Puissances Racines Exponentielles et Logarithmes 2MStand/Renf PDF

Atelier D1 13 racines DSouder Bdx oct 2018

scolaires pour calculer une racine carrée ou une racine cubique ? certains magiciens procèdent de tête pour trouver la racine cubique exacte d'un ...

3_Les racines carrées

2 CALCUL MENTAL Donner de tête la racine carrée des nombres ci-dessous. a. 64 b. 144 c. 16 d. 81 e. 100 f. 121. 3 À l'aide de la calculatrice

les racines carrées :

une racine carrée peut être un rationnel non décimal . 5) Règles de calculs sur les racines carrées : a) SOMME si et ne sont pas nuls exemple :.

Racine carrée - Exercices corrigés

Remplaçons dans l'expression A

3ème : Chapitre11 : Les racines carrées.

Priorité des opérations : Quand on écrit. on sous-entend les parenthèses . 2. Règles de calculs. 2.1 Racine carré d'un produit. Soient a et b deux nombres

Puissances Racines Exponentielles et Logarithmes 2MStand/Renf

a) Estimer de tête la réponse. b) La calculer à l'aide de votre calculatrice. 1. Ce mot est repris plus tard par les fondateurs de

Première partie Les sous-tests de logique mathématique et de calcul

les puissances et les racines carrées ;. • les pourcentages et les du calcul et de trouver de tête la racine cubique de 592 !). « Sans calculatrice ».

Arithmétique Racines

La racine carrée d'un nombre x est le nombre positif dont le carré est égal à x. On la On ne peut pas toujours calculer de tête les racines.

Le cours des parties calculatoires au TAGE MAGE

au TAGE MAGE seulement pour les « racines carrées » et . Avec l'entraînement ces calculs doivent pouvoir se réaliser de tête sans avoir à poser.

Exo7 - Algorithmes

rapide de calculer le carré d'un entier plutôt qu'extraire une racine carrée. Les Grecs pour envoyer des messages secrets rasaient la tête du messager ...

[PDF] FRACTIONS PUISSANCES RACINES CARRÉES - maths et tiques

Définition : La racine carrée de est le nombre (toujours positif) dont le carré est Racines de carrés parfaits : ?0 = 0 ?25 = 5 ?100 = 10 ?1 = 1 ?

[PDF] 3 Les racines carrées

2 CALCUL MENTAL Donner de tête la racine carrée des nombres ci-dessous a 64 b 144 c 16 d 81 e 100 f 121 3 À l'aide de la calculatrice

[PDF] Atelier D1 13 racines DSouder Bdx oct 2018 - APMEP

Sur la calculatrice une touche spéciale permet d'obtenir le résultat du calcul d'une racine carrée De même 53 = 125 : le cube de 5 est 125 et la racine cubique

Calcul dune racine carrée à la main Exemples et explications

23 sept 2019 · lien vers mon site https://puissance-maths https://puissance-maths Site avec tous les cours et Durée : 27:57Postée : 23 sept 2019

Calculer une racine carrée - Quatrième - YouTube

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4 manières de calculer une racine carrée sans calculatrice - wikiHow

Avec les calculatrices ces deux calculs élévation au carré et racine carrée Vous allez ôter de tête le résultat de la multiplication de la première

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Lorsqu'une nombre a est positif on appelle racine carrée de a le nombre positif dont La racine carrée de 16 est 4 car 42 = 16 2 1 Calcul de tête

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La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est a La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas 2 Le signe Règles de calculs

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La racine carrée d'un nombre x est le nombre positif dont le carré est égal à x On la On ne peut pas toujours calculer de tête les racines

Comment calculer la racine carrée de tête ?
À partir d'un nombre donné, on peut trouver le nombre de chiffres d'une racine carrée. Il s'agit de compter les chiffres du nombre à extraire, de diviser ce résultat par 2 et d'arrondir au besoin. Ainsi, la racine carrée de 78 345 est un nombre de trois chiffres, car 5 ÷ 2 = 2,5.
Comment faire pour calculer la racine carré ?
Comment calculer une racine carrée sans calculatrice
1La meilleure façon d'expliquer la racine carrée est de partir d'un nombre. 2Cherchons un nombre qui, multiplié par lui-même, se rapproche le plus du premier groupe de nombres à gauche, tout en étant plus petit (dans l'exemple, 58). 3Multiplions-le par lui-même.

Puissances, Racines

Exponentielles et Logarithmes

Stand/Renf

Jean-Philippe Javet

http://www.javmath.ch

Table des matières

1 Puissances et Racines 1

1.1 Les puissances entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1

1.1.1 Puissances à exposants entiers naturels . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1

1.1.2 Puissances à exposants entiers relatifs . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2

1.1.3 La notation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 4

1.2 Les racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5

1.2.1 La définition d"une racine... mal définie? . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 8

1.2.2 Des bons réflexes qui sauvent la ... fin des calculs . . . . .. . . . . . . . . . 9

1.3 Puissances à exposants rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 11

1.4 Puissances à exposants réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 14

2 Fonctions et équations exponentielles 15

2.1 Deux exemples en introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 15

2.2 Fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 16

2.3 Équations exponentielles (Début) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 18

2.4 Une première application des fcts exponentielles . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Le nombre d"Euler : e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 21

3 Logarithmes 25

3.1 Logarithme en base 10 (ou logarithme décimal) . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 25

3.2 Logarithme en basea(a>0 eta1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Logarithme en base e (ou logarithme naturel) : . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 27

3.4 Propriétés des logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 28

3.5 Formule du changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 36

3.6 Un petit retour aux équations exponentielles . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 37

4 Quelques applications concrètes 39

4.1 Applications concrètes des exp et des log . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 39

A Bibliographie 45

I II

A Quelques éléments de solutions I

A.1 Les Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . I A.2 Fonctions et équations exponentielles . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . V A.3 Logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . VI A.4 Quelques applications concrètes des exp et log. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . IX

Malgré le soin apporté lors de sa conception, le polycopié que vous avez entre les mains contient certainement

quelques erreurs et coquilles. Merci de participer à son amélioration en m"envoyant un mail : javmath.ch@gmail.com

Merci;-)

Puissances et Racines

1.1 Les puissances entières

1.1.1 Puissances à exposants entiers naturels

Définition:SoitaP?etnP?°. On appellepuissancen-ième deaouaà la puissancen, le produit denfacteurs dea. En d"autres termes : a n"a¨a¨...¨aloooooomoooooon nfacteurs Le nombreas"appellela basede la puissance et le nombrens"ap- pellel"exposantde la puissance.

Exemple 1:Calculer les expressions :

a)54"b) ´1 2 3 b)pamqn"am¨n

p42q3"4...

c)pa¨bqn"an¨bn

34¨24"...4

d) ´a b¯ n"anbn, sib023 3 e) am an"$""&""%a m´n, simąn

1 , sim"n

1 an´m, simăn

3734"...

37"...

2 CHAPITRE 1. PUISSANCES ET RACINES

Exercice 1.1:Calculer sans machine :

a)p22q3b)2p23qc)p23q2 d)23´32e)32`34f)103`102 g) 1 3 4 h)

´25

3 i)

´52

4 j)

24k)`?56l)

´1?3

Question:23"8... Mais que pourrait valoir 2´3?

1.1.2 Puissances à exposants entiers relatifs

Définition:Nous allons étendre la notion de puissances à exposants entiers positifs non nuls (i.e.nP ?°) aux puissances à exposants entiers (i.e.nP ?), de façon à conserver les propriétés déjà mentionnées : a m¨an"am`n (avecaP?°)

sim"0

0¨an"a0`n

0¨an"an

a 0"1

Ainsi :a0"1

sim" ´n

´n¨an"a´n`n

´n¨an"a0

´n¨an"1

´n"1

Ainsi :a´n"1

an "Remarquons que sia"0 , l"expression 00"1.

Exemple 2: a)4´3"

b) ´2 5 ´3

Nouvelles propriétés:À la liste des propriétés précédentes, on peut alors compléter :

e) am an"am´n5759"5... f) ´a b¯

´n"ba

n23 ´2 2

CHAPITRE 1. PUISSANCES ET RACINES 3

Exercice 1.2:Calculer sans machine :

d)a´3¨a4e)2´3

32f)12

´2 Exemple 3:Compléter les écritures des expressions : a)2´3¨24"1

2...b)p2´3q´4"4...c)254´3"2...

9´2

Exercice 1.3:Compléter les écritures des expressions suivantes : a)a3¨a4¨a5"a...b)pa3q4"1 a... c) a4 a5"a...d)3n¨32"3... e)5n`1¨5n´1"5...f)4n`3

44"14

g) an`1 a"a...h)pa3¨b4q2"a...b... i)

26¨49´1

k)a´4¨an`3"a...l)212¨7´3

63´2¨34"7...3...

m)a´3 a´4 2 "a...n)a3a4 ´2 "a...

4 CHAPITRE 1. PUISSANCES ET RACINES

1.1.3 La notation scientifique

Définition:Écrire un nombre réelxennotation scientifiquesignifie écrire ce nombre sous la forme : La notation scientifique a pour principal intérêt de simplifier l"écri- ture des calculs. Elle permet également d"estimer une réponse finale sans l"utilisation obligatoire d"une calculatrice. Exemple 4:Écrire les nombres ci-dessous en notation scientifique : a)Distance Terre - Lune :

384404000 m =

b)Masse d"un atome d"hydrogène :0,000"000"000"000"000"000"000"001"7 g = Le saviez-vous?:On désigne souvent les puissances de 10 avec un préfixe précédent les unités de mesure. Par exemple, on parle dekilomètres pour ex- primer 10

3mètres ou degigaoctets pour désigner 109octets.

Constatant qu"il n"existait aucun terme pour désigner10100, le ma- thématicien américain Edward Kasner (aux environs de 1938)créa le néologismegoogol. Kasner prétend que l"invention de ce mot est due à son neveu qui avait alors 9 ans. On peut néanmoins souligner que rien n"est, pour nous, égal au googol 1

"le nombre de cheveux estimé sur toutes les têtes de la popu-lation mondiale est d"environ :ŹEstimation :p1,25¨105q ¨ p7,15¨109q "............

ŹCalculatrice :p1,25¨105q ¨ p7,15¨109q "............ "le nombre de grains de sable dans le Sahara est estimé à :

8 millions de km

2 milliards de grains au m

2* Exercice 1.4:"Modern Times Forever", le plus long film jamais tourné est une production danoise datant de 2011 qui dure 240 heures. En supposant que la vitesse du film est de 24 images par seconde, calculer le nombre total d"images dans ce film. a)Estimer de tête la réponse. b)La calculer à l"aide de votre calculatrice.

1. Ce mot est repris plus tard par les fondateurs de Google pour nommer leur entreprise.

CHAPITRE 1. PUISSANCES ET RACINES 5

Exercice 1.5:

La Voie lactée, notre galaxie, ressemble à un disque. Elle est consti- tuée d"environ deux cents milliards d"étoiles, dont la plupart sont semblables au Soleil. Toutes ces étoiles tournent autour del"axe de rotation du disque. Le soleil se situe à2,5¨1017km du centre ga- lactique. Depuis sa naissance, il y a4,57milliards d"années, il a effectué une vingtaine de tours. La vitesse de révolution du Soleil autour de l"axe de la Voie lactée est-elle supérieure ou inférieure à celle d"un bolide de formule 1? Une estimation de tête peut suffire pour répondre à la question.

1.2 Les racines

Exercice 1.6:Vérifier avec la calculatrice ces étranges égalités : a)a

4`?12"1`?3

b)2a

2´?3"?6´?2

Comment pourrait-on les justifiersans calculatrice?

Définition:SoitaP?`etnP

?°. On appelleracinen-ième dea, notén?a, l"unique nombrerpositif tel quern"a. En d"autres termes : r"n? aðñrn"aetrě0 Le nombreas"appellele radicande, le nombrens"appellel"indice et n? s"appellele radical. a)Dans le cas oùn"1, on a1? a"a. b)Dans le cas oùn"2, la racine 2-ième s"appelleracine carrée et se note? au lieu de2?. c)Dans le cas oùn"3, la racine 3-ième s"appelleracine cu- bique. Exemple 5:a)1?7"...car ........................... b) 4?

81"...car ...........................

Question:Que peut valoir3?´8 ou plus généralement qu"en est-il den?asia est négatif? Il s"agit alors d"étendre la définition pour desvaleurs deaă0 : Définition:"Siaă0 etnest unentier impair, on définit la racinen-ième par : r"n? aðñrn"a "siaă0 etnest unentier pair, la racinen-ième dean"est pas définie.

6 CHAPITRE 1. PUISSANCES ET RACINES

Exemple 6:a)3?´8" ´2 carp´2q3" ´8

b) 4? ´16 n"est pas définie dans l"ensemble des nombres réels2.

Exercice 1.7:Calculer sans machine :

0b)?625c)?0,04

d)a

0,0009e)a0,0016f)a0,000004

g) 3?

1000h)4?´625i)3?343

j) 5?

´32k)3?216l)4?2401

m) 3?

´64n)3a0,027o)3?729

p) 3a

0,001q)3a0,512r)3a´0,125

Propriétés:Soitaetbdeux nombres réelsą0;m,netqdes entiersą0;pun entier quelconque. On a a)pn? aqn"a`?52" b) n? an"a3?53" c) n? a¨b"n?a¨n?b3?3¨3?9" d) nc a b"n? a n?b,oùb0c7 4" e)pn? aqp"n?ap`3?52" f) ma n?a"m¨n?aa3?5" g) n¨q? an¨p"q?ap6?34"

2. En fait, dans le courant duxviesiècle, plusieurs mathématiciens ont eu la nécessité de donner un sens et une

réponse à ce type de calcul. Ils ont alors introduit un ensemble plus grand que l"ensemble ?contenant les racines carrées de nombres négatifs. Il s"agit de l"ensemble ?des nombres complexes.

CHAPITRE 1. PUISSANCES ET RACINES 7

Exercice 1.8:Simplifier les expressions suivantes : a) a ?3b)3?512c)4?27¨4?3 d) 5a a33?ae)4?84?2f)3c1 33c
1 9 g)?

12?3h)3?23?4i)8?818?278?3

j) 6?

1256?256?5k)?22l)?26

m) 10?

25n)24?38o)24?47

p) a?16q)7a?77r)3a?36 Exercice 1.9:Sachant que?27"5,19 et?270"16,43, calculer : a)

2700b)?27000c)?270000

d)a

0,27e)a0,027f)a0,00027

Exercice 1.10:Sachant que3?27"3,3?270"6,46 et3?2700"13,92, calculer : a) 3a

27000b)3?270000c)3?2700000

d) 3a

0,27e)3a0,027f)3a0,00027

Mises en garde:a)Contrairement au cas de la multiplication, on ne peut pas "cas- ser" la racine d"une somme en somme de racines. Réciproque- ment, on ne peut pas directement regrouper une somme de racines : n? a`bn?a`n?b b)L"égalité? a2"an"est pas toujours vraie!!! en effet :

22"?4"2ok!! mais

"b p´3q2"?9"3!! on ne retrouve donc pas la valeur initiale´3 On peut énoncer une règle générale, valable pour tout nombre aP a2"|a| où|a|désigne la valeur absolue dea.

8 CHAPITRE 1. PUISSANCES ET RACINES

Exercice 1.11:Sans calculatrice, vérifier si ces égalités sont justes : a)1`?

3"a4`?12

b)1´?

3"a4´?12

c) 3a

80`48?3"2`2?3

Exercice 1.12:BONUS

Dans le but de construire une égalité du type :1`?

3"a4`?12,

déterminer quelques valeurs poura,b,cetdvérifiant l"égalité : a`? b"bc`?d

Poser alors les égalités ainsi construites.

1.2.1 La définition d"une racine... mal définie?

Analyser la résolution d"équation suivante : x 2"4|? x"2

S" t2u

Rappelons que la racine carrée d"un nombre positifaest l"unique nombre positifrtel quer2"a. La racine carrée de 4 est 2 car 2

2"4. Le nombre négatif´2 est l"opposé de la racine carrée de 4.

On ne l"obtient donc pas directement par cette résolution!! Le concept de racine carrée a été défini et étudié dans l"Antiquité à une époque où celui de nombre négatif n"existait pas encore... Raison pour laquelle le nombre´2n"est pas, arithmétiquement et historiquement, une racine carrée de 4. Exemple 7:Résoudre les équations suivantes : a)x2"16b)px`5q2"2

CHAPITRE 1. PUISSANCES ET RACINES 9

Exercice 1.13:Résoudre les équations suivantes : a)25x2"9b)px´3q2"17 c)px2´2q2"13d)px2`3q2"5

1.2.2 Des bons réflexes qui sauvent la ... fin des calculs

Exemple 8:Sachant que?2"1,414, estimersans calculatriceles nombres suivants : a) 1 ?2b)?8 c) 1 ?2´1d)? 2 1`?2 Exercice 1.14:Sachant que?3"1,73, estimer sans calculatrice les nombres sui- vants : a) 1 ?3b)?12c)3?3´1 Les 3 réflexes:a)L"expression sous une racine (le radicande) doit être la "plus petite" possible :

72"?36¨2"?36¨?2"6?2

"3?82"`3?82"22"4 b)On ne laisse pas de racine au dénominateur d"une fraction : 3 ?5"3?5¨?

5?5"3?

5 5

10 CHAPITRE 1. PUISSANCES ET RACINES

b)On ne laisse pas de racine au ... (suite) : 2

3?5"23?5¨3?

3?52"23?

3?53"23?

25
5 "41`?5"41`?5¨1´? 5

1´?5"4p1´?

1´5

4p1´?

´4" ´1`?5

c)On ne laisse pas de racine de fraction : c 8 3"? 8?3"?

8?3¨?

3?3"? 24
3"?

4¨6

3"2? 6 3 "4c9 25"4?
32

4?52"4?

4?52¨4?