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Ce cours a pour objectif d'exposer de la façon la plus élémentaire possible les idées de la relativité générale c'est-`a-dire la théorie relativiste de la
Comment expliquer la relativité générale ?
La relativité générale et ce qu'elle permet
Avec la relativité générale, dire que la Terre tourne autour du Soleil devient incorrect. En fait, la Terre va tout droit dans l'espace-temps, mais c'est l'espace-temps lui-même qui, déformé par cette masse importante qu'est le Soleil, est courbé.Quel est la formule de la relativité ?
«E=mc2», la formule la plus cél?re du monde Issue de la théorie de la relativité restreinte, qu'Albert Einstein énonce dans un article paru en juin 1905, elle ouvre la voie à la formulation, dix ans plus tard, d'une théorie plus vaste intégrant la loi de la gravité de Newton: la relativité générale.Quelle est la signification de E mc2 ?
Étymologie. Cél?re formule d'Albert Einstein signifiant que l'énergie (E) est égale à la masse (m) multipliée par le carré de la vitesse de la lumière (c).- La démonstration ne fait appel qu'à trois lois classiques : 1) la conservation de la quantité de mouvement 2) la pression de radiation (quantité de mouvement d'une onde électromagnétique) 3) l'aberration de la lumière (composition de la vitesse de la source et de la vitesse de la lumière).
RELATIVITÉ GÉNÉRALE
parDavid SÉNÉCHAL
Ph.D., Professeur Titulaire
UNIVERSITÉ DESHERBROOKE
Faculté des sciences
Département de physique
(mars 2020)Ce manuel électroniquefut utilisé dans le cadre du cours PHQ615 (Relativité générale) à l"Uni-
versité de Sherbrooke, depuis 2018. Il fait partie d"une collection de manuels électroniques diffusés par des professeurs du département de physique de l"Université de Sherbrooke. Il aété revisité pour une diffusion sous licence libre en collaboration avec la fabriqueREL en mars
2020. Il est diffusé sous licenceCreative Commonsdans sa version BY-NC, sauf indications
contraires.L"auteur,David Sénéchal, est professeur titulaire à l"Université de Sherbrooke. Son domaine de
recherche est la modélisation numérique des matériaux quantiques. C"est dans un esprit departage et de collaboration qu"il a décidé de partager cette ressource éducative libre. La liste
de ses publications est disponible surGoogle Scholar. Sauf indications contraires, le contenu de ce manuel électronique est disponible en vertu des termes de laLicence Creative Com-Vous êtes encouragé à :
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Paternité- Vous devez citer le nom de l"auteur original. Pas d"utilisation commerciale- Vous n"avez pas le droit d"utiliser le matériel à des fins commerciales.Une théorie est avant tout faite de la manière dont elle est pensée, dont elle est comprise,
dont elle est interprétée, bref, dont elle est vécue. C"est qu"une théorie doit être interprétée
pour être appliquée, et l"on ne peut guère la définir en en donnant simplement les règles;
des règles qui sont infiniment plus complexes, plus fluides qu"il n"apparaît au premier abord; une théorie n"existe guère que dans l"esprit, l"opinion, le jugement de ses experts, comme une oeuvre d"art en quelque sorte. Isolée, oubliée, sans applications théoriques ou n"aimerait, dont on n"aurait aucun besoin. Bref une théorie vie, elle est à comprendre dansl"esprit de ses experts, à un moment donné de sa vie. Et, parallèlement à la manière dont
les générations d"experts la comprennent, sans même que ses équations ne varient, elleévolue.
- Jean Eisenstaedt,Einstein et la relativité généraleTABLE DES MATIÈRES
Table des matières5
1 Rappels de relativité restreinte11
1Structure de l"espace-temps pseudo-euclidien...............12
2Transformations de Lorentz......................13
3Temps propre, vitesse et accélération..................16
BDynamique relativiste.........................19
1Action d"une particule libre......................19
2Particule chargée dans un champ électromagnétique............20
3Forme covariante de l"équation du mouvement..............22
4Transformation des champs électromagnétiques..............23
2 Géométrie riemannienne29
AVecteurs et tenseurs sur un espace courbe.................29BConnexion affine...........................33
1Transport parallèle.........................33
2Dérivée covariante.........................34
3Relation entre la connexion affine et le tenseur métrique...........36
1Description mathématique d"une courbe.................39
2Définitions d"une géodésique.....................40
1Définition du tenseur de Riemann...................42
2Tenseur de Riemann et transport parallèle................43
3Tenseurs de Ricci, courbure scalaire et tenseur d"Einstein..........45
EExemples simples en dimension 2.....................451La sphère.............................46
2Le cylindre............................47
3Le cône.............................48
4Le tore..............................49
FAnnexe : intégrales et théorème de Stokes généralisé.............531Pseudotenseur complètement antisymétrique...............53
2Pseudotenseur dual.........................54
3Éléments d"hypervolume, de volume, de surface et de longueur........55
4Théorème de Stokes généralisé....................57
5Exemples en dimension 2......................57
53 Principes de la relativité générale67
AThéorie newtonienne de la gravitation...................671Loi de Poisson...........................67
2Le principe d"équivalence......................68
BLe principe de relativité générale.....................691Mouvement inertiel d"une particule...................70
2Coordonnées localement cartésiennes..................70
3Limite non relativiste........................72
4Formulation lagrangienne alternative..................73
CDistances et durées..........................751Décalage vers le rouge........................75
2Définition des distances.......................77
DÉquations du champ de gravitation....................781Action d"Einstein-Hilbert.......................78
2Tenseur d"énergie-impulsion.....................79
3Variation de l"action d"Einstein-Hilbert.................80
4Équations d"Einstein........................82
5Limite non relativiste........................82
ELa constante cosmologique.......................844 Géométrie de Schwarzschild89
ASolution de Schwarzschild.......................891Métrique isotrope générale......................89
2Résolution des équations du champ...................91
BGéodésiques de Schwarzschild......................931Équations générales des géodésiques dans la solution de Schwarzschild.....93
2Trajectoires des particules massives...................94
3Mouvement radial.........................97
4Mouvement circulaire........................98
5Précession des orbites elliptiques....................100
6Trajectoire des photons.......................102
7Déviation des rayons lumineux....................103
CPrécession géodétique.........................105 DHorizons et singularités.........................1081Singularités intrinsèques vs singularités de coordonnées...........108
2Horizon d"événements........................109
3Surface à décalage infini.......................110
ECoordonnées de Kruskal-Szekeres.....................1101Cônes de lumière entrants et sortants..................110
2Coordonnées de Kruskal-Szekeres...................112
3Diagramme d"espace-temps de Kruskal-Szekeres.............114
FTrous de vers.............................115
1Pont d"Einstein-Rosen........................115
2Trou de ver dans le trou noir de Schwarzchild...............116
GRayonnement de Hawking et évaporation des trous noirs............1181Température de Hawking.......................119
2Évaporation du trou noir.......................120
5 Géométrie de Kerr127
AMétrique de Kerr...........................1271Entraînement des repères......................128
2Métrique de Kerr..........................128
3Cas limites de la métrique de Kerr...................129
4singularités de la métrique de Kerr...................131
BErgosphère et processus de Penrose....................133 CGéodésiques équatoriales dans la métrique de Kerr..............134 DEffet Lense-Thirring..........................1356 Ondes gravitationnelles141
ARelativité linéarisée..........................1411Déformation du tenseur métrique...................141
2Équations d"Einstein linéarisées....................143
BPropagation des ondes gravitationnelles..................1451Solution générale à l"équation d"onde..................145
2Effet du passage d"une onde gravitationnelle...............147
CRayonnement des ondes gravitationnelles.................1491Fonction de Green pour l"équation d"onde................149
2Approximation des sources compactes.................151
3Rayonnement causé par un objet binaire.................153
4Énergie portée par une onde gravitationnelle...............156
5Détection des ondes gravitationnelles..................160
7 Cosmologie167
ALe principe cosmologique........................167 BUnivers de Friedmann-Lemaître.....................1681Métrique de Friedmann-Lemaître...................168
2Espace à courbure spatiale constante positive...............171
3Espace à courbure spatiale constante négative...............173
4Géodésiques dans l"espace de Friedmann-Lemaître.............174
5Décalage vers le rouge cosmologique..................175
6La constante de Hubble.......................175
CModèles cosmologiques........................1771Équations de Friedmann-Lemaître...................177
2Équations du mouvement du fluide cosmologique.............178
3Paramètres cosmologiques......................181
4Diagramme de phase cosmologique..................182
5Évolution temporelle du facteur d"échelle................184
DCosmologie inflationnaire........................1881Les paradoxes du modèle cosmologique standard.............188
2Le problème de l"horizon.......................188
3Expansion inflationnaire.......................189
8 Annexes197
BUnités géométriques..........................200 CVecteurs et tenseurs..........................2011Composantes covariantes et contravariantes...............201
DTenseur d"énergie-impulsion d"un fluide parfait...............205 ECalcul du tenseur de Riemann avec SymPy.................2091Calcul de quantités reliées à la métrique statique à symétrie sphérique générale, en
fonction des fonctions inconnuesA(r)etB(r)................2092Calcul de quantités reliées à la métrique de Schwarzschild..........211
TABLE DES PROBLÈMES
1.1 Addition des vitesses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
1.2 Tenseur métrique et élément de volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
1.3 accélération constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
1.4 Forme générale de la transformation de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
1.5 composition des transformations de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
1.6 paradoxe des jumeaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
1.7 Effet Compton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
1.8 mouvement dans un champ électrique constant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
1.9 mouvement dans un champ magnétique constant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
1.10 mouvement dans des champs magnétique et électrique parallèles. . . . . . . . . . . . . .28
1.11 mouvement dans des champs magnétique et électrique croisés. . . . . . . . . . . . . . . .28
2.1 coordonnées stéréographiques sur la sphère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
2.2 connexion affine pour une métrique diagonale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
2.3 coordonnées polaires planes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
2.4 géodésiques sur le tore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
2.5 transport parallèle le long d"un parallèle sur la 2-sphère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
2.6 transport parallèle le long d"un parallèle sur la 2-sphère (suite). . . . . . . . . . . . . . . . .60
2.7 coordonnées curvilignes sur le plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
2.8 quadri-divergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
2.9 vecteurs de Killing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
2.10 vecteurs de Killing (suite). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
2.11 commutation des dérivée covariantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
2.12 identité de Bianchi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
2.13 métrique non triviale pour un espace plat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
2.14 symétrie du tenseur de Ricci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
2.15 facteur d"échelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
2.16 séparation des coordonnées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
2.17 géométrie de la 3-sphère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
2.18 géométries conformes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
3.1 coordonnées de Kottler-Møller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86
3.2 décalage en fréquence d"un satellite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86
3.3 référentiel tournant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
3.4 variation de la connexion affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
3.5 tenseur d"énergie-impulsion du champ électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
3.6 Conservation de l"énergie-impulsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88
4.1 surface d"une sphère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
4.2 paradoxe des jumeaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
4.3 Force de marée près d"un trou noir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
4.4 troisième loi de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123
4.5 orbite circulaire d"un photon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123
4.6 théorème de Jebsen-Birkoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123
94.7 problème de Kepler relativiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
4.8 coordonnées de Lemaître. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
4.9 Coordonnées de Painlevé-Gullstrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
4.10 coordonnées de Kruskal-Szekeres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126
5.1 limiters→0 de la métrique de Kerr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
5.2 orbites circulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
5.3 orbites circulaires extrêmes dans la métrique de Kerr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
6.1 caractère tensoriel dehi j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164
6.2 conservation de l"énergie-impulsion par les équations d"Einstein. . . . . . . . . . . . . . .164
6.3 tenseur de Riemann d"une onde gravitationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164
6.4 Moment cinétique du trou noir de Kerr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164
7.1 courbure scalaire de l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
7.2 espace plat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
7.3 Décalage vers le rouge d"une particule massive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
7.4 carré de la courbure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
7.5 Décalage du facteurγ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195
7.6 travail de la pression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195
7.7 Cosmologie newtonienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195
7.8 distribution du corps noir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195
10CHAPITRE1
RAPPELS DE RELATIVITÉ RESTREINTE
L"objectif de ce chapitre, comme son nom l"indique, est d"offrir au lecteur un rappel des notionsmathématiques de base de la théorie de la relativité restreinte. Parce qu"il s"agit de rappels, nous
passons sous silence tout le volet "interprétation» de la théorie et ses applications particulières. Nous
visons plutôt à mettre le lecteur sur les rails d"un point de vue formel, mathématique. Le lecteur
non familier avec les notions de tenseurs et de composantes covariantes et contravariantes peut consulter l"annexe8.C.AEspace-temps
Les notions newtoniennes d"espace absolu et de temps absolu sont en contradiction avec les loisrégissant les phénomènes électromagnétiques, comme démontré à la fin du XIXesiècle, soit par
expérimentation (expérience de Michelson & Morley), soit par raisonnement direct à partir des
équations de Maxwell (Lorentz, Poincaré, Einstein). La conséquence est qu"on ne peut pas attribuer
un caractère absolu à la notion de simultanéité de deux événements : la chose dépend du référentiel
de l"observateur. Par contre, on peut considérer que l"espace et le temps forment ensemble un ensemble plus grand appeléespace-temps, décrit par quatre coordonnées(ct,x,y,z)et que cenouvel espace possède, lui, un caractère absolu. On veut dire par là qu"on peut considérer les points
de ce nouvel espace, appelésévénements, comme ayant une existence indépendante du référentiel
de l"observateur. Assigner des coordonnées d"espace-temps à un événement (ou à un ensemble
d"événements) relève donc d"un choix de référentiel, mais les événements eux-mêmes existent
indépendamment de ces coordonnées. En ce sens, la théorie de la relativité restreinte constitue une
relativisation des notions de temps et d"espace qui s"appuie sur l"introduction d"un nouvel absolu : l"espace-temps. 11Chapitre 1. Rappels de relativité restreinte
1.A.1Structure de l"espace-temps pseudo-euclidien
positionSur l"espace-temps, nous allons utiliser les coordonnées temporelle et spatiales dans l"ordre suivant :(ct,x,y,z)=(x0,x1,x2,x3).1Tant que l"espace-temps est plat, c"est-à-dire dans le régime étudié par la relativité restreinte, on peut introduire une base orthonormée
(e0,e1,e2,e3)dans l"espace-temps. On peut alors décrire un événementEà l"aide d"un vecteur
positionxdont les composantes contravariantes sont les coordonnées :2 x=xiei(1.1) Notons d"emblée que la notion de vecteur position dans un espace n"est applicable que si l"espaceest plat. Par exemple, on ne peut pas localiser un point situé sur la surface d"une sphère à l"aide
d"un vecteur à deux composantes (le nombre de coordonnées décrivant cette surface) issu d"une
origine définie quelque part sur cette surface. Pour que ce soit possible, il faut que l"addition des
les coordonnées d"un autre point dans l"espace considéré, le même quelle que soit la base choisie.
Autrement dit, la notion de vecteur position a un sens si l"espace étudié a lui-même une structure
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