Les inéquations du premier degré - Lycée dAdultes
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POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ CORRECTION DES EXERCICES
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INÉQUATIONS ET SYSTÈMES D'INÉQUATIONS À DEUX INCONNUES. Exercice 1. 1. Soit l'inéquation : ?2 + 5 ? 3. 2. Parmi les couples de nombres réels suivants
Chapitre 1 : Polynôme du second degré
POLYNÔME DU SECOND DEGRÉ
CORRECTION DES EXERCICES
INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ:Exercice1:
Résolvons dansRles inéquations suivantes sans utiliser le discriminant.1.(2x+ 1)(x3)>0Posons(2x+ 1)(x3) = 0
(2x+ 1)(x3) = 0,2x+ 1 = 0oux3 = 0 ,x=12 oux= 3Faisons un tableau de signe:x
2x+ 1x3(2x+ 1)(x3)1
123+10++
0+ +00+Ainsi, pour toutx2
1;12 []3;+1[on a(2x+ 1)(x3)>0. Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquation est l"intervalle: 1;12 []3;+1[c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.1Chapitre 1 : Polynôme du second degré
2.4x2 +x2
4x2 +x2, x2+ 4x20,x24x+ 20
Posonsx24x+ 2 = 0
x24x+ 2 = 0,(x2)24 + 2 = 0
,(x2)22 = 0 ,(x2)2= 2 ,x2 =p2oux2 =p2 ,x= 2 +p2oux= 2p2Faisons un tableau de signe.x
x24x+ 212p22 +
p2+1+00+Ainsi,x24x+ 20pour toutx22p2;2 +p2
Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquation est l"intervalle:2p2;2 +p2
3.16(x4)20
Posons16(x4)2= 0
16(x4)2= 0,42(x4)2= 0
,(4x+ 4)(4 +x4) = 0 ,x(8x) = 0 ,x= 0oux= 8Faisons un tableau de signe:c
Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.2Chapitre 1 : Polynôme du second degré
x16(x4)2108+10+0
Ainsi,16(x4)20pour toutx2]1;0][[8;+1[
Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquation est l"intervalle: ]1;0][[8;+1[4.p5(2x1)20On sait que pour toutx2R,(2x1)20
Ce qui équivaut àp5(2x1)20carp5<0
Par conséquentRest l"ensemble solution de l"inéquation.5.2x2<5x2x2<5x, 2x25x <0
Posons2x25x= 0
2x25x= 0, x(x+ 5) = 0
,x= 0oux+ 5 = 0 ,x= 0oux=5Faisons un tableau de signe:x
2x25x150+10+0
Ainsi,2x25x <0pour toutx2]1;5[[]0;+1[
Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquation est l"intervalle: ]1;5[[]0;+1[c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.3Chapitre 1 : Polynôme du second degré
6.2x2p2x >0
Posons2x2p2x= 0
2x2p2x= 0,x(2xp2) = 0
,x= 0ou2xp2 = 0 ,x= 0oux=p2 2Faisons un tableau de signe:x
2x2p2x10p2
2+1+00+
Exercice2:
On considère les fonctionsfetgdéfinies surRpar : f(x) = 2x2(3 +p2)x+ 6p2etg(x) =x2+ 3x2:1.Déterminons les racines des fonctionsfetgdansR. f(x) = 2x2(3 +p2)x+ 6p2 Soit1le discriminant de l"équation2x2(3 +p2)x+ 6p2 = 01=b24ac
= [(3 +p2)]24(2)(6p2)
= 9 + 6p2 + 248p2 = 1142p2On sait que11<42p2donc1142p2<0ainsi1<0
1<0donc l"équation n"admet pas de solutions réelles.
Par conséquent, la fonctionfn"admet pas de racines réelles.c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.4Chapitre 1 : Polynôme du second degré
g(x) =x2+ 3x2Soit2le discriminant de l"équationx2+ 3x2 = 0
2=b24ac
= 324(1)(2)
= 98 = 12>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes:
x 1=bp22a=312= 2etx2=b+p
22a=3 + 12= 1
Par conséquent, la fonctiongadmet deux racines distinctes:1et22.Donnons le tableau de signes des fonctionsfetg.
Tableau de signe defx
f(x)1+1+Tableau de signe degx
g(x)112+10+03.Déduisons l"ensemble solutions des inéquationsf(x)<0etg(x)0
dansR.Solution de l"inéquationsf(x)<0
A partir du tableau de signe defprécédent on a:c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.5Chapitre 1 : Polynôme du second degré
f(x)>0pour toutx2Rainsi l"inéquationf(x)<0n"admet aucune solution réelle. Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquationf(x)<0est vide.Solution de l"inéquationsg(x)0
A partir du tableau de signe degprécédent on a: g(x)0pour toutx2]1;1][[2;+1[ D"où l"ensemble solutions de l"inéquationg(x)0est l"intervalle ]1;1][[2;+1[Exercice3:
On considère les fonctionsuetvdéfinies surRpar :u(x) = 3x2+ 7x+ 5etv(x) =x22x+ 71.Déterminons si elles existent, les racines des fonctionsuetvdansR.
u(x) = 3x2+ 7x+ 5 Soit1le discriminant de l"équation3x2+ 7x+ 5 = 01=b24ac
= 724(3)(5)
= 4960 =111<0donc l"équation n"admet pas de solutions réelles.
Par conséquent, la fonctionun"admet pas de racines réelles. v(x) =x22x+ 7Soit2le discriminant de l"équationx22x+ 7 = 0
2=b24ac
= (2)24(1)(7) = 4 + 28 = 32 = (4p2) 2c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.6Chapitre 1 : Polynôme du second degré
2>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes:
x 1=bp22a=24p2
2=1 + 2p2et
x 2=b+p22a=2 + 4p2
2=12p2
Par conséquent, la fonctionvadmet deux racines distinctes:12p2 et1 + 2p22.Donnons le tableau de signes des fonctionsuetv.
Tableau de signe deux
u(x)1+1+Tableau de signe devx
v(x)112p21 + 2p2+10+03.Déduisons l"ensemble solutions des inéquationsu(x)0etv(x)<0
dansR.Solution de l"inéquationsu(x)0
A partir du tableau de signe deuprécédent on a: u(x)>0pour toutx2R. Par conséquent, l"ensemble solution de l"inéquationu(x)0est l"ensembleR.c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.7Chapitre 1 : Polynôme du second degré
Solution de l"inéquationsv(x)<0
A partir du tableau de signe devprécédent on a: v(x)<0pour toutx21;12p2 [1 + 2p2;+1 D"où l"ensemble solutions de l"inéquationv(x)<0est l"intervalle:1;12p2 [1 + 2p2;+1Exercice4:
Résolvons dansRles inéquations ci-dessous.1.2x2+x <3x2422x2+x <3x242,3x2422x2x >0,x2x42>0
Posonsx2x42 = 0
Soitle discriminant de cette équation :
= (1)24(1)(42) = 1 + 168 = 169 = 132 >0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes: x1=1132
=6etx2=1 + 132 = 7Faisons un tableau de signe:x
x2x42167+1+00+
Ainsi,x2x42>0pour toutx2]1;6[[]7;+1[
D"où l"ensemble solution de l"inéquation2x2+x <3x242est: ]1;6[[]7;+1[2.3x2x23x+ 43x2x23x+ 4,2x23x+ 43x0,2x26x+ 40,
x23x+ 20
Posonsx23x+ 2 = 0
Soitle discriminant de cette équation :c
Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.8Chapitre 1 : Polynôme du second degré
= (3)24(1)(2) = 98 = 1 >0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes: x 1=312 = 1etx2=3 + 12 = 2Faisons un tableau de signe:x
x23x+2112+1+00+
Ainsix23x+ 20pour toutx2[1;2]
D"où l"ensemble solution de l"inéquation3x2x23x+ 4est[1;2]Exercice5:
Résolvons dansRles inéquations ci-dessous en précisant les valeurs interdites le cas échéant.1.(x3)(x25x+ 6)>0Posons(x3)(x25x+ 6) = 0
(x3)(x25x+ 6) = 0,x3 = 0oux25x+ 6 = 0 Résolvons les équations :x3 = 0etx25x+ 6 = 0 x3 = 0,x= 3Soitle discriminant de l"équationx25x+ 6 = 0
= (5)24(1)(6) = 2524 = 1 >0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes: x 1=512 = 2etx2=5 + 12 = 3Faisons un tableau de signe:c
Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.9Chapitre 1 : Polynôme du second degré
x x3x25x+ 6(x3)(x25x+6)123+10+
+00+ 0+0+Ainsi(x3)(x25x+ 6)>0pour toutx2]2;3[[]3;+1[
D"où l"ensemble solution de l"inéquation(x3)(x25x+ 6)>0est: ]2;3[[]3;+1[2.(x21)(x27x+ 6)0Posons(x21)(x27x+ 6) = 0
(x21)(x27x+ 6) = 0,x21 = 0oux27x+ 6 = 0 Résolvons les équations:x21 = 0etx27x+ 6 = 0 x21 = 0,x= 1oux=1
Soitle discriminant de l"équationx27x+ 6 = 0
= (7)24(1)(6) = 4924 = 25 = 52 >0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes : x 1=752 = 1etx2=7 + 52 = 6Faisons un tableau de signe:x
x 21x27x+ 6(x21)(x27x+6)1116+1+00++
++00+ +000+ c Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.10Chapitre 1 : Polynôme du second degré
Ainsi pour toutx2[1;6];(x21)(x27x+ 6)0
D"où l"ensemble solution de l"inéquation(x21)(x27x+ 6)0est [1;6].Exercice6:
Résolvons dansRles inéquations ci-dessous en précisant les valeurs interdites le cas échéant.1.2x12x5
2x12x5,2x1(2x5)0
2(2x5)(x1)x10
2(2x22x5x+ 5)x10
2x2+ 7x3x10
Étudions le signe des fonctionx1et2x2+ 7x3
Posonsx1 = 0
x1 = 0,x= 1Posons2x2+ 7x3 = 0
Soitle discriminant de cette équation.
= 724(2)(3) = 4924 = 25 = 52
>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes: x1=754= 3etx2=7 + 54=12
Faisons un tableau de signe :c
Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.11Chapitre 1 : Polynôme du second degré
x x12x2+ 7x32x2+ 7x3x111213+10++
0++0 +0+0Ainsi,
2x2+ 7x3x10pour toutx212
;1 [[3;+1[D"où l"ensemble solution de l"inéquation
2x12x5est :12
;1 [[3;+1[ La valeur interdite de cette inéquation est le réel :12.2x23x5x
22x+ 1>1
2x23x5x
22x+ 1>1,2x23x5x
22x+ 11>0
2x23x5(x22x+ 1)x
22x+ 1>0
2x23x5x2+ 2x1x
22x+ 1>0
x2x6x22x+ 1>0
Étudions le signe des fonctionsx2x6etx22x+ 1
Posonsx2x6 = 0
Soit1le discriminant de cette équation
1= (1)24(1)(6) = 1 + 24 = 25 = 52
1>0donc l"équation admet deux solutions réelles distinctes:c
Cours GaliléeToute reproduction, même partielle, est strictement interdite.12Chapitre 1 : Polynôme du second degré
x 1=152 =2etx2=1 + 52 = 3Posonsx22x+ 1 = 0
Soit2le discriminant de cette équation
2= (2)24(1)(1) = 44 = 0
1= 0donc l"équation admet une unique solution réelle:
x 0=22 = 1Faisons un tableau de signe:x
x 2x6x22x+ 1x
2x6x22x+ 11213+1+00+
++0++quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26[PDF] exercices sur les jours de la semaine ce1
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