1.4 Normes et conditionnement dune matrice
Remarque 1.34 (Convergence des suites). converge vers 0 dans IRn il suffit de trouver une norme matricielle · telle que M < 1.
Analyse Numérique
6.3.1 Quelques préliminaires sur les normes matricielles . A moins de choisir exactement x0 = 1 on voit que la suite ne converge jamais vers 1 :.
Autour des suites géométriques matricielles Corrigé
(On pourra commencer par le cas p = 2 puis se ramener à ce cas.) 4) Caractériser à l'aide de leur spectre les matrices M ? Mp(K) telles que (Mn) converge vers
Analyse Numérique
1.1 Relation entre le rayon spectral et les normes matricielles On dit qu'une suite de matrices (Am)m?0 converge vers la matrice A si.
Chapitre 4 Méthodes itératives de résolution des syst`emes linéaires
Pour étudier la convergence de cet algorithme il suffit de considérer la Par la suite
suites de matrices_convergence_tsspé_cours
SUITE DE MATRICES ET CONVERGENCE. Cours. Terminale S et pour tout entier naturel n la relation matricielle de récurrence :.
SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES
Convergence de suites de matrices colonnes La limite de cette suite est la matrice colonne dont les coefficients sont les p limites obtenues.
Méthodes et Analyse Numériques
Jan 18 2011 II.6 CONSISTANCE
1 Introduction et rappels
le calcul de la puissance n-i`eme d'une matrice. Comme les él`eves de TES ne notion de convergence des suites de matrices : la suite An de coefficients.
CHAÎNES DE MARKOV
Dans toute la suite les chaînes Markov considérées seront toutes Finalement
suites de matrices convergence tsspé cours
SUITE DE MATRICES ET CONVERGENCE Cours Terminale S 1 Suite de matrices colonnes 1) Exemples Exemple 1 : La suite (U n) définie pour tout entier naturel n par 3 1 3 5 + = + U n n n est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques (u n) et (v n)définies pour tout entier naturel n par = +3 1 u n n et v n = +3
Analyse Num´erique Corrig´e du TD 8 - unicefr
Convergence de m´ethodes it´eratives lin´eaires 1 1 Relation entre le rayon spectral et les normes matricielles Soit A une matrice carr´ee d’ordre n > 0 A = (aij)ij=1 n Pour 1 ? p ? +? on note par k kp la norme matricielle calcul´ee `a partir de la norme vectorielle k kp i e kAkp = sup kxkp=1 kAxkp = sup kxkp?1 kAxkp
Suites matricielles
Définition convergence d’une matrice Soient (Mn) une suite de matrices et M une matrice On suppose que toutes les matrices de la suite et M ont les mêmes dimensions On dit que la suite (Mn) converge vers M et on note lim n n M M si pour chaque ligne i et chaque colonne j la suite des coefficients de (Mn) correspondants converge
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Convergence Theorems for Two Iterative Methods A stationary iterative method for solving the linear system: Ax =b (1 1) employs an iteration matrix B and constant vector c so that for a given starting estimate x0 of x for k =012 xk+1 =Bxk+c (1 2) For such an iteration to converge to the solution x it must be consistent with the original
Comment montrer que la suite de matrices converge ?
Cette suite de matrices diverge. Dans la pratique, pour montrer que la suite de matrices left (U_nright) converge, on écrit chaque coefficient de la matrice U_n en fonction de n et on cherche la limite de chacun de ces coefficients. Soit A une matrice carrée de taille m et X une matrice colonne de taille m.
Comment calculer la convergence de la suite?
En pratique, on utilise souvent la méthode de dichotomie pour trouver un x 0assez proche de la racine. 4.5 Ordre de convergence La convergence de la suite ne suf?t pas numériquement, on aimerait avoir une estimation de la rapidité de convergence. On pose e n=x na. e nest l’erreur absolue au pas n. L’erreur relative vaut e n a .
Quelle est la convergence d’une suite de fonction?
Les deux notions de convergence vues pour les suites de fonctions sont bien sur^ valables pour les series de fonctions. Defnition 3.3.1 Soit (f n) une suite de fonctions defnies sur l’intervalle IˆR. On dit que la serie de fonctions P f nconverge simplement/uniformement sur Ilorsque la suite (S
Comment calculer la convergence d'une suite réelle ou complexe?
Soit u=( n) n2Nune suite réelle ou complexe. 1. Donner la dé?nition de convergence de la série de terme général u n. 2. On suppose maintenant que u est une suite complexe. Montrer que si la série de terme général u nconverge alors la série de terme général Re(u n) converge, ou Re(u n) est la partie réelle de u n.
Analyse Num´eriqueCorrig´e du TD 8
EXERCICE 1
Convergence de m´ethodes it´eratives lin´eaires1.1 Relation entre le rayon spectral et les normes matricielles
SoitAune matrice carr´ee d"ordren >0,A= (aij)i,j=1,...,n. norme vectorielle? ?pi.e. ?A?p= sup ?x?p=1?Ax?p= sup x ?=0?Ax?p ?x?p. a. Montrer que son rayon spectralρ(A)v´erifie Pour le corpsK=CouR, on noteMn(K) l"ensemble des matrices carr´ees d"ordren >0 `a valeurs dansK.A? Mn(R) qui est plus subtil.
CasA? Mn(C)
CommeA? Mn(C) est diagonalisable, il existe un vecteur proprex0?Cnassoci´e `a la plus grande valeur propre en module|λ|=ρ(A) :Ax0=ρ(A)x0. On en d´eduit d"o`u puisquex0?= 0.CasA? Mn(R)
Le probl`eme est que la matriceAn"a pas forc´ement ses valeurs propres dansRet donc ses vecteurs propres sont en toute g´en´eralit´e dansCn. Comme pourA? Mn(R), la norme matricielle? ?putilis´ee pour ´evaluer?A?pest calcul´ee `a partir de la norme vectorielle pi.e.du type?x?ppourx?Rn. De ce fait commex0, vecteur propre associ´e `a la plus grande valeur propre en module|λ|=ρ(A), peut ˆetre dansCn, la quantit´e?x0?ppeut ne pas avoir de sens. Pour contourner cette difficult´e, on peut proc´eder comme suit. 1 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 On choisit une norme vectorielleNsurCn. On noteNla norme matricielle calcul´ee sur M n(C) `a partir de la norme vectorielle. On note encoreNsa restriction surMn(R), qui est bien sˆur une norme. CommeMn(R) est de dimension finie, deux quelconques normes sont ´equivalentes : il surm?N, on a?ρ(A)?
m ?A?p? m , et l"on obtient grˆace au r´esultat (1.1) la majoration suivante :ρ(A)?
m ?A?p? mCe qui implique
En faisantm→+∞dans (1.2), et avec limm→+∞C1/m= 1, on obtientD"o`u le r´esultat.
b. Soitε >0. Montrer qu"il existe une norme matricielle? ?d´ependant deεetA, tel que
Il existe une matriceUinversible tel queT=U-1AUsoit une matrice triangulaire,T=((((((((((((((λ
1t12···t1jt1n-1t1n
2t2n-1t2n......
itijtin 0 n-1tn-1n n)))))))))))))) 2 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 Pour toutδ, on d´efinit une matrice diagonaleDδ=diag(1,δ ,δ2,...,δn-1)i.e. D δ=(((((((((((((((1 0 0··· ··· ···00δ0......
0 ....0δi-1...... .............0 0 ...0δn-20··· ··· ···0 0δn-1)))))))))))))))
La matriceTδd´efinie par
Tδ= (UDδ)-1A(UDδ) =Dδ-1TDδ
v´erifie T2δn-3t2n-1δn-2t2n......
iδj-itijδn-itin 0 n-1δtn-1n n)))))))))))))) Etant donn´eε >0, on peut choisirδsuffisamment petit pour que les ´el´ements extra- n j=i+1δAlors l"applicationB?→ ?(UDδ)-1B(UDδ)?∞est une norme matricielle, qui d´epend deε
etA, v´erifieOn v´erifieB?→ ?(UDδ)-1B(UDδ)?∞est la norme matricielle calcul´ee `a partir de la norme
vectoriellev?Kn?→ ?(UDδ)-1v?∞. c. Montrer que lim m→+∞?Am?1 m=ρ(A). 3 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009A la questiona.de 1.1, on a montr´e que
En appliquant la relation ci-dessus `a la matriceAm, on obtientPar r´ecurrence surm?Non obtient
ρ(Am) =?
ρ(A)?
mCe qui entraˆıne
ρ(A)?
m ou bien encore p.(1.5) Pour la seconde partie in´egalit´e, on proc`ede comme suit.Soitε >0, on poseAε=A
ρ(A) +ε.
On aρ(Aε) =ρ(A)
ρ(A) +ε
ρ(A) +ε
ρ(A) +ε
<1. Commeρ(Aε)<1, la suite puissance de matrices (Amε)m≥0converge vers la matrice nulle (la d´emonstration est faite dans l"exercice 1.2a.). Ce qui signifie que la suite des normes (?Amε?p)m≥0est de limite nulle. Donc c"est-`a-direEn regroupant (1.5) et (1.6), on obtient
On faitε→0 dans (1.7), et on a
lim m→+∞?Am?1/mp=ρ(A).(1.8) 4 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/20091.2 Suite et s´erie de matrices
D´efinition 1.1.Convergence d"une suite de matrices On dit qu"une suite de matrices(Am)m≥0converge vers la matriceAsi limm→+∞?Am-A?p= 0. a. Montrer que limm→+∞Am= 0??ρ(A)<1.Montrons quelimm→+∞Am= 0 =?ρ(A)<1.
Supposons que lim
m→+∞Am= 0. Siρ(A)≥1 alors comme?Am?p≥?ρ(A)?
m , on aurait ?Am?p≥1. Par suite la suite de nombres positifs (?Am?p)m≥0ne converge pas, et donc la suite de matrices (Am)m≥0ne converge pas. N´ecessairement on aρ(A)<1.Montrons queρ(A)<1 =?limm→+∞Am= 0.
Commeρ(A)<1, il existeε >0 tel queρ(A)+ε <1 (il suffit de prendreε= (1-ρ(A))/2). La questionb.de l"exercice 1.1 dit qu"il existe une norme matricielle? ?(d´ependant deεetA) telle que
Comme?A?<1, la suite de nombres positives (?A?m)m≥0converge vers le nombre r´eel 0. vers la matrice nulle : limm→+∞Am= 0. b. Monter que la s´erie m=0A mconverge??ρ(A)<1.Montrer dans ce cas quelimm→+∞+∞?
m=0A m= (I-A)-1.Montrons que la s´erie
m=0A mconverge=?ρ(A)<1.Si la s´erie
m=0A mconverge alors la s´erie de nombres positifs+∞? m=0?Am?pconverge, donc la suite de nombres positifs (?Am?)m≥0tend vers 0. D"apr`es la questionb.ci-dessus,ρ(A)<1.
5 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Montrons queρ(A)<1 =?la s´erie+∞?
m=0A mconverge. Supposons que le rayon spectralρ(A)<1. Les valeurs propres de la matriceI-Asont1-λ(A) o`uλ(A) sont les valeurs propres deA. Les valeurs propres deI-Asont non nuls
et donc la matriceI-Aest inversible.Posons
B m=I+A+...+Am.(1.9) Alors AB m=A+A2+...+Am+1(1.10) La diff´erence des ´equations (1.9) et (1.10) donne (I-A)Bm=I-Am+1En faisantm→+∞dans l"´equation ci-dessus, et en utilisant limm→+∞Am+1= 0, on obtient
(I-A) limm→+∞Bm=I , ou encore limm→+∞Bm= (I-A)-1, ou bien encore m=0A m= (I-A)-1.EXERCICE 2
Un exemple de m´ethode it´erative
SoitAune matrice carr´ee d"ordren >0,A= (aij)i,j=1,...,nr´eguli`ere etb?Rn.On veut r´esoudre le syst`eme lin´eaire
Ax=b. On noteDla matrice diagonale constitu´ee de la diagonale deA. Soitα?= 0, on´etudie la m´ethode it´erative
x k+1= (I-αD-1A)xk+αD-1b.(2.1) a. Montrer que la m´ethode est consistantei.e.si(xk)k≥0converge versxalors xest solution.On faitk→+∞dans (2.1) et on obtient
x= (I-αD-1A)x+αD-1b, 6 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 ou encore αD -1Ax=αD-1b. En multipliant `a gauche parDl"´equation ci-dessus, et en simplifiant parα?= 0 on a Ax=b. b. Exprimer les coefficients de la matriceD-1Aen fonction de ceux deA. Soienti,j? {1,...,n}. Alors le coefficient (D-1A)ijest donn´e par (D-1A)ij=n? k=1(D-1)ik(A)kj = (D-1)ii(A)ij =aij aii, ou encore (D-1A)ij=?1 sii=j ,aij aiisii?=j .(2.2) j=1 j?=i|aij|. Montrer que la m´ethode est bien d´efinie et ?I-αD-1A?∞<1.La m´ethode est bien d´efinie??D-1existe,
j=1D"o`u la m´ethode est bien d´efinie.
Calcul de?I-αD-1A?∞PosonsJα=I-αD-1A
Les coefficients deJαsont donn´es par
(Jα)ij= (I-D-1A)ij= (I)ij-(D-1A)ij. 7 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009En utilisant (2.2), on obtient
(Jα)ij=?1-αsii=j , -αaij aiisii?=j .Maintenant fixonsidans{1,...,n}. Alors
n j=1|(Jα)ij|=|(Jα)ii|+n? j=1 j?=i|(Jα)ij| =|1-α|+n? j=1 j?=i|(Jα)ij| =|1-α|+|α|? n j=1 j?=i|aij| |aii| <|1-α|+|α| = 1-α|+α = 1 Donc max j=1|(Jα)ij|<1 c"est-`a-dire ?Jα?∞=?I-αD-1A?∞<1. La repr´esentation de chacune des matricesA,DetJαsous forme de tableaux s"´ecritA=((((((((((((a
11a12a1j···a1la1n-1a1n
a21a22a2n-1a2n............
a1iaijaiiailain............
a n-11an12an-1n-1an-1n a 8 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009D=(((((((((((((((a
110 0··· ··· ···0
0a220......
0 ....0aii0...... .............0 0 ...0an-1n-100··· ··· ···0 0ann)))))))))))))))
et Jα=((((((((((((((((((1-α-αa12
a11-αa1ja11··· -αa1la11-αa1n-1a11-αa1na11 -αa21 -αa1i -αan-11 -αan1 ann-αan2ann-αanjann··· -αanlann-αann-1ann1-α)))))))))))))))))) En d´eduire que la m´ethode est convergente. satisfaitρ(Jα)<1, qui montre que la m´ethode est convergente. RemarquePourα= 1, la m´ethode ci-dessus est celle de Jacobi.EXERCICE 3
M´ethodes it´eratives classiques sur une matrice tridiagonale SoitA= (aij)i,j=1,...,nune matrice carr´ee d"ordren >0, du syst`eme lin´eaireAx=b, d´efinie par
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