[PDF] Suite de Matrices - Spé Maths Évolution - Arbre et Graphe

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Suite de Matrices - Spe Maths

Evolution - Arbre et Graphe probabiliste

Exercices

Corriges en video avec le cours sur

jaicompris.com Graphe probabiliste et matrice Un automate peut se trouver dans deux etatsAouB.A chaque seconde il peut soit rester dans l'etat

ou il se trouve, soit en changer, avec des probabilites donnees par le graphe probabiliste ci-dessous.AB0;30;70;20;8Pour tout entier natureln, on noteanla probabilite que l'automate se trouve dans l'etatAapres

nsecondes etbnla probabilite que l'automate se trouve dans l'etatBapresnsecondes. Au depart, l'automate est dans l'etatB. Gaspard arme qu'apres 4 secondes, l'automate a autant de chances d'^etre dans l'etatAque d'^etre

dans l'etatB. Cette armation est-elle vraie?Matrices : suite du typeUn+1=AUnDes souris sont dans une cage comportant deux compartiments A et B. La porte entre ces com-

partiments est ouverte dix minutes tous les jours. Chaque jour 20% des souris du compartiment A passent dans le compartiment B et 10% des souris qui etaient dans le compartiment B passent dans le compartiment A. Pour tout entier natureln, on noteanetbnles proportions de souris presentes respectivement dans les compartiments A et B apresnjours et on convient quea0=b0= 0;5et on noteUnla matricean b n 1. Exprimer p ourtout e ntiernaturel n,an+1etbn+1en fonction deanetbn. 2. D eterminerla matrice Atelle que pour tout entier natureln,Un+1=AUn. 3. Mon trerpar r ecurrenceque p ourtout en tiernaturel n,Un=AnU0. 4.

On admet qu ep ourtout en tiern atureln,An=0

B @1 + 20;7n3

10;7n3

220;7n3

2 + 0;7n3

1 C

A. Que peut-on

dire de la repartition a long terme des souris dans les compartiments A et B?1 Matrices et suites recurrentes lineaires d'ordre 2 Soit(un)la suite denie pour tout entier naturelnpar :u0= 0,u1= 1etun+2=32 un+112 un.

Pour tout entier natureln, on pose :Un=un+1

u n 1.

Donner U0etU1.

2. D eterminerla matrice Atelle que pour tout entier natureln, on ait :Un+1=AUn. 3. Donner sans justi erp ourtout en tiernaturel n,Unen fonction deA,netU0. 4. On admet que p ourtout en tiernaturel n, on a :An=12 n

2n+112n+ 1

2 n+122n+ 2 En deduire, pour tout entier natureln, l'expression deunen fonction denpuis donner la

limite de la suite(un).Matrices : une suite du typeUn+1=AUn+BSoit(Un)la suite de matrices de taille(2 ; 1)denie pour tout entier naturelnpar :

U 0=0 1 etUn+1=AUn+BavecA=1=2 1 0 1=2 etB=1 1 1. Calculer A(I2A)et en deduire que la matriceI2Aest inversible. Donner(I2A)1. 2. D eterminerla matrice Lde taille(2 ; 1)qui verieL=AL+B. 3.

P ourtout en tiernaturel, on p oseVn=UnL.

(a)

Mon trerque p ourtout en tiernaturel, Vn+1=AVn.

(b) En d eduireune expression de Vnpuis deUnen fonction deAetn. 4. On admet que la suite (An)tend vers la matrice nulle d'ordre2lorsquentend vers l'inni, que peut-on en deduire pour la suite(Un)?Marches aleatoires : le cours sur un exemple Exemple: Dans un pays (imaginaire!), s'il fait beau et sec un jour, il fera encore beau et sec avec une probabilite de5=6le lendemain. Dans le cas contraire, il fera humide. S'il fait humide un jour, on convient egalement qu'il fera encore humide avec une probabilite de2=3et qu'il fera beau et sec sinon. Aujourd'hui, il fait beau et sec. On noteAnl'evenement :il fait beau et sec dansnjoursetBnl'evenement :il fait humide dansnjours. On souhaiterait calculerP(An) =pnetP(Bn) =qnpour tout entiern.2

Marches aleatoires : un probleme d'urnes

On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au depart, l'urne U contient deux boules blanches et l'urne V contient deux boules noires. On eectue des tirages successifs dans ces urnes de la facon suivante : chaque tirage consiste a prendre au hasard, de maniere simultanee, une boule dans chaque urne et a la mettre dans l'autre urne. Ce processus peut ^etre vue comme une marche aleatoire sur un espace a trois etats :A:il y a 0 boule blanche dans U ,B:il y a 1 boule blanche dans UetC:il y a 2 boules blanches dans U 1. Repr esenterla situation al'aide d'un graphe probabiliste. 2. P ourtout en tiernaturel n, on notePnla matrice d'etat du systeme apresntirages. On a donc en particulierP0=0 0 1. Determiner la matrice de transitionTtelle que pour tout entier natureln,Pn+1=PnT. 3. On adme tque la suite de matrices (Pn)converge vers une matrice d'etat stablePqui verie P=PT. DeterminerPet interpreter.Marches aleatoires : le probleme du collectionneur

Une marque de corn

akes donne en cadeau une gurine dans chacun de ses paquets. Il y a3 gurines dierentes. Combien faut-il acheter de paquets pour ^etre s^ur a au moins 90% d'avoir la collection complete (en supposant que les dierentes gurines sont equitablement reparties dans les paquets)?3quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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