[PDF] [PDF] Exposé 33 : Projection orthogonale sur une droite dun plan

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Exposé 33 : Projection orthogonale sur une droite d'un plan, projection vectorielle associée.Applications(calcul de distances d'angles,optimisation) Pre requis : On se place dans le plaan affine Ã-distance -orthogonalité de deux droites -theoreme de Thalès et de Pythagore

1)Projection orthogonale

a)Definition

SoitDune droite de

Ã. On appelle projection orthogonale surDl'application :'pM MîÃaeçèaoù

M' est le point d'intersection de

Davec la perpendiculaire à Dpassant par M (car celle-ci n'est pas parallele à

D donc elles sont sécantes.

Vocabulaire : M' est appele LE projeté orthogonal de M sur

Db)Proprietes

Proposition :

- ( )Inv p= D - p p p=o - pn'est ni injective ni surjective

Preuve :

( )Inv p= D : soit ( )M Inv pÎ ( )M p M= ÎD

Donc ( )Inv pÌ D

Soit MÎD,( ) 'p M M= ÎD

M' est sur la perpendiculaire D à

Dpassant par M. Or l'unique point

d'intersection de D et de

Dest M, donc

' ( )M M p M= =d'où ( )Inv pÉ D donc ( )Inv p= D. p p p=o : Soit MÎÃ. ( ): ' ( )p M M Inv p= ÎD = Donc ( ) ( ') 'p p M p M M= =o car ' ( )M Inv pÎ

Donc ( ) ( )p p M p M=o (pour M quelconque)

pn'est ni injective ni surjective : Soit \MÎÃ Det ': ( )M p M=. Soit ][1'M MMÎ(il en existe par exemple le milieu de []'MMcar 'M M¹)

1Mest sur la perpendiculaire à Dpassant par M donc 1( ) ' ( )p M M p M= =donc pn'est pas

injective. psurjective' , ( ) 'M M tq p M MÛ " ÎÃ $ ÎÃ = Supposons par l'absurde : ' , ( ) 'M M tq p M M" ÎÃ $ ÎÃ = Prenons ' \MÎÃ D.( ) 'p M M= ÎD \contradiction.

Donc pn'est pas surjective.

Proposition : Soit D une droite et

pla projection orthogonale sur D,Alors : - siD^ Dalors ( )p D D= ÇD( par definition) - sinon ( )p D= D

Proposition : Soit

pla projection orthogonale sur D,A,B,C,D quatre points de à et

A',B',C',D' leurs images par

pAlors ' ' ' 'AB CD A B C D= Þ =uuur uuur uuuuur uuuuur

Preuve : ...

2)Projection vectorielle associée

a)Definition Definition : Soit pprojection orthogonale sur D. On appelle projection vectorielle associée à p l'application ::( ) ( )AB p A p BpaeîÃççèur ur uuur uuuuuuuuuura

Proposition :

- p p p=o pest lineaire.

Preuve : , ( )u AB u AC

l l= = Îr uuur r uuur¡ {( ) ( ) ' ' ( )Thales u AC A C up l p lp= = =r uuur uuuuur r,u AB v BC= =r uuur r uuur ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' ( ) ( )u v AB BC AC A C A B B C u v p p p p p+ = + = = = + = +r r uuur uuur uuur uuuuur uuuuur uuuuur r r donc p est lineaire. L'autre proposition decoule des propositions precedentes. (a savoir que c'est une application affine) b)Consequence

Proposition : Une projection orthogonale de

à est une application affine.

CSQ : ppréserve les barycentres

Proposition : Soit D une droite de

Ã. Tout vecteur se decompose de maniere unique en deux vecteurs, l'un colineaire à un vecteur directeur de D, l'autre orthogonale à D

Preuve : Prendre un repere bien choisi

Ãur3)Applications

a)Distance

Proposition : Soit D une droite , M un point de

à et H son projeté orthogonale sur D

Alors pour tout , ,N D N H MH MNÎ ¹ <

Preuve : pythagore.

Definition : Soit D une droite , M un point de

Ã, On appelle distance de M à D, notée

( , )d M D, {}inf ,MN N D MHÎ = b)Angles Definition : Soient uret vr deux vecterus non nuls de

Ãurc)Optimisation

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