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2 Biochimie

Ann

´ee 2014 - 2015Pol copi

´e d co r -TD

M

´ethodes et outils de calculIntroduction

a la m´ethodologie statistiquepar S

´eba tien erchinovitz

2

Introduction

Informations pratiques

´Eq ipe en eignante .

S ´eba tien erchinovitz eba tien.gerchinovitz@math. niv-to lo e. r Tatiana abopin-Richard tatiana.labopin@math. niv-to lo e. r Diane Pe richard diane.pe richard@math. niv-to lo e. r

Modalit´e .

co r -TD tr ct r

´e en . co r / exercice / mini-TP

´eval ation (partiel 30% 1.5h + examen 70% 1.5h) De in ormation et doc ment de co r eront par oi d

´epo ´e r Moodle. On pe t

'in crire a co r en ivant le chemin . Science et technologie !L2!Biochimie!BioCell/M´ethodo:

Objectifs du cours-TD

Prendre con cience de la pr´e ence d'incertit de dan le ob ervation exp´erimentale . In- trod ction de o til tati tiq e n

´ece aire po r traiter ce incertit de .

On 'app iera r

´eg lierement r ne exp´erience de biologie cell laire q e la promo r´eali era bient ˆotpendantle"TPendoc to e".ontraiterale donn´ee exp´erimentale viade m´ethode tati tiq e . On 'int´ere era a ia de q e tion d t pe . 1.

T e tcliniq e . a v d' ne ba e de donn

´ee cliniq e, comment concl re r l'e ca-

cit ´e o l'ab ence d'e cacit´e d' n no vea m´edicament par rapporta n m´edicament tandard 2.

Agronomie . on di po e de de x ongicide di

´erent po r traiter de plantation de

ma ¨ . S r combien de plantation doit-on comparer ce ongicide avant de recom- mander n ongicide pl t

ˆot q ' n a tre

3.

Sondage politiq e . 1000 per onne ont interrog

´ee a la ortie de rne d econd

to r de ´election pr´e identielle ranc¸ai e ,49%a rment avoir vot´e po r le candi- dat A, et51%po r le candidat B. Si vo ´etiez jo rnali te, q el prono tic annonceriez- vo a l'antenne

To t l'enje e t de r

´epondre a x q e tion pr´ec´edente de ac¸on q antitative, an de prendre ne d

´eci ion me r´ee. e con ´eq ence de ce d´eci ion ont importante , q e ce oit r le plan

m

´edica x,´economiq e o politiq e .

3 4 R

´ef´erences bibliographiques

Ce pol copi

´e e t partiellement in pir´e de note de co r ant´erie re de Philippe Monnier et

M riel Ca ali . Il p i e

´egalement q elq e explication o ill tration de o vrage ivant , q e le lecte r po rra con lter an d'appro ondir le notion introd ite dan ce co r . Richard Weber,Statistics, pol copi´e de co r de de xieme ann´eea Cambridge di ponible en anglai a l'adre ehttp://www.statslab.cam.ac.uk/˜rrw1/stats/Sa5.pdf Vincent Rivoirard et ille Stoltz,Statisti ue en action, V ibert, econde´edition, 2012. Deni D. Wackerl , William Mendenhall III, Richard . Schea er,Mathematical statistics with a⎷⎷lications, Thom on Brook /Cole, eventh edition, 2008. Peter J. Bickel et Kjell A. Dok m,Mathematical statistics : basic ideas and selected to⎷ics,

Pea on Prentice-Hall, econd edition, 2006.

Table des mati

eres

1 Statistiques descriptives

a l'´echelle d'une population7

1 Activit

´e introd ctive . exemple de variabilit´e dan ne pop lation . . . . . . . . .7

2 Repr

´e entation graphiq e de vale r d' ne pop lation . . . . . . . . . . . . .8

3 rande r d

´ecrivant la r´epartition de vale r d' ne pop lation . . . . . . . . . .10

3.1 Me re de po ition . mo enne et m

´ediane . . . . . . . . . . . . . . . .10

3.2 Me re de di per ion .

´ecart-t pe et´ecart interq artile . . . . . . . . . .11 3.3 R ´ecapit lati graphiq e . le boxplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

4 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 A Introd ction a logiciel R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 A.1 elq e commande tile o R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 A.2 R ´e ol tion de l'exercice 4 avec R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

2 Estimation par

´echantillonnage19

1 Introd ction

a l'in ´erence tati tiq e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

1.1 Contexte . ob ervation d' n

´echantillon de la pop lation . . . . . . . . .19

1.2 De x e timate r nat rel de la mo enne et de la variance d' ne pop lation

19 2 ' ´echantillonnage e t ne exp´erience al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

2.1 Po rq oi choi ir l'

´echantillon al´eatoirement . . . . . . . . . . . . . . .20

2.2 Po r

ˆetre vraiment al´eatoire, le tirage de l'´echantillon doit re pecter cer- taine propri ´et´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

2.3 E timate r de la mo enne et de la variance d' ne pop lation . . . . . .

21

3 A tre exemple d'exp

´erience al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3.1 De exp

´erience al´eatoire "jo et " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3.2 Exp

´erience en biologie et ph iq e . o e t l'al´eatoire . . . . . . . . .22

3.3 Exemple o

le ntirage ne ont pa ind´ependant . . . . . . . . . . . .23

4 Caract

´eri tiq e importante d' ne variable al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . .23

4.1 oi d' ne variable al

´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

4.2 E p

´erance d' ne variable al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

4.3 Variance d' ne variable al

´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

4.4 A tre caract

´eri tiq e d' ne variable al´eatoire . . . . . . . . . . . . . .27

5 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27
A R ´e ol tion de l'exercice1 a vecle logiciel R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Fluctuations d'

´echantillonnage et intervalles de conance31

1 Introd ction . po rq oi ne e timation doit-elle

ˆetre accompagn´ee de marge d'er-

re r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Comment q antier l'erre r a oci

´eea l'e timation de la mo enne . . . . . . .31

2.1 E p

´erance de la mo enne d'´echantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 2.2 ´Ecart-t pe de la mo enne d'´echantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 5

6TABLE DES MATI`ERES

3 Contr ction d' n intervalle de conance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.1 Intervalle de ct ation po r la mo enne d'

´echantillon . . . . . . . . . .33

3.2 Intervalle de conance po r la mo enne d' ne pop lation . . . . . . . .

36

3.3 e aire lor q e le nombrend'ob ervation e t petit . . . . . . . . . .38

3.4 Ca partic lier . intervalle de conance po r ne proportion . . . . . . .

38

4 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40
A R ´e ol tion de l'exercice2 a vecle logiciel R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Introduction aux tests d'hypoth

eses45

1 Introd ction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

1.1 Un probl

eme pratiq e co rant . te ter entre de x h pothe e . . . . . . .45

1.2 Con tr ction d' n te t

a l'aide d' n intervalle de conance . . . . . . . .45 2 M ´ethode cla iq e po r con tr ire n te t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

2.1 Choix int iti de la orme d te t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.2 Con tr ction pr

´eci e et d´enition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

2.3 Interpr

´etation de r´e ltat d te t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

2.4 Ca partic lier . te t r la vale r d' ne proportion . . . . . . . . . . . .

49

3 Compl

´ement r le te t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

3.1 a notion dep-vale r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

3.2 e aire q and le nombrend'ob ervation e t petit . . . . . . . . . .51

4 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52
A R ´e ol tion de exercice 2 et 3 a vecle logiciel R . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Un aperc¸u de diff

´erents tests d'hypotheses57

1 Po rq oi n catalog e de te t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2 Te t r de mo enne o de proportion de pop lation . . . . . . . . . . . . .

58

2.1 Et de d' ne e le pop lation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2.2 Comparai on de de x

´echantillon /pop lation . . . . . . . . . . . . . .59

2.3 Comparai on d'a moin troi pop lation . l'ANOVA . . . . . . . . . .

63

3 Te t d 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

3.1 Te t d 2d'ad´eq ationa ne loi di crete . . . . . . . . . . . . . . . . .64

3.2 Te t d 2d'ind´ependance entre de x variable cat´egorielle . . . . . . .65

4 A tre exemple de te t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

5 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66
A R ´e ol tion de l'exercice4 a vecle logiciel R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Chapitre 1

Statistiques descriptives

a l'´echelle d'une population R ´esum´eCe chapitre a po r objecti de aire prendre con cience de la variabilit´e pr ´e ente dan ne pop lation, et d'introd ire le vocab laire po r la d´ecrire.

1 Activit

´e introductive : exemple de variabilit´e dans une population

Con id

´eron ne chorale con tit ´ee de 40 per onne , dont le taille (en m) ont donn´ee par .

1.84 1.88 1.95 1.95 1.84 1.66 1.75 1.74

1.79 1.89 1.83 1.93 1.85 1.74 1.81 1.74

1.90 1.75 1.89 1.64 1.78 1.84 1.90 1.76

1.92 1.83 1.59 1.79 1.94 1.79 1.73 1.72

1.82 1.74 1.68 1.75 1.90 1.71 1.96 1.76

En langage tati tiq e, on dira q e le tablea de donn ´ee ci-de corre ponda ne⎷o⎷ula-

tion. A l'inver e, n´echantilloncorre pondraita n je de donn´ee re treint, obten par ondage,

comme par exemple .

1.89 1.74 1.68 1.74 1.84

Dan ce chapitre, no allon niq ement no int

´ere era la de cription d' ne pop lation.

S r l'exemple de la chorale, comment pe t-on proc

´eder po r d´egager de in ormation de 40

donn

´ee di ponible

7

8CHAPITRE 1. STATISTIQUES DESCRIPTIVES`A L"´ECHELLE D"UNE POPULATION

2 Repr

´esentations graphiques des valeurs d'une population

Une premi

ere id´ee de vi ali ation con i teraita repr´e enter le individ par de point r n graphiq e . le n m

´ero de la donn´ee en ab ci e , et a vale r en ordonn´ee , c . g re1.1 .FI URE1.1 - Une premiere repr´e entation de donn´ee .

a repr ´e entation pr´ec´edente n'e t pa tre parlante. Une de xieme id´ee, pl in ormative, con i te a tracer ndiagramme en bˆatons, avec la taille en ab ci e , et l'e ecti (/ nombre de per onne ) en ordonn ´ee .FI URE1.2 - Exemple de diagramme en bˆaton . e diagramme en b ˆaton pr´ec´edent n'e t pa amment nth´etiq e car de nombre e taille ne ont pr ´e ente q ' ne e le oi dan la pop lation. Un o til graphiq e pl adapt´e dan ce ca e t l'histogramme. Po r l'obtenir, on bdivi e le taille en pl ie r intervalle (q 'on

appelleclasses). P i , po r chaq e intervalle, on trace n rectangle vertical dont l'aire e t´egalea

la proportion d'individ a ant cette taille. Concr etement, la ha te rhd' n rectangle e t donn´ee par . h=proportion d'individ dan l'intervallelarge r de l'intervalle

2. REPR

´ESENTATIONS GRAPHIQUES DES VALEURS D"UNE POPULATION9 Par exemple . on obtienth= (4=40)=L i l'intervalle e t de large rLet 'il contient4individ

parmi le 40individ de la pop lation. 'exemple de la chorale e t ill tr´e en g re1.3 .FI URE1.3 - Exemple d'hi togramme de taille de la chorale.

'hi togramme pe t ˆetre a i tili ´e dan le ca o le intervalle ne ont pa de mˆeme large r.

Cela pe t par exemple

ˆetre int´ere ant 'il a pe d'individ r ne grande plage de vale r , dan ce ca , on pe t regro per ce vale r dan n m

ˆeme intervalle (c . g re1.4 ). Une regle

gro i ere e t q 'il ne a t ni trop d'intervalle (car on ve t amment de point par intervalle), ni trop pe d'intervalle (car inon, l'hi togramme ne erait pa amment in ormati ). Attentiondan to le ca a bien aire en orte q e ce oitl'aireet non la ha te r d rectangle q i repr ´e ente la proportion d'individ dan l'intervalle. Ce choix permet de d´eterminer, pre q e

a vue d'oeil, la proportion d'individ de taille compri e entret1ett2. il t d'´eval er l'aire

de rectangle entret1ett2(a comparera la omme de aire de to le rectangle , q i va t1, c'e t- a-dire100%). Par exemple, la g re1.4 indiq e q 'il a a pe pre 30%de individ dont

la taille e t compri e entre 1.55 m et 1.75 m.FI URE1.4 - Mˆeme hi togramme, mai avec de intervalle de large r di ´erente .

10CHAPITRE 1. STATISTIQUES DESCRIPTIVES`A L"´ECHELLE D"UNE POPULATION

3 Grandeurs d

´ecrivant la r´epartition des valeurs d'une population Introd i on maintenant q elq e grande r q antitative po r r

´e mer certaine in orma-

tion r la pop lation. On di ting e le mesures de ⎷ositionq i indiq ent ne tendance centrale (mo enne et m ´ediane), et le mesures de dis⎷ersionq i reetent la variabilit´e de la pop lation a to r de cette tendance centrale (

´ecart-t pe et´ecart interq artile).

Remarq e importante . dan to t ce q i it, on ne 'int

´ere e q 'a de vale r uantitatives(taille,

age, nombre d'en ant , etc) et nona de vale r ualitatives(genre, t le de m iq e pr´e ´er´e,

pr ´enom, etc). Ce derniere e traitent n pe di ´eremment.

3.1 Mesures de position : moyenne et m

´ediane

3.1.1 Moyenne de population

amoyenne de ⎷o⎷ulatione t la mo enne arithm´etiq e de to te le vale r de la pop lation

(avec le redondance ´event elle ). Ain i, i la pop lation compteNindivid , et q e le vale r ontx1;x2;x3;:::;xN, alor la mo enne de pop lationpope t d´enie par pop=x1+x2+x3+:::+xNN notation=1N N X i=1x i: Dan l'exemple de la chorale, la mo enne de pop lation e t

´egaleapop= 1:807m.

3.1.2 M

´ediane de population

am´ediane de ⎷o⎷ulationpartage l'en emble de to te le vale r de la pop lation en de x

gro pe d'e ecti ´ega x . a moin 50%de vale r ont in ´erie re o ´egale , et a moin 50% de vale r ont p

´erie re o ´egale .

Prenon n exemple de pop lation volontairement tr e imple, avec5individ , et dont le vale r ordonn

´ee ont .

1.05 1.4 2.83.1 6

Dan ce ca , la m

´ediane de pop lation e t´egalea2:8. Cet exemple e t acile car le nombre d'indi- vid dan la pop lation e t impair, i bien q 'il exi te ne vale r "a milie " de a tre . Dan le ca o

l'e ecti de la pop lation e t pair, il a pl tˆot de x vale r "a milie " de a tre , et il e t

d' age de retenir la mo enne de de x. Exemple .

1.05 1.4 2.83.16 7.4

Ici, la m

´ediane de pop lation va t(2:8 + 3:1)=2 = 2:95.

Application n m

´eriq e . dan l'exemple de la chorale, la m´ediane de pop lation va t1:8m.

3.1.3 Diff

´erence entre moyenne et m´ediane

Fait important . la mo enne e t pl en ible a x vale r extr

ˆeme q e la m´ediane. Prenon

l'exemple d' ne petite entrepri e de 9 per onne , dont le alaire net men el (en e ro ) ont donn

´e par .

3. GRANDEURS D

´ECRIVANT LA R´EPARTITION DES VALEURS D"UNE POPULATION11

1160 1160 1160 1160 1160 1500 1500 1700 3500Dan cet exemple, la m

´ediane de pop lation va t1160e ro , alor q e la mo enne de pop lation

va t environ1556e ro . Si le alaire d patron´etait encore pl ´elev´e, par ex de8500e ro a lie

de3500, alor la mo enne pa eraita2111e ro environ, mai la m´ediane re terait inchang´ee. a

m ´ediane e t donc moin en ible a x vale r extrˆeme .

3.2 Mesures de dispersion :

´ecart-type et´ecart interquartile

3.2.1

´Ecart-type de population

L'

´ecart-ty⎷e de ⎷o⎷ulatione t n indicate r de l'amplit de de variation de vale r de la

pop lation a to r de le r mo enne. Ain i, de x pop lation q i ont la m

ˆeme mo enne mai de

ecart -t pe di ´erent n'ont pa la mˆeme variabilit´e ( n´ecart-t pe el´ev´e corre ponda ne grande

variabilit

´e).

Pl pr

´eci ´ement, i ne pop lation deNindivid e t orm´ee de vale r x1;x2;x3;:::;xN, on d

´enit d'abord lavariance de ⎷o⎷ulationcomme´etant la vale r mo enne de carr´e de ´ecart

a la mo ennepop. Var pop=1N N X i=1(xi pop)2 1N N X i=1x 2i! 2pop: e de x orm le ci-de ont importante . a premiere ligne e t pl acilea interpr´eter . la variance e t d'a tant pl grande q ' n grand nombre de vale r xi ont´eloign´ee de la mo ennepop, a trement dit, la variance e t grande lor q e la pop lation pr

´e ente bea co p de variabilit´e.

a orm le de la econde ligne, q i 'obtient par n petit calc l, e t´egalement tile car o vent pl acile a appliq er. On d

´enit en itel'´ecart-ty⎷e de la ⎷o⎷ulationpopcomme´etant la racine-carr´ee de la variance .

pop=pVar pop:

Po rq oi la racine carr

´ee Dan l'exemple de la chorale, le vale r ont de taille (en m etre ),

donc la variance 'exprime enm2(metre a carr´e). En prenant la racine carr´ee, on revienta de

m etre (l'´ecart-t pe 'exprime enm).

Application n m

´eriq e . l'´ecart-t pe de taille de la chorale va tpop0:09m.

Remarque.Attention . lor de application n m´eriq e , il ne a t arrondir q e le r´e ltat -

na x, en concl ion de q e tion (3chi re ignicati par exemple). Ne pa arrondir le r´e ltat

de calc l interm ´ediaire (cela pe t entraˆner de tre grande erre r d'arrondi ). Ain i, mˆeme i vo avez d ´eja calc l´e ne mo ennepopa la q e tion pr´ec´edente, vo devez, po r le calc l de

la variance, reprendre la vale r depopavec le pl de d´ecimale po ible r la calc latrice (ne

pa tili er le r ´e ltat arrondi de la q e tion pr´ec´edente). On d ´ecrit en g re1.5 de x e xemple de pop lation de mo enne ´egale , mai d'´ecart -t pe di ´erent . e tion . laq elle corre ponda l'´ecart-t pe le pl grand

12CHAPITRE 1. STATISTIQUES DESCRIPTIVES`A L"´ECHELLE D"UNE POPULATION(a) Pop lation n° 1(b) Pop lation n° 2

FI URE1.5- Exemple dede xpop lation demo enne ´egale (pop= 10),mai d'´ecart -t pe di

´erent (pop= 1o 3).

3.2.2

´Ecart interquartile de population

´ecart-t pe n'e t pa la e le me re de di per ion. En e et, de x pop lation de mo enne et d' ´ecart -t pe ´ega x pe vent malgr´e to t avoir de hi togramme de orme di ´erente . De m

ˆeme q e no avon d´eni la m´ediane d' ne pop lation, on pe t d´enir le⎷remier uar-

tileQ1et letroisieme uartileQ3de la ac¸on ivante . a moin 25%de individ z}|{ x

1x2x3::: Q1::: ::: ::: xN 2xN 1xN|{z}

a moin 75%de individ a moin 75%de individ z}|{ x

1x2x3::: ::: ::: Q3::: xN 2xN 1xN|{z}

a moin 25%de individ a m ´ediane corre pond q anta elle a second uartileQ2.

Application n m

´eriq e . dan l'exemple de la chorale,Q1 = 1:74m etQ3 = 1:89m.

On appelle

´ecart inter uartiled' ne pop lation la di ´erenceQ3 Q1. Cette di ´erence e t la

large r d' n intervalle q i contient a moin 50%de la pop lation. Pl cette di ´erence e t´elev´ee,

et pl le vale r de la pop lation ont di per

´ee .

3.3 R

´ecapitulatif graphique : le boxplot

ebox⎷lot, o boˆtea moustaches, e t n o til graphiq e po r repr´e enter implement la m ´ediane et la di per ion de vale r d' ne pop lation. T piq ement, n boxplot re emblea la g re 1.6 . Il e t d

´eni de la ac¸on ivante .

e rectangle d milie '´etend d premier q artileQ1a troi ieme q artileQ3, et le trait vertical d milie corre pond a la m´ediane. e trait horizonta x, q 'on appelle le moustaches, englobent encore davantage de va- le r de la pop lation. Po r implier, la convention q e no tili eron e t de placer lequotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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