rotation fixe les vecteurs de la droite engendré par u et agit comme un
[PDF] 0) Rappels préalables • Le projeté orthogonal H dun point M sur
Elle nécessite de connaitre un des deux projetés orthogonaux d'une des extrémités B ou C des deux vecteurs sur la droite correspondant à l'autre vecteur
[PDF] Exposé 33 : Projection orthogonale sur une droite dun plan
Proposition : Une projection orthogonale de? est une application affine CSQ : p préserve les barycentres Proposition : Soit D une droite de ? Tout vecteur se
[PDF] Orthogonalité - Produit scalaire dans lespace
II Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace 3 II 1 Définition IV 3 Distance d'un point à une droite à un plan et projetés orthogonaux
[PDF] Projection orthogonale dun vecteur sur un autre dans R
Théorème Soit a et b deux vecteurs de R2 avec b = 0 Si proj b ( a) est le vecteur résultant de la projection orthogonale de a sur b Alors projb
![[PDF] PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE - maths et tiques](https://pdfprof.com/Listes/17/23768-1720Esp2.pdf.pdf.jpg "[PDF] PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE - maths et tiques")
1 ORTHOGONALITÉ DANS L'ESPACE
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/pMQBaCqLPsQ Partie 1 : Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace1) Définition et propriétés
Définition : Soit ⃗ et ⃗ deux vecteurs de l'espace. , et trois points tels que ⃗=
et . Il existe un plan contenant les points , et .On appelle produit scalaire de l'espace de ⃗ et ⃗ le produit ⃗.⃗=
dans le plan . On retrouve alors dans l'espace toutes les propriétés du produit scalaire dans le plan : Propriétés permettant de calculer un produit scalaire : 0 1. =2 2 est le projeté orthogonal du point sur la droite (). On a :Propriétés algébriques :
Symétrie : ⃗.⃗=⃗.⃗ Bilinéarité : ⃗. =⃗.⃗+⃗.⃗ et ⃗. =⃗.⃗, avec ∈ℝ Identités remarquables : +2⃗.⃗+ Formule de polarisation : 2Propriété d'orthogonalité :
⃗.⃗=0⟺⃗ et ⃗ sont orthogonaux Méthode : Calculer le produit scalaire dans l'espaceVidéo https://youtu.be/vp3ICG3rRQk
est un cube d'arête .Calculer les produits scalaires :
a) b) c)Correction
a) , étant le projeté orthogonal de sur (). b) =0 car et sont orthogonaux. c) Méthode : Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalitéVidéo https://youtu.be/8Obh6cIZeEw
Soit un tétraèdre régulier d'arêtes de longueur . Démontrer que les arêtes [] et [] sont orthogonales.Correction
On va prouver que
=0. 1Dans le triangle équilatéral ABD, on a :
1 =××cosK 3 N= 2 On démontre de même dans le triangle équilatéral que : 2 2Ainsi :
=0Les vecteurs
et sont donc orthogonaux, et donc Les arêtes [] et [] sont orthogonales. 32) Produit scalaire dans un repère orthonormé
Définitions :
Une base ⃗,⃗,1 de l'espace est orthonormée si :
- les vecteurs ⃗,⃗ et sont deux à deux orthogonaux, - les vecteurs ⃗,⃗ et sont unitaires, soit : =1, =1 et 2 2=1. Un repère ;⃗,⃗,1 de l'espace est orthonormé, si sa base ⃗,⃗,
1 est orthonormée.
Propriétés : Dans un repère orthonormé de l'espace ;⃗,⃗,
1 : Soit ⃗ et ⃗Y [ deux vecteurs de l'espace. +′ et Soit Y [ et Y [ deux points de l'espace.Démonstration :
1 En effet, on a par exemple dans le plan définit par le couple =1, ⃗.⃗= =1 et ⃗.⃗=⃗.⃗=0 On a, en particulier : Et : 2 2 Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide des coordonnéesVidéo https://youtu.be/N1IA15sKH-E
On considère le repère de l'espace ; 1.I est le milieu du segment [].
Les vecteurs
et sont-ils orthogonaux ?Correction
On a :
Y 1 1 1 [ et Y 1-0 0-1 0,5-0 [ soit Y 1 -1 0,5Alors :
=1×1+1× -1 +1×0,5=0,5.Les vecteurs
et ne sont pas orthogonaux. 4Partie 2 : Orthogonalité
1) Orthogonalité de deux droites
Définition : Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires.Exemple :
est un cube. - Les droites () et () sont perpendiculaires. - Les droites () et () sont orthogonales.Remarques :
- Deux droites perpendiculaires sont coplanaires et sécantes. - Deux droites perpendiculaires sont orthogonales. La réciproque n'est pas vraie car deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires et sécantes.2) Orthogonalité d'une droite et d'un plan
Propriété : Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à
deux droites sécantes de . 5Propriété : Si une droite est orthogonale à un plan alors elle est orthogonale à toutes les
droites de .Démonstration :
Soit une droite de vecteur directeur ⃗ orthogonale à deux droites sécantes
et de . Soit ⃗ et ⃗ des vecteurs directeurs respectifs de etAlors ⃗ et ⃗ sont non colinéaires et orthogonaux au vecteur ⃗.
Soit une droite quelconque Δ de de vecteur directeur⃗. Démontrons que Δ est orthogonale à .⃗ peut se décomposer en fonction de ⃗ et ⃗ qui constituent une base de (car non
colinéaires).Il existe donc deux réels et tels que ⃗=⃗+⃗.
Donc ⃗.⃗=⃗.⃗+⃗.⃗=0, car ⃗ est orthogonal avec ⃗ et ⃗.
Donc ⃗ est orthogonal au vecteur ⃗.Et donc est orthogonale à Δ.
Exemple :
est un cube. () est perpendiculaire aux droites () et (). () et () sont sécantes et définissent le plan (). Donc () est orthogonal au plan (). Méthode : Démontrer que des droites sont orthogonalesVidéo https://youtu.be/qKWghhaQJUs
est un triangle équilatéral. est le point d'intersection de ses hauteurs. La droite passant par est orthogonale au plan (). La pyramide est telle que soit un point de la droite . Démontrer que les droites () et () sont orthogonales.Correction
La droite est orthogonale au plan (). La droite est donc orthogonale à toutes les droites du plan ().Comme la droite () appartient au plan (), la droite est orthogonale à la droite ().
Par ailleurs, la droite () est perpendiculaire à la droite (). 6Ainsi, () est orthogonale à deux droites sécantes du plan () : () et .
Donc () est orthogonale au plan ().Et donc la droite () est orthogonale à toutes les droites du plan ().
La droite () appartient au plan () donc la droite () est orthogonale à la droite ().
Partie 3 : Vecteur normal à un plan
1) Définition et propriétés
Définition : Un vecteur non nul ⃗ de l'espace est normal à un plan si ⃗ est un vecteur
directeur d'une droite orthogonale au plan .Propriété : Un vecteur non nul ⃗ de l'espace est normal à un plan , s'il est orthogonal à
deux vecteurs non colinéaires de la direction de . Propriété : Soit un point et un vecteur ⃗ non nul de l'espace. L'ensemble des points tels que .⃗=0 est le plan passant par et de vecteur normal 7 Au XIXe siècle, le vecteur normal , appelé produit vectoriel, est noté ⋀. Le produit vectoriel a été inventé par un mathématicien allemand, HermannGünther Grassmann (1809 ; 1877).
Méthode : Déterminer si un vecteur est normal à un planVidéo https://youtu.be/aAnz_cP72Q4
est un cube.Démontrer que le vecteur
est normal au plan ().Correction
On considère le repère orthonormé ; 1.Dans ce repère : Y
1 0 0 [,Y 0 0 0 [,Y 0 1 0 [,Y 0 0 1 [,Y 0 1 1On a ainsi :
Y 0 -1 1 Y 0 1 1 [ et Y -1 0 0 [, donc : =0×0-1×1+1×1=0 =0× -1 -1×0+1×0=0Donc
est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (), il est donc normal à
Méthode : Déterminer un vecteur normal à un planVidéo https://youtu.be/IDBEI6thBPU
Dans un repère orthonormé, on donne : Y 1 2 -2 [, Y -1 3 1 [ et Y 2 0 -2 Déterminer un vecteur normal au plan ().Correction
On a :
Y -2 1 3 [ et Y 1 -2 0Soit un vecteur ⃗
orthogonal au plan (). Il est tel que : =0 =0 soit g -2++3=0 -2=0 ⟺g -2×2++3=0 =2 n u v 8 ⟺g -3+3=0 =2 ⟺g =2 Prenons par exemple, =1 (arbitrairement choisi) alors =1 et =2.Le vecteur ⃗Y
2 1 1 [ est donc normal au plan ().Remarque :
La solution n'est pas unique. Tout vecteur colinéaire à ⃗ est solution.2) Projections orthogonales
Définitions :
Soit un point et une droite de l'espace.Le projeté orthogonal du point sur la droite est le point appartenant à tel que la
droite () soit perpendiculaire à la droite . Soit un point et un plan de l'espace.Le projeté orthogonal du point sur le plan est le point appartenant à tel que la
droite () soit orthogonale au plan .Propriété : Le projeté orthogonal d'un point sur un plan est le point de le plus proche
de .Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/c7mxA0TbVFU
Soit le projeté orthogonal du point sur le plan P. Supposons qu'il existe un point du plan P plus proche de que l'est le point . proche de .Donc
9Or, () est orthogonale à P, donc () est orthogonale à toute droite de P.
En particulier, () est perpendiculaire à (). Le triangle est donc rectangle en . D'après l'égalité de Pythagore, on a :Donc
Donc
On en déduit que est le point du plan le plus proche du point .Méthode : Utiliser la projection orthogonale pour déterminer la distance d'un point à un plan
Vidéo https://youtu.be/1b9FtX4sCmQ
Soit un cube . On considère le repère orthonormé ;
1.a) Calculer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur le plan ().
b) En déduire la distance du point au plan ().Correction
a) On cherche à déterminer les coordonnées du point . Dans le repère orthonormé ;1, on a :
Y 1 0 0 [,Y 0 1 0 [,Y 0 0 1 [,Y 1 1 1On a alors :
Y -1 1 0 Y 1 0 -1 Y -1 Y -1 -1 -1 Or, () est orthogonale au plan donc le vecteur est orthogonal aux vecteurs et . Soit : =0 -1× -1 +1× -1 +0× -1 =0 -+1+-1=0 =0 1× -1 +0× -1 -1 -1 =0 -1-+1=0On a ainsi : ==
De plus,
est orthogonal au vecteur , soit : 10 =0 -1 -1 -1 =0 -1 -1 -1 =0 car == -1 -1++ =0 -13-1
=0 Donc 3-1=0 car -1≠0 sinon et sont confondus, ce qui est impossible.Soit : =
On en déduit les coordonnées de : K
1 3 1 3 1 3 N. b) Et ainsi : n o1- 1 3 p +o1- 1 3 p +o1- 1 3 p n3×o
2 3 p 2 33≈1,155
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