[PDF] Cours 2 sur les tenseurs en mécanique





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Diapositive 1

B. Le modèle élastique linéaire isotrope. 1. Définition. 2. Paramètres usuels. C. Elasticité en sollicitations simples. 1. Contrainte uniaxiale.



III Élasticité linéaire

Le comportement du matériau est élastique linéaire



ELASTICITE

Symétrie cubique. Bilan. Résumé. Tenseur des contraintes. Tenseur des déformations. Comportement élastique linéaire isotrope. ELASTICITE 



Comportement Élastique

I-3 Élasticité Linéaire des Milieux Isotropes Le comportement élastique linéaire isotrope ... Matériau isotrope et Surpression hydrostatique dp.



(Cours) Elasticité linéaire

4 nov. 2009 tutives de la thermo-élasticité linéaire isotrope c'est-à-dire un modèle de comportement thermo mé- canique particulier 1 des matériaux en ...



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4 mai 2011 quelques modèles anisotropes dans le cadre de l'élasticité linéaire. 1 - Validité des hypothèses d'homogénéité et d'isotropie.



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Le comportement élastique linéaire est caractérisé par des relations linéaires entre les Elasticité linéaire isotrope - Loi de Hooke généralisée :.



Cours 2 sur les tenseurs en mécanique

par définition (application linéaire) Le tenseur d'élasticité isotrope sera composé de projecteurs isotropes. Les tenseurs du second ordre isotropes non ...



Comportement élastique

26 avr. 2017 5.2 Loi de comportement mécanique en élasticité isotrope transverse . ... solide élastique isotrope linéaire en ?v sans restrictions ...



Equations de la théorie délasticité linéaire

Elasticité tridimensionnelle isotrope en coordonnées cartésiennes Relations contraintes – déformations (élasticité linéaire isotrope) : { } [ ]{ } { }.



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isotrope apporte les simpli?cations connues en élasticité linéaire : la loi de comporte- ment viscoélastique linéaire du milieu continu tridimensionnel isotrope s’écrit algébri- quement avec l’opérateur intégral de Boltzmann sous la même forme qu’en élasticité



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Mécanique des Matériaux Solides (EMP3122) - ensmpfr

Un (très) bref mémo sur l’élasticité linéairePotentiel élastique élasticité linéaire Potentiel élastique Le comportement éventuellement non linéaire est gouverné par un potentiel qui sera dé?ni par sa densité volumique dont la forme dépend de la variable choisie Evolution entre deux états d’équilibre avec s



Mécanique des solides déformables - FUN MOOC

L’introduction de la loi de comportement élastique linéaire pour un matériau isotrope nous permet d’obtenir une nouvelle formulation : 2 Pv H Od tr H U & f J & 0 Mais nous avons aussi des relations fondamentales issue s de l’ analyse tensorielle : tr div u div u grad div u div div u div u T & & & & & ' T H H H 2 1 2



Séance 7 : Elasticité

En élasticité linéaire isotrope les directions principales de déformations et de contraintes sont identiques Il faut bien noter que cette propriété est uniquement valable pour ce modèle de comportement et disparaît dès que l’on sort de l’une des hypothèses (élasticité linéarité isotropie)



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Si le schéma linéaire est simple et commode pour étudier les propriétés prin-cipales des matériaux composites il doit être employé avec discernement Le matériau composite est en effet un milieu pervers qui met souvent en défaut les approximations classiques ; la déformation de glissement (ou les contraintes



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De l'élasticité linéaire au coefficient de réaction : théories observations et ordres de grandeur Résumé Cet article propose une comparaison systématique entreles résultats déduits de la théorie de l'élasticité linéaire et l'approche proposée par Ménard pour évaluer les coefficients de réaction du sol vis-à-vis des fondations



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Séance 8 : Le problème élastique - Free

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Quelle est la différence entre la théorie de l’élas-ticité et la plasticité?

  • Avec la théorie de l’Élas- ticité, puis la théorie de la Plasticité, le comportement du matériau constitutif étant pris en compte, le calcul des structures permet d’envisager aussi le second critère en calculant les déformations et déplacements de l’ouvrage sous l’e?et des diverses sollicitations.

Quelle est la théorie de l’élasticité?

  • 24 C. Théorème de superposition La théorie de l’élasticité fournit un outil essentiel pour la résolution de problèmes complexes : le théorème de superposition. Imaginons un domaine matériel de surface extérieure , divisée en deux parties et .

Comment résoudre les problèmes complexes avec la théorie de l’élasticité?

  • La théorie de l’élasticité fournit un outil essentiel pour la résolution de problèmes complexes : le théorème de superposition. Imaginons un domaine matériel de surface extérieure , divisée en deux parties et . On peut soumettre ce système à une première sollicitation, sous la forme des conditions aux limites suivantes :

Comment résoudre un problème élastique?

  • La première approche analytique de résolution du problème élastique consiste à considérer que le champ de contraintes est la seule inconnue. Il s’agit de l’approche en contraintes. Il faut donc faire disparaître les déformations et les déplacements du problème.
>G A/, +2H@yy3kddNy ?iiTb,ff+2HX?HXb+B2M+2f+2H@yy3kddNypj am#KBii2/ QM ke T` kyRd UpjV- Hbi `2pBb2/ jy Jv kykj Up9V >GBb KmHiB@/Bb+BTHBM`v QT2M ++2bb `+?Bp2 7Q` i?2 /2TQbBi M/ /Bbb2KBMiBQM Q7 b+B@

2MiB}+ `2b2`+? /Q+mK2Mib- r?2i?2` i?2v `2 Tm#@

HBb?2/ Q` MQiX h?2 /Q+mK2Mib Kv +QK2 7`QK

i2+?BM; M/ `2b2`+? BMbiBimiBQMb BM 6`M+2 Q` #`Q/- Q` 7`QK Tm#HB+ Q` T`Bpi2 `2b2`+? +2Mi2`bX /2biBMû2 m /ûT¬i 2i ¨ H /BzmbBQM /2 /Q+mK2Mib b+B2MiB}[m2b /2 MBp2m `2+?2`+?2- Tm#HBûb Qm MQM-

Tm#HB+b Qm T`BpûbX

*QKTQ`i2K2Mi ûHbiB[m2 hQ +Bi2 i?Bb p2`bBQM,

J`b2BHH2- 6`M+2X kyRd- TTXkkyX +2H@yy3kddNypj

Comportement élastique

Jean Garrigues

(version du 24 avril 2017)

Avant-proposL"objectif de ce cours est de définir le comportement des milieux continus solides élastiques.

L"élasticité définie dans ce cours est générale. La température étant une variable d"état imposée

par le second principe de la thermodynamique, ce cours traite donc de ce que l"on appelle communément lathermo-élasticité.

Remarque -

L"élasticité isotherme est un cas particulier idéal. Le lecteur qui souhaiterait n"envisager

que des évolutions à température à la fois uniformes dans l"espace et constantes dans le temps (ces

suppositions sont rarement réalistes dans la pratique industrielle) pourra toujours poserT=T0, gradT=0etT=0dans toutes les équations; en outre, dans la résolution des problèmes, il devra

aussi ignorer l"équation locale de la conservation de l"énergie (appelée aussi aussi équation de la

chaleur) qui, sous ces hypothèses, n"est qu"un corollaire de l"équation de mouvement. En faisant ces

approximations, il masquera délibérément les phénomènes thermiques inhérents à toute évolution

thermomécanique d"un milieu continu, même élastique.

Contrairement aux cours classiques d"élasticité élémentaire (élasticité de Hooke), les déforma-

tion ni sur les déformations ni sur le mouvement est souvent appelée"(thermo-)hyperélasticité»

ou encore (thermo-)élasticité en "grandes déformations». Dans ce cours, l"élasticité classique

de Hooke n"apparaîtra donc que comme une dégradation de l"élasticité générale. Par ailleurs,

l"élasticité envisagée dans ce cours n"est pas nécessairement isotrope. En première lecture, la plupart des remarques ou commentaires qui apparaissent en retrait et en petits caractères peuvent être ignorés sans nuire à la compréhension de l"ensemble.

La lecture de ce cours suppose une maîtrise suffisante de l"algèbre et de l"analyse tensorielles(1),

de la cinématique des milieux continus(2)et des équations générales des milieux continus(3),

dont notamment l"expression différentielle locale pour un milieu continu des quatre principes fondamentaux de la physique classique. Dans la mesure du possible, on respectera les conventions typographiques suivantes : les nombres réels sont en minuscules italiques (e xemple: a;m); les v ecteurssont en minuscules italiques grasses (e xemple: vvv); les tenseurs sont en majuscules italiques grasses (e xemple: TTT);

les termes d"une matrice sont rangés dans un tableau entre crochets, à deux indices, l"indice(1)

L"auteur propose un autre cours intituléAlgèbre et analyse tensorielles pour l"étude des milieux continus:

(2)L"auteur propose un autre cours intituléCinématique des milieux continus: (3)L"auteur propose un autre cours intituléÉquations générales des milieux continus: 4 de gauche est l"indice de ligne, et l"indice de droite est l"indice de colonne : 2 4m

11m12m13

m

21m22m23

m

31m32m333

5 =mij la transposition est notée a vecun >en exposant (exemple :TTT>); les ensembles d"entités mathématiques sont en majuscules doublées, en particulier : -Rest l"espace des réels, -V3est un espace vectoriel de dimension 3, -V p

3est l"espace vectoriel des tenseurs d"ordrepconstruits surV3(de dimension 3p),

-Q3+est le groupe des rotations (Q3+V 23);
le produit v ectorielde deux v ecteursde V3est noté "^»;

Le tenseur métrique est noté GGG;

Le tenseur d"orientation est noté HHH;

La description de Lagrange d"un champ matériel est notée a vecun indice L; La description d"Euler d"un champ matériel est notée a vecun indice E; La déri véeparticulaire d"une grandeur ph ysiquelocale YYY(P;t)est notéeYYY(P;t). Les in variantsfondamentaux d"un tenseur du second ordre XXXsont notésXI,XIIetXIII.

RemerciementsJe tiens à remercier très vivement MathiasLEGRAND(4), ce grand magicien de LATEX, sans qui

la mise en page de ce texte ne serait que celle par défaut de la classe????(5)et qui m"a aussi donné de précieux conseils sur la typographie française. Je remercie aussi vivement mon ancien collègue et néanmoins toujours ami ThierryDÉSOYER(6) pour les discussions parfois vives mais le plus souvent fructueuses qu"il a bien voulu m"accorder, ainsi que pour le temps qu"il a bien voulu passer à la relecture de ce texte.

Bonne lecture.

Information -

Ce texte est rédigé en vue d"une lecture dynamique à l"écran : toutes les références internes et

externes sont actives et conduisent à la cible référencée (dans la plupart des visualisateurs de fichiers au format

pdf, on revient à l"état précédent avec la combinaison de touches ). Néanmoins, les références

des pages ont été conservées pour la lecture du document imprimé.(4)

De l"université McGill, de Montréal.

(5)Ceux qui écrivent en LATEX me comprendront.

(6)De l"École Centrale Marseille (ECM) et du Laboratoire de Mécanique et d"Acoustique (LMA) à Marseille.

Table des matières

1 Milieux continus solides déformables.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1 Rappels et notations

9

1.2 Solide déformable

11

1.3 Solide déformable élastique

13

1.4 En bref...

14

2 Élasticité isotrope.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Choix des variables d"état

17

2.2 Conséquences du second principe de la thermodynamique

18 Conséquences de la dissipation thermique,18• Conséquences de la non dissipation intrinsèque,18•

Relation de Helmholtz,19• Loi de comportement élastique avec tenseur de déformationBBB,20.

2.3 Loi de comportement avec d"autres tenseurs de déformation

22

Utilisation du tenseur de déformationVVV,22• Utilisation du tenseur de déformationMMM,24• Utilisation

du tenseur de déformationeeev,25• Conclusion sur les lois élastiques avec un tenseur de déformation

objectif,26• Utilisation de tenseurs de déformation non objectifs,26.

2.4 Quelques modèles couramment rencontrés dans les codes de calcul

29

Le modèle de Piola-Kirchhoff,30• Le modèle "néo-Hookien»,31• Le modèle d"Ogden,31• Le

modèle de Mooney-Rivlin,32• Conclusion,32.

2.5 Critères de limite élastique

32

Considérations microscopiques,33• Point de vue macroscopique,33• Critères portant sur des

caractéristiquesdeladéformation,35• Limitationdeladistorsionangulairemaximale,35• Limitation

de la distorsion stérique maximale,36• Limitation de l"énergie interne de déformation isovolume,

37

• Limitation de la dilatation linéique,37• Conclusion sur les critères de limite élastique,38.

2.6 Loi incrémentale ("loi tangente»)

39

2.7 En bref...

42

3 Construction d"un modèle d"élasticité isotrope.. . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1 Démarche générale

43

3.2 Choix des variables d"état

43
Nouvelle expression de la loi de comportement mécanique,45.

3.3 Forme générale des fonctions d"état

46

Formegénéraledel"énergielibremassiquedeHelmholtz,46• Formegénéraledel"entropiemassique,

47

• Forme générale de l"énergie interne massique,47• Loi de comportement mécanique,47.

3.4 Analyse des évolutions élémentaires

47

Analyse de l"évolutionC(1),48• Analyse de l"évolutionC(2),48• Analyse de l"évolutionC(3),49

•Synthèse,50. 6

3.5 Hypothèse simplificatrice supplémentaire facultative

52

3.6 Expériences réelles

52 Mouvement isovolume isotherme sans dilatation sphérique préalable (C(4)),53• Déformation

sphérique isotherme (C(2)),54• Dilatation thermique libre (C(5)),54• Essai de traction simple

isotherme (C(6)),55.

3.7 Quelques idéalisations possibles

56

3.8 En bref...

58

4 Pseudo-élasticité de Hooke.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1 Hypothèse des "petites perturbations» (rappel)

59

4.2 Loi de Hooke historique

61

4.3 Recherche d"une énergie libre conduisant à la loi de Hooke

62

4.4 Une nouvelle "loi de Hooke» en déformations finies

65

4.5 Élasticité isotrope en petites déformations sans restriction sur le mouvement

67

4.6 En bref...

69

5 Élasticité isotrope transverse.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.1 Choix des variables d"état

71

5.2 Loi de comportement mécanique en élasticité isotrope transverse

72

Relation de Helmholtz,72• Comportement élastique isotrope transverse avec le tenseurBBB,73•

Déviation des directions d"anisotropie,74• Loi élastique isotrope transverse avec le tenseurVVV,74•

Loi élastique isotrope transverse avec le tenseureeev,76.

5.3 Comportement thermique en élasticité isotrope transverse

78

5.4 Critères de limite élastique

78

5.5 En bref...

79

6 Construction d"un modèle d"élasticité isotrope transverse.. . . . . 81

6.1 Choix des variables d"état

81

6.2 Forme générale des fonctions d"état

84

6.3 Analyse des chemins élémentaires

85
Analyse du cheminC(1),85• Analyse du cheminC(2),85• Analyse du cheminC(3),86• Analyse du cheminC(4),86.

6.4 Conclusion

88

7 Élasticité générique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.1 Les variables d"état d"un solide déformable

89

7.2 Forme générique des lois de comportement élastique

91

Relation de Helmholtz,92• Loi de comportement mécanique générique en élasticité (isotrope ou

non),92.

Table des matières77.3 En bref.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

8 Le problème élastique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.1 Énoncé général

95 Solide déformable à étudier,95• Modèle de comportement du matériau,95• Relations cinématiques,

96

• Équations différentielles,96• Sollicitations extérieures,98• Synthèse,99.

8.2 Approche numérique des solutions

101

Incertitudes sur les résultats numériques,101• Aperçu sur la méthode des éléments finis,102.

8.3 Recommandations pratiques

110

9 Illustrations numériques en élasticité isotrope.. . . . . . . . . . . . . . . . 113

9.1 Modèles de comportement utilisé

113

Comportement élastique isotrope,113• Comportement thermique,114• Formulation intégrale,114.

9.2 Choix d"un logiciel de résolution

115

9.3 Traction non isotherme d"une éprouvette cylindrique

116

Caractéristiques du matériau,116• Conditions aux limites mécaniques,117• Conditions aux limites

thermiques,117• Analyse des résultats numériques,117.

9.4 Forte flexion isotherme d"un barreau élastique isotrope

119

Description du problème,121• Caractéristiques du matériau,121• Analyse des résultats numériques,

121.

9.5 Forte traction/compression isotherme d"un barreau élastique isotrope

123

9.6 Essai de glissement

123

9.7 En bref...

124

10 Conclusion.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

A Dérivées particulaires utiles en anisotropie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 A.1 Dérivée particulaire d"une direction matérielle 127
A.2 Dérivée particulaire des invariants croisés 128

Utilisation du tenseur de déformationBBB,128• Utilisation du tenseur de déformationVVV,129.

B Calcul d"une loi tangente isotrope.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 C Cinématique du glissement.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 C.1 Directions principales actuelles de déformation dans un glissement 133

C.2 Interprétation angulaire

134

C.3 Évolution de la variable d"anisotropiea.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

C.4 Déviation de la direction d"anisotropie dans le glissement 136
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