Diapositive 1
B. Le modèle élastique linéaire isotrope. 1. Définition. 2. Paramètres usuels. C. Elasticité en sollicitations simples. 1. Contrainte uniaxiale.
III Élasticité linéaire
Le comportement du matériau est élastique linéaire
ELASTICITE
Symétrie cubique. Bilan. Résumé. Tenseur des contraintes. Tenseur des déformations. Comportement élastique linéaire isotrope. ELASTICITE
Comportement Élastique
I-3 Élasticité Linéaire des Milieux Isotropes Le comportement élastique linéaire isotrope ... Matériau isotrope et Surpression hydrostatique dp.
(Cours) Elasticité linéaire
4 nov. 2009 tutives de la thermo-élasticité linéaire isotrope c'est-à-dire un modèle de comportement thermo mé- canique particulier 1 des matériaux en ...
Modélisation du comportement des composites : lelasticité anisotrope
4 mai 2011 quelques modèles anisotropes dans le cadre de l'élasticité linéaire. 1 - Validité des hypothèses d'homogénéité et d'isotropie.
Untitled
Le comportement élastique linéaire est caractérisé par des relations linéaires entre les Elasticité linéaire isotrope - Loi de Hooke généralisée :.
Cours 2 sur les tenseurs en mécanique
par définition (application linéaire) Le tenseur d'élasticité isotrope sera composé de projecteurs isotropes. Les tenseurs du second ordre isotropes non ...
Comportement élastique
26 avr. 2017 5.2 Loi de comportement mécanique en élasticité isotrope transverse . ... solide élastique isotrope linéaire en ?v sans restrictions ...
Equations de la théorie délasticité linéaire
Elasticité tridimensionnelle isotrope en coordonnées cartésiennes Relations contraintes – déformations (élasticité linéaire isotrope) : { } [ ]{ } { }.
Viscoélasticité pour le Calcul des structures
isotrope apporte les simpli?cations connues en élasticité linéaire : la loi de comporte- ment viscoélastique linéaire du milieu continu tridimensionnel isotrope s’écrit algébri- quement avec l’opérateur intégral de Boltzmann sous la même forme qu’en élasticité
Viscoélasticité pour le Calcul - École Polytechnique
thermo-élasticité linéaire isotrope 1 1 Problème de structure en thermo-élasticité linéaire isotrope : hy-pothèses et énoncé qualitatif En Génie Mécanique ou en Génie Civil un ingénieur spécialisé en Mécanique des solides a très souvent à résoudre des problèmes de structures Pour ce faire un ingénieur en première
6 CHAPITRE 6 - APPLICATION 1 - MECANIQUE DES SOLIDES ELASTIQUES
L’opérateur de Hooke caractérise le comportement élastique et linéaire du matériau En élasticité isotrope il correspond à : = (tr )I+2µ (326) Il permet de décrire l’énergie de déformation locale en terme de déformations : E d( )= 1 2 K : Les propriétés de cet opérateur sont les suivantes : – Linéarité :
Mécanique des Matériaux Solides (EMP3122) - ensmpfr
Un (très) bref mémo sur l’élasticité linéairePotentiel élastique élasticité linéaire Potentiel élastique Le comportement éventuellement non linéaire est gouverné par un potentiel qui sera dé?ni par sa densité volumique dont la forme dépend de la variable choisie Evolution entre deux états d’équilibre avec s
Mécanique des solides déformables - FUN MOOC
L’introduction de la loi de comportement élastique linéaire pour un matériau isotrope nous permet d’obtenir une nouvelle formulation : 2 Pv H Od tr H U & f J & 0 Mais nous avons aussi des relations fondamentales issue s de l’ analyse tensorielle : tr div u div u grad div u div div u div u T & & & & & ' T H H H 2 1 2
Séance 7 : Elasticité
En élasticité linéaire isotrope les directions principales de déformations et de contraintes sont identiques Il faut bien noter que cette propriété est uniquement valable pour ce modèle de comportement et disparaît dès que l’on sort de l’une des hypothèses (élasticité linéarité isotropie)
Comportements élastique et viscoélastique des composites
Si le schéma linéaire est simple et commode pour étudier les propriétés prin-cipales des matériaux composites il doit être employé avec discernement Le matériau composite est en effet un milieu pervers qui met souvent en défaut les approximations classiques ; la déformation de glissement (ou les contraintes
ELAS TIC - ensmpfr
notion de module d ’élasticité Relation entre déformations et contraintes en élasticité même loi appliquée aux expériences de Galilé (fibres tendues et conprimées en flexion) Young (1807) : ELASTICITE Cadre général Résistance des solides Courbe force-allongement Courbe contrainte-déformation Relation contrainte-déformation
Modélisation du comportement des composites : l’elasticité
le cadre de l'élasticité linéaire Des modèles d'élasticité anisotrope capables de rendre compte des phénomènes observés sont ensuite présentés 2 - Approche expérimentale du comportement d'un pli Dans tout ce qui suit nous considérons un pli unidirectionnel soumis à divers efforts et nous
De l’élasticité linéaire au coefficient de réaction
De l'élasticité linéaire au coefficient de réaction : théories observations et ordres de grandeur Résumé Cet article propose une comparaison systématique entreles résultats déduits de la théorie de l'élasticité linéaire et l'approche proposée par Ménard pour évaluer les coefficients de réaction du sol vis-à-vis des fondations
Une transformation du problème d’élasticité linéaire en vue d
Une transformation du problème d’élasticité linéaire en vue d’application au problème de l'inclusion et aux fonctions de Green Ahmad POUYA G3S-LMS Ecole Polytechnique 91128 Palaiseau Cedex Résumé : Nous présentons une transformation simple du problème de structure élastique linéaire Le
Séance 8 : Le problème élastique - Free
MMC type fondé sur l’élasticité linéaire et isotrope Les équations posées sont de différents types : - Equations cinématiques - Equations d’équilibre - Equations de comportement Elles peuvent également s’appliquer en différents lieux : - Equations de volume - Equations de surface 1 Introduction
Quelle est la différence entre la théorie de l’élas-ticité et la plasticité?
- Avec la théorie de l’Élas- ticité, puis la théorie de la Plasticité, le comportement du matériau constitutif étant pris en compte, le calcul des structures permet d’envisager aussi le second critère en calculant les déformations et déplacements de l’ouvrage sous l’e?et des diverses sollicitations.
Quelle est la théorie de l’élasticité?
- 24 C. Théorème de superposition La théorie de l’élasticité fournit un outil essentiel pour la résolution de problèmes complexes : le théorème de superposition. Imaginons un domaine matériel de surface extérieure , divisée en deux parties et .
Comment résoudre les problèmes complexes avec la théorie de l’élasticité?
- La théorie de l’élasticité fournit un outil essentiel pour la résolution de problèmes complexes : le théorème de superposition. Imaginons un domaine matériel de surface extérieure , divisée en deux parties et . On peut soumettre ce système à une première sollicitation, sous la forme des conditions aux limites suivantes :
Comment résoudre un problème élastique?
- La première approche analytique de résolution du problème élastique consiste à considérer que le champ de contraintes est la seule inconnue. Il s’agit de l’approche en contraintes. Il faut donc faire disparaître les déformations et les déplacements du problème.
2MiB}+ `2b2`+? /Q+mK2Mib- r?2i?2` i?2v `2 Tm#@
HBb?2/ Q` MQiX h?2 /Q+mK2Mib Kv +QK2 7`QK
i2+?BM; M/ `2b2`+? BMbiBimiBQMb BM 6`M+2 Q` #`Q/- Q` 7`QK Tm#HB+ Q` T`Bpi2 `2b2`+? +2Mi2`bX /2biBMû2 m /ûT¬i 2i ¨ H /BzmbBQM /2 /Q+mK2Mib b+B2MiB}[m2b /2 MBp2m `2+?2`+?2- Tm#HBûb Qm MQM-Tm#HB+b Qm T`BpûbX
*QKTQ`i2K2Mi ûHbiB[m2 hQ +Bi2 i?Bb p2`bBQM,J`b2BHH2- 6`M+2X kyRd- TTXkkyX +2H@yy3kddNypj
Comportement élastique
Jean Garrigues
(version du 24 avril 2017)Avant-proposL"objectif de ce cours est de définir le comportement des milieux continus solides élastiques.
L"élasticité définie dans ce cours est générale. La température étant une variable d"état imposée
par le second principe de la thermodynamique, ce cours traite donc de ce que l"on appelle communément lathermo-élasticité.Remarque -
L"élasticité isotherme est un cas particulier idéal. Le lecteur qui souhaiterait n"envisager
que des évolutions à température à la fois uniformes dans l"espace et constantes dans le temps (ces
suppositions sont rarement réalistes dans la pratique industrielle) pourra toujours poserT=T0, gradT=0etT=0dans toutes les équations; en outre, dans la résolution des problèmes, il devraaussi ignorer l"équation locale de la conservation de l"énergie (appelée aussi aussi équation de la
chaleur) qui, sous ces hypothèses, n"est qu"un corollaire de l"équation de mouvement. En faisant ces
approximations, il masquera délibérément les phénomènes thermiques inhérents à toute évolution
thermomécanique d"un milieu continu, même élastique.Contrairement aux cours classiques d"élasticité élémentaire (élasticité de Hooke), les déforma-
tion ni sur les déformations ni sur le mouvement est souvent appelée"(thermo-)hyperélasticité»
ou encore (thermo-)élasticité en "grandes déformations». Dans ce cours, l"élasticité classique
de Hooke n"apparaîtra donc que comme une dégradation de l"élasticité générale. Par ailleurs,
l"élasticité envisagée dans ce cours n"est pas nécessairement isotrope. En première lecture, la plupart des remarques ou commentaires qui apparaissent en retrait et en petits caractères peuvent être ignorés sans nuire à la compréhension de l"ensemble.La lecture de ce cours suppose une maîtrise suffisante de l"algèbre et de l"analyse tensorielles(1),
de la cinématique des milieux continus(2)et des équations générales des milieux continus(3),
dont notamment l"expression différentielle locale pour un milieu continu des quatre principes fondamentaux de la physique classique. Dans la mesure du possible, on respectera les conventions typographiques suivantes : les nombres réels sont en minuscules italiques (e xemple: a;m); les v ecteurssont en minuscules italiques grasses (e xemple: vvv); les tenseurs sont en majuscules italiques grasses (e xemple: TTT);les termes d"une matrice sont rangés dans un tableau entre crochets, à deux indices, l"indice(1)
L"auteur propose un autre cours intituléAlgèbre et analyse tensorielles pour l"étude des milieux continus:
(2)L"auteur propose un autre cours intituléCinématique des milieux continus: (3)L"auteur propose un autre cours intituléÉquations générales des milieux continus: 4 de gauche est l"indice de ligne, et l"indice de droite est l"indice de colonne : 2 4m11m12m13
m21m22m23
m31m32m333
5 =mij la transposition est notée a vecun >en exposant (exemple :TTT>); les ensembles d"entités mathématiques sont en majuscules doublées, en particulier : -Rest l"espace des réels, -V3est un espace vectoriel de dimension 3, -V p3est l"espace vectoriel des tenseurs d"ordrepconstruits surV3(de dimension 3p),
-Q3+est le groupe des rotations (Q3+V 23);le produit v ectorielde deux v ecteursde V3est noté "^»;
Le tenseur métrique est noté GGG;
Le tenseur d"orientation est noté HHH;
La description de Lagrange d"un champ matériel est notée a vecun indice L; La description d"Euler d"un champ matériel est notée a vecun indice E; La déri véeparticulaire d"une grandeur ph ysiquelocale YYY(P;t)est notéeYYY(P;t). Les in variantsfondamentaux d"un tenseur du second ordre XXXsont notésXI,XIIetXIII.RemerciementsJe tiens à remercier très vivement MathiasLEGRAND(4), ce grand magicien de LATEX, sans qui
la mise en page de ce texte ne serait que celle par défaut de la classe????(5)et qui m"a aussi donné de précieux conseils sur la typographie française. Je remercie aussi vivement mon ancien collègue et néanmoins toujours ami ThierryDÉSOYER(6) pour les discussions parfois vives mais le plus souvent fructueuses qu"il a bien voulu m"accorder, ainsi que pour le temps qu"il a bien voulu passer à la relecture de ce texte.Bonne lecture.
Information -
Ce texte est rédigé en vue d"une lecture dynamique à l"écran : toutes les références internes et
externes sont actives et conduisent à la cible référencée (dans la plupart des visualisateurs de fichiers au format
pdf, on revient à l"état précédent avec la combinaison de touches
De l"université McGill, de Montréal.
(5)Ceux qui écrivent en LATEX me comprendront.(6)De l"École Centrale Marseille (ECM) et du Laboratoire de Mécanique et d"Acoustique (LMA) à Marseille.
Table des matières
1 Milieux continus solides déformables.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1 Rappels et notations
91.2 Solide déformable
111.3 Solide déformable élastique
131.4 En bref...
142 Élasticité isotrope.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Choix des variables d"état
172.2 Conséquences du second principe de la thermodynamique
18 Conséquences de la dissipation thermique,18• Conséquences de la non dissipation intrinsèque,18•
Relation de Helmholtz,19• Loi de comportement élastique avec tenseur de déformationBBB,20.
2.3 Loi de comportement avec d"autres tenseurs de déformation
22Utilisation du tenseur de déformationVVV,22• Utilisation du tenseur de déformationMMM,24• Utilisation
du tenseur de déformationeeev,25• Conclusion sur les lois élastiques avec un tenseur de déformation
objectif,26• Utilisation de tenseurs de déformation non objectifs,26.2.4 Quelques modèles couramment rencontrés dans les codes de calcul
29Le modèle de Piola-Kirchhoff,30• Le modèle "néo-Hookien»,31• Le modèle d"Ogden,31• Le
modèle de Mooney-Rivlin,32• Conclusion,32.2.5 Critères de limite élastique
32Considérations microscopiques,33• Point de vue macroscopique,33• Critères portant sur des
caractéristiquesdeladéformation,35• Limitationdeladistorsionangulairemaximale,35• Limitation
de la distorsion stérique maximale,36• Limitation de l"énergie interne de déformation isovolume,
37• Limitation de la dilatation linéique,37• Conclusion sur les critères de limite élastique,38.
2.6 Loi incrémentale ("loi tangente»)
392.7 En bref...
423 Construction d"un modèle d"élasticité isotrope.. . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1 Démarche générale
433.2 Choix des variables d"état
43Nouvelle expression de la loi de comportement mécanique,45.
3.3 Forme générale des fonctions d"état
46Formegénéraledel"énergielibremassiquedeHelmholtz,46• Formegénéraledel"entropiemassique,
47• Forme générale de l"énergie interne massique,47• Loi de comportement mécanique,47.
3.4 Analyse des évolutions élémentaires
47Analyse de l"évolutionC(1),48• Analyse de l"évolutionC(2),48• Analyse de l"évolutionC(3),49
•Synthèse,50. 63.5 Hypothèse simplificatrice supplémentaire facultative
523.6 Expériences réelles
52 Mouvement isovolume isotherme sans dilatation sphérique préalable (C(4)),53• Déformation
sphérique isotherme (C(2)),54• Dilatation thermique libre (C(5)),54• Essai de traction simple
isotherme (C(6)),55.3.7 Quelques idéalisations possibles
563.8 En bref...
584 Pseudo-élasticité de Hooke.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1 Hypothèse des "petites perturbations» (rappel)
594.2 Loi de Hooke historique
614.3 Recherche d"une énergie libre conduisant à la loi de Hooke
624.4 Une nouvelle "loi de Hooke» en déformations finies
654.5 Élasticité isotrope en petites déformations sans restriction sur le mouvement
674.6 En bref...
695 Élasticité isotrope transverse.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1 Choix des variables d"état
715.2 Loi de comportement mécanique en élasticité isotrope transverse
72Relation de Helmholtz,72• Comportement élastique isotrope transverse avec le tenseurBBB,73•
Déviation des directions d"anisotropie,74• Loi élastique isotrope transverse avec le tenseurVVV,74•
Loi élastique isotrope transverse avec le tenseureeev,76.5.3 Comportement thermique en élasticité isotrope transverse
785.4 Critères de limite élastique
785.5 En bref...
796 Construction d"un modèle d"élasticité isotrope transverse.. . . . . 81
6.1 Choix des variables d"état
816.2 Forme générale des fonctions d"état
846.3 Analyse des chemins élémentaires
85Analyse du cheminC(1),85• Analyse du cheminC(2),85• Analyse du cheminC(3),86• Analyse du cheminC(4),86.
6.4 Conclusion
887 Élasticité générique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.1 Les variables d"état d"un solide déformable
897.2 Forme générique des lois de comportement élastique
91Relation de Helmholtz,92• Loi de comportement mécanique générique en élasticité (isotrope ou
non),92.Table des matières77.3 En bref.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8 Le problème élastique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.1 Énoncé général
95 Solide déformable à étudier,95• Modèle de comportement du matériau,95• Relations cinématiques,
96• Équations différentielles,96• Sollicitations extérieures,98• Synthèse,99.
8.2 Approche numérique des solutions
101Incertitudes sur les résultats numériques,101• Aperçu sur la méthode des éléments finis,102.
8.3 Recommandations pratiques
1109 Illustrations numériques en élasticité isotrope.. . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.1 Modèles de comportement utilisé
113Comportement élastique isotrope,113• Comportement thermique,114• Formulation intégrale,114.
9.2 Choix d"un logiciel de résolution
1159.3 Traction non isotherme d"une éprouvette cylindrique
116Caractéristiques du matériau,116• Conditions aux limites mécaniques,117• Conditions aux limites
thermiques,117• Analyse des résultats numériques,117.9.4 Forte flexion isotherme d"un barreau élastique isotrope
119Description du problème,121• Caractéristiques du matériau,121• Analyse des résultats numériques,
121.9.5 Forte traction/compression isotherme d"un barreau élastique isotrope
1239.6 Essai de glissement
1239.7 En bref...
12410 Conclusion.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A Dérivées particulaires utiles en anisotropie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 A.1 Dérivée particulaire d"une direction matérielle 127A.2 Dérivée particulaire des invariants croisés 128
Utilisation du tenseur de déformationBBB,128• Utilisation du tenseur de déformationVVV,129.
B Calcul d"une loi tangente isotrope.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 C Cinématique du glissement.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 C.1 Directions principales actuelles de déformation dans un glissement 133C.2 Interprétation angulaire
134C.3 Évolution de la variable d"anisotropiea.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
C.4 Déviation de la direction d"anisotropie dans le glissement 1368quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20
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