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Relativité générale pour débutants

12 sept. 2006 Apr`es avoir établi la relativité restreinte Einstein commença immédiatement `a réfléchir `a une théorie relativiste de la gravitation. Il ...

Relativité Générale

Le but de ce cours est d'introduire la relativité générale en 15 h en mettant l' à savoir les directions isotropes (carré scalaire nul pour la métrique.

RELATIVITÉ GÉNÉRALE

positif négatif ou nul

Principes de base de la relativité générale

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Relativité Générale

11 mai 2020 Bien sûr la masse centrale courbe l'espace le tenseur de Riemann n'est pas nul ! Il ne faut pas oublier qu'en dimension 4

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Relativité générale

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Introduction à la relativité générale

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RELATIVITÉ GÉNÉRALE par David SÉNÉCHAL Ph D Professeur Titulaire Université de Sherbrooke Faculté des sciences Département de physique

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Comment expliquer simplement la relativité ?
La relativité générale est une théorie de la gravitation qui a été développée par Albert Einstein entre 1907 et 1915. Selon la relativité générale, l'attraction gravitationnelle que l'on observe entre les masses est provoquée par une déformation de l'espace et du temps par ces masses.
Comment expliquer la relativité générale ?
La relativité générale et ce qu'elle permet
Avec la relativité générale, dire que la Terre tourne autour du Soleil devient incorrect. En fait, la Terre va tout droit dans l'espace-temps, mais c'est l'espace-temps lui-même qui, déformé par cette masse importante qu'est le Soleil, est courbé.
Quel est la formule de la relativité ?
«E=mc2», la formule la plus cél?re du monde Issue de la théorie de la relativité restreinte, qu'Albert Einstein énonce dans un article paru en juin 1905, elle ouvre la voie à la formulation, dix ans plus tard, d'une théorie plus vaste intégrant la loi de la gravité de Newton: la relativité générale.
Étymologie. Cél?re formule d'Albert Einstein signifiant que l'énergie (E) est égale à la masse (m) multipliée par le carré de la vitesse de la lumière (c).

Observatoire de Paris, Universités Paris 6, Paris 7 et Paris 11,

École Normale Supérieure

MasterAstronomie, Astrophysique et Ingénierie Spatiale

Année M2 - Parcours Recherche

2013 - 2014

UE FC5

Relativité générale

Éric Gourgoulhon

Laboratoire Univers et Théories (LUTH)

CNRS / Observatoire de Paris / Université Paris Diderot (Paris 7) eric.gourgoulhon@obspm.fr 2

Table des matières

1 Introduction

1.1 Motivations et objectifs du cours

1.2 Articulation avec les autres cours

1.3 Page web du cours

2 Cadre géométrique

2.1 Introduction

2.2 L"espace-temps relativiste

2.2.1 Les quatre dimensions

2.2.2 Notion de variété

2.2.3 Courbes et vecteurs sur une variété

2.2.4 Formes multilinéaires et tenseurs

2.3 Tenseur métrique

2.3.1 Définition

2.3.2 Composantesgdu tenseur métrique

2.3.3 Bases orthonormales

2.3.4 Genre des 4-vecteurs

2.3.5 Représentation graphique des vecteurs

2.3.6 Cône isotrope

2.3.7 Distance entre deux points

2.3.8 Bilan

2.4 Lignes d"univers

2.4.1 Trajectoires des photons et cône de lumière

2.4.2 Mouvement d"un point matériel

2.4.3 Temps propre

2.4.4 Quadrivitesse

2.4.5 Quadri-impulsion

2.5 Observateurs

2.5.1 Simultanéité et mesure du temps

2.5.2 Espace local de repos

2.5.3 Facteur de Lorentz

2.5.4 Mesures d"énergie et de quantité de mouvement

2.6 Principe d"équivalence et géodésiques

2.6.1 Principe d"équivalence

4TABLE DES MATIÈRES2.6.2 Équation des géodésiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

2.6.3 Géodésiques de longueur nulle

2.7 Exercices

3 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)

3.1 Introduction

3.2 Métrique de Schwarzschild

3.2.1 Espace-temps statique et à symétrie sphérique

3.2.2 Expression de la métrique de Schwarzschild

3.2.3 Paramètre de compacité

3.2.4 Théorème de Birkhoff

3.2.5 Métrique de Schwarzschild en coordonnées isotropes

3.3 Géodésiques lumière radiales

3.3.1 Recherche des géodésiques lumière radiale

3.3.2 Coordonnées d"Eddington-Finkelstein

3.4 Décalage spectral gravitationnel (effet Einstein)

3.4.1 Symétries et quantités conservées le long des géodésiques

3.4.2 Effet Einstein

3.4.3 Effet Einstein comme dilatation des temps

3.4.4 Mise en évidence expérimentale et observationnelle

3.5 Orbites des corps matériels

3.5.1 Quantités conservées

3.5.2 Potentiel effectif

3.5.3 Orbites circulaires

3.5.4 Dernière orbite circulaire stable

3.5.5 Autres orbites

3.5.6 Avance du périastre

3.6 Trajectoires des photons

3.6.1 Potentiel effectif

3.6.2 Allure des trajectoires des photons

3.6.3 Déviation des rayons lumineux

3.6.4 Mirages gravitationnels

3.6.5 Retard de la lumière (effet Shapiro)

3.7 Exercices

4 Équation d"Einstein

4.1 Introduction

4.2 Dérivation covariante (connexion)

4.2.1 Gradient d"un champ scalaire

4.2.2 Dérivation covariante d"un vecteur

4.2.3 Extension à tous les tenseurs

4.2.4 Connexion compatible avec la métrique

100

4.2.5 Divergence d"un champ vectoriel

105

4.3 Tenseur de courbure

106

TABLE DES MATIÈRES54.3.1 Transport parallèle non infinitésimal et courbure. . . . . . . . . . .106

4.3.2 Propriétés du tenseur de Riemann

110

4.3.3 Tenseur de Ricci et tenseur d"Einstein

111

4.4 Tenseur énergie-impulsion

112

4.4.1 Définition

112

4.4.2 Tenseur énergie-impulsion du fluide parfait

113

4.5 Équation d"Einstein

115

4.5.1 Énoncé

115

4.5.2 Limite newtonienne

116

4.6 Solutions statiques et à symétrie sphérique

116

4.6.1 Écriture de l"équation d"Einstein

116

4.6.2 Solution de Schwarzschild

118

4.6.3 Équations de Tolman-Oppenheimer-Volkoff

120

4.6.4 Pour aller plus loin...

122

4.7 Exercices

122

5 Trous noirs

123

5.1 Introduction

123

5.2 Singularité de coordonnées et singularité centrale

124

5.2.1 Nature de la singularité au rayon de Schwarzschild

124

5.2.2 Singularité centrale

127

5.3 Horizon des événements

127

5.3.1 Définition

128

5.3.2 Genre lumière de l"horizon des événements

129

5.4 Effondrement gravitationnel

131

5.5 Trous noirs en rotation

131

5.5.1 Solution de Kerr

131

5.5.2 Théorème d"unicité (absence de chevelure)

132

5.5.3 Horizon des événements

133

5.5.4 Ergosphère

133

5.6 Mouvement géodésique dans l"espace-temps de Kerr

135

5.6.1 Quantités conservées

135

5.6.2 Effet Lense-Thirring

136

5.6.3 Orbites circulaires dans l"espace-temps de Kerr

138

5.6.4 Processus d"extraction d"énergie de Penrose

139

5.7 Exercices

141

6 Ondes gravitationnelles

143

6.1 Introduction

143

6.2 Linéarisation de l"équation d"Einstein

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Comment expliquer la relativité générale ?

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Éric Gourgoulhon

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2.2 L"espace-temps relativiste

2.2.1 Les quatre dimensions

2.2.2 Notion de variété

2.2.3 Courbes et vecteurs sur une variété

2.2.4 Formes multilinéaires et tenseurs

2.3 Tenseur métrique

2.3.1 Définition

2.3.2 Composantesgdu tenseur métrique

2.3.3 Bases orthonormales

2.3.4 Genre des 4-vecteurs

2.3.5 Représentation graphique des vecteurs

2.3.6 Cône isotrope

2.3.7 Distance entre deux points

2.3.8 Bilan

2.4 Lignes d"univers

2.4.1 Trajectoires des photons et cône de lumière

2.4.2 Mouvement d"un point matériel

2.4.3 Temps propre

2.4.4 Quadrivitesse

2.4.5 Quadri-impulsion

2.5 Observateurs

2.5.1 Simultanéité et mesure du temps

2.5.2 Espace local de repos

2.5.3 Facteur de Lorentz

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3.2.1 Espace-temps statique et à symétrie sphérique

3.2.2 Expression de la métrique de Schwarzschild

3.2.3 Paramètre de compacité

3.2.4 Théorème de Birkhoff

3.2.5 Métrique de Schwarzschild en coordonnées isotropes

3.3 Géodésiques lumière radiales

3.3.1 Recherche des géodésiques lumière radiale

3.3.2 Coordonnées d"Eddington-Finkelstein

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3.4.1 Symétries et quantités conservées le long des géodésiques

3.4.2 Effet Einstein

3.4.3 Effet Einstein comme dilatation des temps

3.4.4 Mise en évidence expérimentale et observationnelle

3.5 Orbites des corps matériels

3.5.1 Quantités conservées

3.5.2 Potentiel effectif

3.5.3 Orbites circulaires

3.5.4 Dernière orbite circulaire stable

3.5.5 Autres orbites

3.5.6 Avance du périastre

3.6 Trajectoires des photons

3.6.1 Potentiel effectif

3.6.2 Allure des trajectoires des photons

3.6.3 Déviation des rayons lumineux

3.6.4 Mirages gravitationnels

3.6.5 Retard de la lumière (effet Shapiro)

3.7 Exercices

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4.1 Introduction