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Réviser ses gammes

20

3 • Les racines carrées

3Les racines carrées

Gamme 6 Avec Scratch

ALGO On a commencé l"écriture d"un script pour réaliser la figure suivante. 100
100
Compléter le script afin que la figure soit tracée correctement.

Gamme 2

CALCUL MENTAL

Donner le résultat le plus rapidement possible. a. 36 b. 64 c. 121 d. -25 e. -9 f. 100

Gamme 2

Gamme 5 Pythagore

Le triangle suivant est-il rectangle ?

AC B 51213

Gamme 3

CALCUL MENTAL

Simplifier les calculs suivants.

a. 16×9 b. 5 36-4 25 c. 1+4 d. 144×49

Gamme 1

CALCUL MENTAL

Donner le résultat le plus rapidement possible. a. 52 b. 102 c. 92 d. 112 e. (-7)2 f. (-12)2

Gamme 4 Vrai ou faux ?

Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou

fausses. Justifier la réponse. Les longueurs sont exprimées en centimètre. a. On suppose que le triangle ABC est rectangle en A. A C B 34

La longueur BC est égale à 5 cm.

b. On suppose que le triangle ABC est rectangle en A. AC B

3,26,8

Une valeur approchée au dixième de la longueur

BC est 9,6.

Les situations étudiées sont courtes. Leur résolution ne nécessite aucune technique calculatoire particulière.

Pour construire le cours

213 • Les racines carrées

Objectif des situations

ADécouvrir les propriétés des racines carrées. BUtiliser les propriétés des racines carrées.

Dans la théorie de la relativité d"Einstein, la masse d"un objet en mouvement dépend de sa vitesse.

Si v est la vitesse instantanée de l"objet exprimée en km . s -1, m la masse de l"objet à la vitesse v, et m0 sa masse au repos, Einstein a démontré la relation suivante : m = γ m0 avec γ=1-v2 c2 où c =300 000 km . s-1

1. La vitesse d"un électron est d"environ v = 30 000 km . s-1.

Montrer que m

≈ 0,995 m0.

2. Un vaisseau spatial imaginaire se déplace à une vitesse v = 200 000 km . s-1.

Calculer

γ et exprimer la masse m du vaisseau spatial à la vitesse v en fonction sa masse au repos.

3. Einstein, qui était un brillant mathématicien, écrivait parfois le nombre γ sous une autre forme :

γ=c2-v2

c

Montrer, en utilisant les valeurs de la vitesse v des questions 1. et 2., que cette expression de γ est

correcte.

Peut-on expliquer pourquoi ?

Dans un repère orthonormé, la distance d"un point M (x ; y) à l"origine O est donnée par la relation :

OM=x2+y2

1. Calculer la distance OM dans le cas où M (3 ; 0).

2. On donne M (-3 ; 4). Un élève a écrit sur sa copie le raisonnement suivant :

OM=-3( )2+42=9+16=3+4=7

Le professeur lui indique que son calcul est faux. Expliquer pourquoi.

3. En utilisant un contre-exemple, montrer que a-b≠a-b.

Situation B Prendre garde aux fausses propriétés en MATHÉMATIQUES Situation A Observer une nouvelle propriété en PHYSIQUE 22

Connaître le cours

3 • Les racines carrées

Les racines carrées1

Soit a un réel positif.

La racine carrée de a est le nombre réel positif dont le carré vaut a.

La racine carrée de a se note

a.

On a :

a > 0 et a2=a

Définitions

Exemple

• a = 23 est un nombre positif. La racine carrée de 23 est le nombre 23.

23 est la valeur exacte de la racine carrée de 23.

Une valeur approchée de

23 au millième est : 23≈4,796.

• 0=0

• 1=1

Soit a un nombre réel positif.

a2=a

Propriété

Exemple

72=49=7

Soient a et b deux nombres réels positifs.

• a×b=a×b • Si b ≠ 0, a

b=a b

Propriété

Exemples

• 2×8= 2×8= 16= 4 • 75

3=75

3=25=5

Méthode de transformation des racines carrées2

1. Écrire le nombre 48 sous la forme a b où a et b sont des entiers positifs, et b est le plus petit

possible.

2. Simplifier le nombre 108

245.

1. On a : 48=16×3=16×3=4 3.

2. On a : 108

245=36×3

49

×5=36×3

49×5=36×3

49×5=6 3

7 5.

SolutionMéthode :

• On factorise le nombre sous la

racine carrée en produit de facteurs dont l"un est un carré parfait.

16 est un carré parfait.

• On utilise les propriétés du produit

et du quotient des racines carrées.

Exercices

Va piano

Moderato

233 • Les racines carrées

1 Pour chaque nombre donné ci-dessous, préciser si

la racine carrée de ce nombre est définie ou non. a. 3,6 b. - 4 c. 2-5 d. -11-3 e. 0 f. π 4 2 CALCUL MENTAL Donner de tête la racine carrée des nombres ci-dessous. a. 64 b. 144 c. 16 d. 81 e. 100 f. 121

3 À l"aide de la calculatrice, donner une valeur

approchée à 10 -4 près des nombres ci-dessous. a. 2 b. 3 c. 5 d. 12,6 e. 99 f. 2673 4

CALCUL MENTAL Sans calculatrice, donner la

valeur exacte des nombres suivants. a. 3,92 b. 1322 c. 2,42 d. 3 52 e. 3 52 f. -4 72 5

CALCUL MENTAL Sans calculatrice, simplifier les

écritures suivantes.

a. 3 5+2 5 b. 7 16-3 16 c. -5 2+2+4 2 d. 137+2 7

6 Calculer la longueur de l"hypoténuse du triangle

ABC rectangle en B ci-contre où les longueurs sont exprimées en centimètre. 32
A BC

7 On considère le triangle EFG, rectangle en E

ci-dessous.

Calculer la longueur EG.

5 G E F 7

8 On considère un carré de côté de longueur égale

5. Quelle est son aire ?

9 Calculer la longueur de la diagonale d"un carré

de côté 3.

10 Écrire les nombres suivants sous la forme d"un

nombre entier. a. 3×12 b. 2×32 c. 5×20

11 Écrire les nombres suivants sous la forme d"une

racine carrée d"une fraction irréductible. a. 3 5 b. 20 28
c. 120 80

12 Écrire les nombres suivants sous la forme a b où a

et b sont des entiers positifs, et b est le plus petit possible. a. 252 b. 80 c. 288 d. 150 e. 196 f. 600

13 Développer et simplifier au maximum les nombres

suivants. a. 2+1( )2 b. 3-1( )3+1( ) c. 5-2( )5+2( ) d. 3-2( )2

14 1. On donne A = 3x2 - 3x + 1.

Calculer A pour

x=5 puis pour x=13.

2. On donne B = -x2 + 3x - 1.

Calculer B pour x

= 2 puis pour x = - 3.

3. On donne C = (2x - 1)(2x + 1).

Calculer C pour x

= 10 puis pour x = - 5.

15 On donne le triangle suivant où les longueurs

sont exprimées en centimètre. Calculer son périmètre et exprimer le résultat sous la forme a2 où a est un nombre entier positif. 98
18 50

16 Écrire les nombres suivants sous la forme a

b où a et b sont des entiers positifs, et b ≠ 0. a. 4 32-2 8

5 2 b. 48+12

27

17 Un triangle ABC, rectangle et isocèle en B est tel

que

AC=20 .

Calculer la valeur exacte de AB et en donner une valeur approchée au millimètre près. 2424

Situations diversesExercices

3 • Les racines carrées

18 La figure ci-dessous s"appelle la spirale d"Archi-

mède. Elle est constituée de triangles rectangles en M,

A, B, C et D.

Les longueurs sont exprimées en centimètre.

E D C B A 11MO

1. Calculer la valeur exacte de OA, OB, OC, OD et OE.

2. Reproduire et compléter la spirale jusqu"à obtenir la

valeur 8.

19 L"arbre de Pythagore est une figure géométrique

appelée " fractale ». Elle se construit de la manière suivante :

Étape 0 Étape 1 Étape 2

1. Reproduire les premières étapes ci-dessus et réaliser

l"étape 3.

2. On considère que le carré de l"étape 0 a pour côté

1 cm. Quelles sont les dimensions des carrés de

l"étape 1 ? de l"étape 2 ?

20 Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe de la

fonction carrée. 013 1x yBC

1. Quelle est la valeur exacte de l"abscisse des points

B et C ?

2. En utilisant le graphique, déterminer un encadre-

ment des abscisses des points B et C par deux nombres décimaux.

21 La pyramide HABCD est contenue dans un cube

d"arête 3 cm.

Déterminer l"aire totale de la pyramide.

AE F GH B C D

22 On considère le

carré ABCD de côté 6 cm.

1. Montrer que la

longueur de l"hypoté- nuse est égale à 6 2.

2. Montrer que

cosθ( )=22.

3. En déduire la mesure

de l"angle

23 La durée t de chute (exprimée en seconde) d"un

objet lâché à une hauteur h (en mètre) est donnée par la formule : t=2hg où g = 9,8 m . s-2 est l"accélération de la pesan- teur à la surface de la Terre.

1. Déterminer le temps de chute d"un objet lâché d"une

hauteur de 30 mètres. On arrondira au dixième de seconde près.

2. Déterminer la hauteur de laquelle on a lâché un objet,

qui a mis 3,2 secondes pour tomber.

24 On considère trois cercles tangents les uns aux

autres comme indiqué sur la figure ci-dessous. r1quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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