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  • Comment expliquer simplement la relativité ?

    La relativité générale est une théorie de la gravitation qui a été développée par Albert Einstein entre 1907 et 1915. Selon la relativité générale, l'attraction gravitationnelle que l'on observe entre les masses est provoquée par une déformation de l'espace et du temps par ces masses.

  • Comment expliquer la relativité générale ?

    La relativité générale et ce qu'elle permet
    Avec la relativité générale, dire que la Terre tourne autour du Soleil devient incorrect. En fait, la Terre va tout droit dans l'espace-temps, mais c'est l'espace-temps lui-même qui, déformé par cette masse importante qu'est le Soleil, est courbé.

  • Quel est la formule de la relativité ?

    «E=mc2», la formule la plus cél?re du monde Issue de la théorie de la relativité restreinte, qu'Albert Einstein énonce dans un article paru en juin 1905, elle ouvre la voie à la formulation, dix ans plus tard, d'une théorie plus vaste intégrant la loi de la gravité de Newton: la relativité générale.
  • Étymologie. Cél?re formule d'Albert Einstein signifiant que l'énergie (E) est égale à la masse (m) multipliée par le carré de la vitesse de la lumière (c).
1

PretirageINLN2004/17

RELATIVITEGENERALEPOURDEBUTANTS

MichelLeBellac

Mai2004

INSTITUTNONLINEAIREDENICEUMR6638

1361routesdesLucioles06560Valbonne

e-mail:michel.lebellac@inln.cnrs.fr 2

Tabledesmatieres

1Introduction5

2Principed'equivalence9

3Espace-tempsplat19

4Cosmologie29

5Bo^teaoutilsdegeometriedierentielle45

6Solutionsasymetriespherique59

3

4TABLEDESMATIERES

Chapitre1

Introduction

1.1Brefhistorique

echiraunetheorierelativiste (r)=GM rU(r)=GMmr(1.1) ds2= 1rS r dt2 1rSr

1dr2r2d2+sin2d'2(1.2)

d'unemasseponctuelleM. parsiecle! 5

6CHAPITRE1.INTRODUCTION

exploitantl'eetMossbauer. revientparlagrandeporte!

2003:lesatelliteWMAPobserveles

cosmologie(modeleCDM,chapitre4).

1.2Planducours

Leplanducoursseralesuivant

1.Principed'equivalence

2.Espace-tempsplat

3.Cosmologie

4.Bo^teaoutilsdegeometriedierentielle

5.Solutionsasymetriespherique

ici.

RosalindFranklin:::

1.3.QUELQUESREFERENCESGENERALES7

Lentillesgravitationnelles.

Astrophysiquerelativiste:pulsars.

Solutionsaxisymetriques(metriquedeKerr).

Gravitationquantique.

etc.

1.3Quelquesreferencesgenerales

stein,EDPSciences/CNRSEditions,Paris. larelativitegenerale).

8CHAPITRE1.INTRODUCTION

Chapitre2

Principed'equivalence

2.1Referentielsd'inertie

F0=q~Em~A=m~a0(2.1)

m~a0=~F0=2q~Em~A~F0~F=q~E(2.2)

F0=m~gm~A(2.3)

jj ~Fgjj=Gmgm0g r2(2.4) 9

10CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

m i+mgg=0(2.5) T A TB= mAimAgm

BgmBi!

1=2 (2.6) m

2.2Principed'equivalence

libreoulapommeestaurepos! doncenoncerleprinciped'equivalence enintegrantlacomposanteFydelaforce

2.2.PRINCIPED'EQUIVALENCE11

(b)A BAB (a)

Terre.

pb2+v2t2b' O py=Z +1 1 F ydtFy=GmM b2+v2t2cos'=GmMb(b2+v2t2)3=2 oubestleparametred'impact.Onobtientdonc py=GmMbZ +1 1dt (b2+v2t2)3=2=2GmMbv(2.7) soitpourl'anglededeviation2 =py mv=2GMbv2(2.8) cot

2=bv2GM

resultatquiconcideavec(2.8)pour1.

12CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

2.3Decalageverslerougegravitationnel

t1z=1

2gt2z=h+1

2g2z h Tt0 plafondz=h+gt2=2. h+1

2gt2n=12g(nT)2+c(tnnT)(2.9)

t n=nT+h c(1+"n)j"nj1 t n(nT)2=(tnnT)(tn+nT)'2h c nT+hc etenreportantdans(2.9)onobtient n=gnT c+ghc2T=tntn1T=hc("n"n1)=ghc2T avec T

T=ghc2(2.10)

2.3.DECALAGEVERSLEROUGEGRAVITATIONNEL13

!=ghc2(2.11) T

T=vc=ghc2

relationdePlanck-EinsteinE=~! E E=1E Ec2gh =!!=ghc2 S U (ct;x) (ctA;xA)(ctB;xB)ct x S AS B l'observateurUestcourbe. c(ttA)=xxA c(ttB)=x+xB randonnee!

14CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

Lesystemeapoursolutionimmediate

ct=1

2[c(tA+tB)+(xBxA)]

x=1

2[c(tBtA)+(xB+xA)](2.12)

dumetre.

2.4Interpretationgeometrique

=t 1+ c2 (2.13)

BA=T=T

1+B c2 T 1+Ac2 =TBAc2=Tghc2 ds2=

1+2(~r)

c2 c 2dt2

12(~r)c2

d~r2(2.14) peutdonnerdeuxinterpretations. lagravite). detempstetletempspropreestdonc =t

1+2(~r)

c2 1=2 't

1+(~r)c2

(2.15)

2.5.EFFETSDEMAREEGRAVITATIONNELS15

entrel'emissionetlareceptiond'unphoton s2=c2t2~r2=0 (2.14)etcomptetenudej=c2j1 dz dt'c 1+2c2 z 0=Z z 12(v) c2 dvdz0dz=12(z)c2 etdoncdz0 dt=dz0dzdzdt'c avons s AB=Z B A dt"

1+2(~r)

c2 c 2

12(~r)c2d~rdt

2#1=2 'cZ B A dt"

1+2(~r)

c2 1c2 d~rdt 2#1=2 'cZ B A dt" 11 c2 12 d~rdt 2 (~r)!# (2.16) sAB ~r(t)=0()d2~rdt2=~r(~r)

2.5Eetsdemareegravitationnels

16CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

M(x;z)

O RS xz gravitationnelled'unobjetdemassemest (x;z)=GmM [x2+(d+z)2]1=2 'GmM d

1zdx22d2+z2d2

(2.17)

Pourunemasseen(x;z),nousavons

F xF0x=Fx=GmMx d3(2.18) F zF0z=GmM2z d3(2.19) nousfaisonslesdeuxremarquessuivantes. precede d 2i dt2=ij@2@xi@xk~rk(2.20)

2.5.EFFETSDEMAREEGRAVITATIONNELS17

unevaleurabsoluealaforcedegravitation. del'espace-temps. chapitresuivantalarelativiterestreinte.

Bibliographie.

leprincipedeMach).

18CHAPITRE2.PRINCIPED'EQUIVALENCE

Chapitre3

Espace-tempsplat

pourdesexposespluscomplets. X ix iyi=xiyi

3.1Photons

mesurerenutilisantuniquementdesphotons. 19

20CHAPITRE3.ESPACE-TEMPSPLAT

O0 O N(O)P Obs ectionduphotonparlemiroir t=1

2(t2+t1)x=12(t2t1)(3.1)

cryptographieaclesecrete.

3.2.EFFETDOPPLER21

sontindependantesdupartenairequire echitlephoton. P tt+tt 0+t t 1t

2AliceBobAliceBob

Chiara

t

0t2+t12t

2t1 2

3.2EetDoppler

Silephotonestre

echiparlavoiture,apour coordonnees,avect1=tett2=K2tdans(3.1) temps 1

2(t2+t1)=12t(K2+1)

espace 1

2(t2t1)=12t(K21)

v=K21

K2+1(3.2)

ouencore K=r 1+v

1v(3.3)

22CHAPITRE3.ESPACE-TEMPSPLAT

Oradar

auto K 2t P Kt t rec=1

K!em=!emr

1v

1+v(3.4)

3.3Metriquedel'espace-tempsplat

x =(x0;~x)ety=(y0;~y) xy=x0y0~x~y=x0y0xiyi(3.5) =diagonal(1;1;1;1) deWick.

3.3.METRIQUEDEL'ESPACE-TEMPSPLAT23

deMinkowski =diagonal(1;1;1;1)(3.6) etnousrecrivons(3.5) xy=xy=xyavecx=x ds2=(dx0)2d~x2=dt2d~x2=dxdx(3.7) (x0)2~x2=xx=0(3.8) x x=2=t2v2t2=t2(1v2)=t2 2 avec =(1v2)1=2,soitt= t

02=t2x2=2

particule:t0=.L'expressiont=

0=Kt=tr

1+v 1v x=ttx=vt soit t=t

1vx=vt1v

Nousobtenonsdonc

2=1 (1v)2(1v2)t2=1+v1v02

24CHAPITRE3.ESPACE-TEMPSPLAT

t t P O vtx enP:(t;x=vt)autempst. aupointPdetempspropre u()=dx()d(3.9) u temps(propre)innitesimald dx=ud maiscomme dx2=d2=(uu)d2 dx0 d=dtd= d~rd=dtdd~rdt= ~v soit u= (1;~v)(3.10) y ()=x(())w=dy d=u(())dd alors d2y d2=dwd=d2d2u(3.11) ambigute.

3.4.TENSEURENERGIE-IMPULSION25

Pt Alice Bob t x=vt tKt x=tt x =uavecu=(1;1;0;0) x =3u,etonveriequen'estpasunparametreane. u

AuB=u0Au0B~uA~uB=u0B=1

p1v2AB etdonc u AuB=1 p1v2AB(3.12) etuB.

3.4Tenseurenergie-impulsion

d'espace) p =mup0=E= m~p= m~v(3.13)

26CHAPITRE3.ESPACE-TEMPSPLAT

limiteenfonctiondev=c

E=mc2+p2

2m+~p=m~vp1(v=c)2=m~v+

nonrelativistehabituelle. desintegrentauboutd'untemps unedistance9 vcharges.Enresume, ,mais etunedensite decourant~|= j=u(3.14) @j=@0j0+~r~|=0(3.15) uidesgalileenne.

Lorsquen=(1;~0)

(jn)V=V=N

N=(jn)tyz=jxtyz=N

yzttyz

3.4.TENSEURENERGIE-IMPULSION27

etjx=N=(At)estbienle lescas

N=(jn)V(3.16)

relationcorrespondanta(3.16)estalors p=(Tn)V(3.17) tempsetlestroiscomposantesd'espace p0=E=T00V pi=Ti0V T =T00=(m )=mu0u0 i=Ti0=(m vi)( )=mu0ui carladensitedansRest= p=Txtyz=TxtA T x=p=(At)estle ux T ix=pi

At=pi=tA

Fi=TijnjA

des @T=0(3.18)

Uncasparticulierimportantestceluidu

dependrequedelavitessed'ensembleudu uideestaurepos,ondoitavoir T =diag(;P;P;P) 11Le uideestaurepos,maisprecisementiln'ya pasde uxdechaleurdansun uideparfait.

28CHAPITRE3.ESPACE-TEMPSPLAT

T =Auu+B T

00=A+B=Tij=Bij=Pij

cequidonne

T=(+P)uuP(3.19)

ouenformule R 1

2gR=8GT(3.20)

sontdescaracteristiquesdelageometrie.

Bibliographie.

u @T=0 etcelled'Eulerde (uu)@T=0

Chapitre4

Cosmologie

duchapitre5.

4.1Descriptionqualitativedel'Univers

D'apresHartle[2003].

GM(r) r2=v2(r)r(4.1) 29

30CHAPITRE4.COSMOLOGIE

uctuations cosmologique rayonnementestisotropeavecdes

D'apresHartle[2003].

v c=z(4.2)

4.2.COORDONNEESCOMOBILES31

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