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Ce cours a pour objectif d'exposer de la façon la plus élémentaire possible les idées de la relativité générale c'est-`a-dire la théorie relativiste de la
Comment expliquer la relativité générale ?
La relativité générale et ce qu'elle permet
Avec la relativité générale, dire que la Terre tourne autour du Soleil devient incorrect. En fait, la Terre va tout droit dans l'espace-temps, mais c'est l'espace-temps lui-même qui, déformé par cette masse importante qu'est le Soleil, est courbé.Quel est la formule de la relativité ?
«E=mc2», la formule la plus cél?re du monde Issue de la théorie de la relativité restreinte, qu'Albert Einstein énonce dans un article paru en juin 1905, elle ouvre la voie à la formulation, dix ans plus tard, d'une théorie plus vaste intégrant la loi de la gravité de Newton: la relativité générale.Quelle est la signification de E mc2 ?
Étymologie. Cél?re formule d'Albert Einstein signifiant que l'énergie (E) est égale à la masse (m) multipliée par le carré de la vitesse de la lumière (c).- La démonstration ne fait appel qu'à trois lois classiques : 1) la conservation de la quantité de mouvement 2) la pression de radiation (quantité de mouvement d'une onde électromagnétique) 3) l'aberration de la lumière (composition de la vitesse de la source et de la vitesse de la lumière).
Pierre Salati
1,2 1 Laboratoire d"Annecy-le-Vieux de Physique Th´eorique LAPTh,9 Chemin de Bellevue, B.P. 110, 74941 Annecy-le-Vieux Cedex
2Universit´e de Savoie, B.P. 1104, 73011 Chamb´ery Cedex
salati@lapth.cnrs.fr & pierre.salati@univ-savoie.fr t´el´ephone 04.50.09.16.90 site web http://lapth.cnrs.fr/pg-nomin/salati/Plan du coursCe cours est une introduction `a la th´eorie de la relativit´e g´en´erale. Le principe d"´equivalence
y joue un rˆole essentiel et permet d"´elaborer une th´eorie g´eom´etrique de la gravitation. Les
outils permettant de sonder de mani`ere intrins`eque les propri´et´es d"un espace non-euclidien
sont d´evelopp´es pas `a pas. Ils sont ensuite utilis´es pour formuler la relativit´e g´en´erale dont
quelques applications importantes sont analys´ees en d´etail et confront´ees `a l"exp´erience. La
derni`ere partie, plus formelle, est consacr´ee `a une approche Lagrangienne des ´equations du champ gravitationnel.•Vendredi 8 Novembre 2013 - Le chapitreIest consacr´e au principe d"´equivalence grˆace auquel
la relativit´e g´en´erale peut ˆetre formul´ee de mani`ere g´eom´etrique. Les exp´eriences de Galil´ee,
Newton, Bessel et E¨otv¨os sugg`erent que masse inerte et masse grave - autrement dit inertie et charge gravitationnelle - sont proportionnelles l"une `a l"autre, quels que soient les objetsconsid´er´es. Une cons´equence cruciale de cette ´equivalence est l"existence d"un r´ef´erentiel en
chute libre dans lequel la gravitation est localement ´eradiqu´ee par les forces d"inertie. Les lois de
la Nature y sont identiques `a celles que l"on observe depuis un r´ef´erentiel galil´een. La similarit´e dei
cette formulation avec le principe de la g´eom´etrie non-euclidienne est frappante. Nous d´ecrirons
alors la chute d"un point mat´eriel au sein d"un champ gravitationnel faible et statique en nous aidant du principe d"´equivalence, et introduirons les symboles de Christoffel et les potentiels de gravitation. Nous montrerons que le temps se dilate au fur et `a mesure que l"on s"enfoncedans un puits de potentiel et ´etablirons l"existence d"un d´ecalage gravitationnel des fr´equences
ou gravitational red-shift. L"exp´erience que Pound et Rebka r´ealis`erent en 1960 met justement
en ´evidence ce d´ecalage, et ´etaie le principe d"´equivalence. L"exp´erience de Sagnac sera trait´ee
en TD. Elle permet de mesurer des vitesses de rotation faibles grˆace au gyrolaser. Les sondes Sagnac sont d´esormais utilis´ees `a bord notamment des avions. •Vendredi 22 Novembre 2013 - Le chapitreIIest une introduction `a la g´eom´etrie non-euclidienne et les outils de la g´eom´etrie diff´erentielle seront pr´esent´es de mani`ere intuitive. Une
param´ecie vivant sur une surface `a deux dimensions arpente son espace et aimerait savoir, par exemple, s"il est courbe. Ne pouvant concevoir une troisime dimension, elle doit d´evelopperdes m´ethodes intrins`eques afin d"explorer la structure g´eom´etrique de son univers. Ce chapitre
pr´esente les outils math´ematiques qu"elle doit utiliser. Nous discuterons les syst`emes de coor-
donn´ees, le tenseur m´etriquegμνet la notion d"espace tangent. Nous introduirons le calcul ten-
soriel et la notion de diff´eomorphisme. La connexion affine sera d´efinie de mani`ere g´eom´etrique
et le lien avec les symboles de Christoffel du chapitre pr´ec´edent sera d´emontr´e. Les notions de
d´eriv´ee covariante et de transport parall`ele seront discut´ees. Elles permettent de mesurer la
courbure de l"espace `a l"aide du tenseur de Riemann-Christoffel. Le tenseur de RicciRμνet letenseur g´eom´etriqueGμνseront d´efinis et les identit´es de Bianchi d´emontr´ees.
•Vendredi 29 Novembre 2013 - Le principe de covariance g´en´erale sera´enonc´e dans le chapitreIII.
Nous d´efinirons le tenseur impulsion-´energieTμνd"un ensemble de particules n"interagissant que
par chocs et montrerons qu"il se conserve. Nous plongerons alors ce gaz parfait dans un champ gravitationnel externe et analyserons comment son tenseur impulsion-´energie se comporte. Nous´etablirons de mani`ere intuitive - et non d´eductive - les ´equations de la relativit´e g´en´erale.
•Vendredi 6 D´ecembre 2013 - Le chapitreIVest consacr´e `a l"´etude de quelques tests de
la relativit´e g´en´erale. Nous ´etablirons la m´etrique de Schwarzschild qui caract´erise le champ
de gravitation entourant une source sph´erique et statique. Nous calculerons la d´eviation d"un
rayon lumineux passant `a proximit´e du soleil et la comparerons avec la mesure effectu´ee parEddington `a l"occasion de l"´eclipse solaire de 1919. Quelques notions d"optique gravitationnelle
seront introduites. Le trou noir de Schwarzschild et son horizon seront discut´es. Le calcul de la
d´erive du p´erih´elie de Mercure sera trait´e en TD. Celui du retard gravitationnel de l"´echo radar
sur V´enus sera vivement conseill´e. Ce test a ´et´e r´ealis´e par I. Shapiro de 1968 `a 1971. Si nous
avons le temps, nous nous int´eresserons `a la structure des ´etoiles en relativit´e g´en´erale ainsi qu"`a
l"´equation de Tolman-Oppenheimer-Volkoff et au th´eor`eme de Birkhoff.ii •Vendredi 13 D´ecembre 2013 - Le chapitreVest une introduction aux ondes gravitationnelles.Nous commencerons par lin´eariser les ´equations de la relativit´e g´en´erale afin d"obtenir une th´eorie
maxwellienne de la gravitation o`u le potentiel vecteurAμde l"´electromagn´etisme est remplac´e
par le potentiel tenseurhμνqui d´ecrit les perturbations infinit´esimales de la m´etrique. Dans
la jauge des coordonn´ees harmoniques - le pendant ´electromagn´etique de la jauge de Lorentz -
h μνv´erifie une ´equation de d"Alembert le liant au tenseur sourceSμνpar ?hμν=-16π G Sμν, qui est l"analogue gravitationnel de la relation bien connue en ´electromagn´etisme ?Aμ=Jμ.La solution classique de ces deux ´equations est donn´ee par les potentiels retard´es de Lienard et
Wiechert. Finalement, nous nous concentrerons sur la structure des ondes planes gravitation-nelles et sur le principe d"un interf´erom`etre tel que Virgo destin´e `a les observer directement.
Nous ´evoquerons ´eventuellement leur mise en ´evidence indirecte par la mesure de la variation
de la p´eriode du pulsar binaire PSR 1913+16. •Vendredi 20 D´ecembre 2013 - En fonction du temps disponible, nous aborderons dans lechapitreVIl"analogie entre relativit´e g´en´erale et th´eorie de jauge. Nous construirons de mani`ere
lagrangienne le tenseur impulsion-´energieTμνd"un champ scalaire et d´emontrerons de mani`ere
covariante qu"il se conserve. Nous finirons par l"´etude de l"action de Einstein-Hilbert `a partir de
laquelle nous d´eriverons les ´equations de champ ´etablies dans le chapitreIII. iii ivPlan succint du cours
ChapitreILe principe d"´equivalence
1) Masse inerte et masse pesante.
1.1)Galil´ee (1564-1642).
1.2)Newton (1642-1727) et Bessel (1784-1846).
1.3)E¨otv¨os et sa balance de torsion (1889).
Toutes ces exp´eriences sugg`erent que masse inerte et masse grave - autrement dit inertie et charge
gravitationnelle - sont proportionnelles l"une `a l"autre, quels que soient les objets consid´er´es.
Elles ont conduit Einstein `a formuler le principe d"´equivalence sur lequel repose la description
g´eom´etrique de la relativit´e g´en´erale.2) Le principe d"´equivalence.
En tout pointMd"un champ de gravitation et `a tout instantt, on peut choisir un syst`eme decoordonn´eesξα, r´ef´erentiel en chute libre, dans lequel les lois de la Nature sont localement -
dans le voisinage deM- identiques `a celles qui existent dans un r´ef´erentiel d"inertie en l"absence
de gravitation.Pour un observateur en chute libre dans le r´ef´erentielξα, tout se passe comme si la gravitation
´etait ´eradiqu´ee dans le voisinage deM. Nous d´efinirons plus tard de mani`ere rigoureuse les
notions intuitives que sont l"´eradication de la gravit´e et le voisinage deM. Au juste, que sont
les lois de la Nature dans un r´ef´erentiel d"inertie - ´egalement qualifi´e de galil´een - en l"absence
de gravitation ? S"agit-il de la m´ecanique relativiste restreinte ? Le principe d"´equivalence
s"applique-t-il `a toutes les lois de la physique ? On distinguera le principe d"´equivalence faible,
fort et tr`es fort.3) Analogie entre le principe d"´equivalence et le postulat de la g´eom´etrie non-
euclidienne.3.1)Les fondements de la g´eom´etrie non-euclidienne et le postulat de Gauss (1777-1855).
3.2)En combinant le principe d"´equivalence avec la relativit´e restreinte, nous d´efinirons le
tenseur m´etriquegμνgrˆace `a la relation gμ∂ξβ∂x
ν,(1)
o`uηαβest la m´etrique de Minkowski.4) Champs et potentiels gravitationnels.
4.1)Le champ de gravitation.
Nous ´etablirons, `a partir du principe d"´equivalence, l"´equation du mouvement d"une particulev
soumise `a un champ de gravitation et nous montrerons que d2xλdτ
2+ Γλμνdxμdτ
dxνdτ
= 0 avec Γλμν=?∂xλ∂ξ ∂2ξα∂xμ∂xν?
.(2)4.2)Relation entre la connexion affine et le tenseur m´etrique.
αμν=12
4.3)Limite newtonienne et potentiel de gravitation.
Le champ de gravitation dans lequel ´evolue le point mat´eriel est faible et statique. Nous end´eduirons que la composanteg00du tenseur m´etrique est li´ee au potentiel Φ de la gravitation
classique de Newton par g00= 1 + 2Φ.(4)
Un point mat´eriel de masseMengendre `a la distancerle potentielΦ =-GMrc
2.(5)La connexion affine g´en´eralise alors la notion de champ gravitationnelgde la th´eorie classique
de Newton.5) D´ecalage gravitationnel des fr´equences.
Nous analyserons le comportement d"une horloge immerg´ee dans un champ de gravitation. Nouscomparerons les indications donn´ees par deux horloges situ´ees `a des profondeurs diff´erentes au
sein d"un puits de potentiel Φ - par exemple `a des ´etages diff´erents du bˆatiment dans lequel
nous avons cours. Nous montrerons que le temps ne s"´ecoule pas de mani`ere identique. Les lapsde coordonn´ee temporelle Δt1et Δt2s´eparant deux signaux d"horloges identiques situ´ees aux
´etages 1 et 2 sont en effet reli´es par
Δt2Δt1=?g
00(1)g
Le d´ecalage gravitationnel des fr´equences est une cons´equence directe du principe d"´equivalence
et a ´et´e observ´e exp´erimentalement par Pound et Rebka en 1960, puis par Vessot et Levine en
1979.6) Le paradoxe des jumeaux.
Le probl`eme sera ´evoqu´e en cours et r´esolu en TD en appliquant le principe d"´equivalence. On
traitera ´egalement l"exp´erience de Sagnac et de Michelson et Gale qui constitue la version optique
du pendule de Foucault.vi ChapitreIIIntroduction `a la g´eom´etrie non-euclidienne Gandalf, une param´ecie vivant sur une surfaceS`a deux dimensions, arpente son espace et aimerait savoir, par exemple, s"il est courbe. Ne pouvant concevoir une troisi`eme dimension,Gandalf doit d´evelopper des m´ethodes intrins`eques afin d"explorer la structure g´eom´etrique de
son univers. Ce chapitre pr´esente les outils math´ematiques qu"il sera amen´e `a utiliser et qui sont
ceux de la g´eom´etrie diff´erentielle. Nous l"aiderons `a les forger grˆace `a notre vision extrins`eque
de la surface sur laquelle il vit et que nous plongerons dans l"espace euclidienR3.1) Le tenseur m´etriquegμν(M).
ds2=gμν(M)dxμdxν.(7)
2) L"espace tangent `a la surface enM.
Au voisinage de chacun de ses pointsM, la surfaceSse comporte comme un plan dont une baseest fournie par les vecteurs covariantseμattach´es au syst`eme de coordonn´eesxμ. Le tenseur
m´etrique s"exprime alors tr`es simplement en fonction de ces vecteurs puisque gμν=eμ·eν.(8)
Nous nous exercerons avec la sph`ereS2et reviendrons sur la notion de syst`eme de coordonn´ees localement euclidien - ou minkowskien - enM. Nous verrons que deux conditions sont requisespour que la m´etriquegμνsoit localement euclidienne - ou minkowskienne - au pointM, `a savoir
g μν(M)≡ημνet∂αgμν|M= 0.(9) Puis nous analyserons comment les composantes covariantesAμet contravariantesAμd"unvecteurAse transforment lorsque le syst`eme des coordonn´eesxμest remplac´e par celui associ´e
aux coordonn´eesym. Nous introduirons le groupe des diff´eomorphismes ainsi que la notion de tenseur de rangn.3) La connexion affine.
Comme son nom l"indique, la connexion affine Γ
αμνpermet de connecter la base des vecteurs e μ(M) du plan tangent `aSenM- que nous noterons ΠM- `a celle du plan tangent `aSen M ?≡M+dMavec e μ(M+dM) =eμ(M) + Γαμνdxνeα(M) +dη.(10) Les pointsMetM?ont respectivement comme coordonn´eesxνetxν+dxν. Notre vision ex-trins`eque permet d"appr´ehender le vecteurdηqui est perpendiculaire `a ΠM. Cependant, Gandalf
n"y est pas sensible - il ne voit pas dansR3- et n"a `a sa disposition que la connexion Γαμν. Nous
l"aiderons `a exprimer celle-ci en fonction du tenseur m´etrique et `a retrouver ainsi la relation (3).vii
Nous prendrons comme exemple d"application la sph`ereS2. Nous montrerons surtout que laconnexion affine n"est pas un tenseur au sens des diff´eomorphismes donn´e pr´ec´edemment.
4) La d´eriv´ee covariante.
Consid´erons un champ de vecteurAsur la surfaceS. En chaque pointM, ce champ est d´ecrit parses composantes covariantesAνet contravariantesAν. Celles-ci d´ependent des coordonn´eesxμ
du pointMet se comportent d"ailleurs comme des fonctions des variablesxμ. Nous pouvons doncles d´eriver de mani`ere partielle afin d"obtenir les fonctions∂μAνet∂μAν. La d´eriv´ee covariante
des composantesAνetAνtient compte non seulement de la variation des composantes du champAavec les coordonn´eesxμ, mais ´egalement de la variation de la base des vecteurseμ dans laquelle lesdites composantes sont exprim´ees. Nous montrerons dans ces conditions que la d´eriv´ee covariante est d´efinie par DμAν=∂μAν+ ΓνμαAαet DμAν=∂μAν-ΓαμνAα.(11)
Une autre notation couramment utilis´ee fait intervenir la d´eriv´ee simple∂μ≡,μet la d´eriv´ee
covarianteDμ≡;μde sorte que A ν;μ=Aν,μ+ ΓνμαAαet Aν;μ=Aν ,μ-ΓαμνAα.(12)Nous d´efinirons la d´eriv´ee covariante d"un tenseur quelconque de rangnet montrerons que la
d´eriv´ee covariante du tenseur m´etriquegμνest nulle. Nous ´etablirons surtout que siAνetAνsont
les composantes contravariantes et covariantes du vecteurA, alors les d´eriv´ees covariantesDμAν
etDμAνse comportent comme des tenseurs de rang 2 vis `a vis du groupe des diff´eomorphismes.
5) Le transport parall`ele.
Un vecteurAest transport´e de mani`ere parall`ele deM`aM?≡M+dMlorsque la diff´erence DA≡A(M+dM)-A(M) est perpendiculaire au plan ΠM. La diff´erentielle covariante deAα est donc nulle entreMetM?et il vient DAα=dAα+ ΓαμνdxμAν= 0.(13)
La ligne g´eod´esique joignant les pointsAetBest la courbe le long de laquelle le vecteur tangent
Tμ≡dxμ/dpest transport´e de mani`ere parall`ele. La position des points de la g´eod´esique
est param´etr´ee par la variablep, proportionnelle `a la longueurs≡τle long de la courbe.
L"´equation de la g´eod´esique exprime tr`es simplement le transport parall`ele du vecteur tangent
Tμvia l"´egalit´eDTμDp
=TαDαTμ= 0.(14) Si nous prenons comme param`etre de positionpla longueurs≡τ, le vecteur tangentTμs"assimile compl`etement `a la quadri-vitesseUμ≡dxμ/dτet la relation pr´ec´edente se met sous
la formed2xμdτ2+ Γμ
αβdxαdτ
dxβdτ
= 0.(15)viii Nous retrouvons l"´equation (2) ´etablie dans le chapitreI. Nous montrerons en TD que lag´eod´esique joignant les pointsAetBest ´egalement la courbe qui rend extrˆemale l"action
S(AB) =?
B A dp?L ≡dτ2dp
2≡gμνxμxν?
.(16)Le lagrangienLest une fonction des variables canoniquesxα- via le tenseur m´etriquegμν- et
de leurs d´eriv´ees xα≡dxα/dppar rapport `a la variable d"´evolutionp.6) La courbure.
6.1)Le tenseur de Riemann-Christoffel.
Gandalf ne peut percevoir directement - de mani`ere extrins`eque comme nous - la courbure dequotesdbs_dbs43.pdfusesText_43[PDF] les origines de la géométrie
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