[PDF] Autour des suites géométriques matricielles Corrigé

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MP

Ici,Kdésigne le corpsRouCetpun entierÊ2.

1) Déter miners uccessivementl "ensembledes z2Ctels que (a) ( zn)nconverge; (b)Xznconverge; (c) 1n n¡1X kAE0zkconverge. 2) S oitA,B2Mp(K) semblables. Montrer que (An)nconverge (resp. est bornée) si et seulement si (Bn)nconverge (resp. est bornée). 3) O nsu pposeq ueM2Mp(C) admet une seule valeur propre¸, quej¸j AE1 et que (Mn)nest bornée. Montrer queMest une matrice scalaire. (On pourra commencer par le caspAE2, puis se ramener à ce cas.) 4) C aractériserà l "aidede leu rsp ectrele smat ricesM2Mp(K) telles que (Mn) converge vers 0. 5) (a) S oitM2Mp(R) telle que (Mk)kconverge. Montrer que sa limite est un projec- teur qui commute àM. (b) M ontrerqu e( Mn)nconverge si et seulement si SpC(M)½D(0,1)[{1}, et que dimE1(M)AEm(1) oùm(1) est la multiplicité de 1 en tant que valeur propre. Exprimer l"image et le noyau de la limitePen fonction des espaces propres de M. 6) C aractériserle smatr icesM2Mp(K) telles que (Mn)nest bornée. 7) S oitA2Mp(C) telle que la suite (An)nsoit bornée. On pose B nAE1nÅ1n X kAE0Ak. (a) M ontrerque ( Bn) admet une valeur d"adhérenceB. Montrer queBest un pro- jecteur et queABAEBAAEB. (b) M ontrerq ueK erBAEIm(Ip¡A) et que ImBAEKer(Ip¡A). (c)

M ontrerqu e( Bn) converge.

(d)

D éterminerles mat ricesM2Mp(C) telles que (1n

n¡1X kAE0Mk) converge. 8) Déter minerles mat ricesM2Mp(C) telles que (XMp) converge.Corrigé 1) D "aprèslecourssurlessuitesgéométriques,(zn)nconvergesietseulementsijzjÇ1 ouzAE1;Xznconverge si et seulement sijzjÇ1. D"autre part, pourz6AE1, S nAE1n n¡1X kAE0zkAE1n z n¡1z¡1.

SijzjÈ1, cette suite diverge carjSnj»1n

jzjnj¸¡1jqui tend versÅ1. SijzjÉ1 etz6AE1, (Sn) tend vers 0 car le termezn¡1z¡1est borné. SizAE1,Snvaut constamment 1. En résumé, (Sn) converge si et seulement sijzjÉ1. 2) S oitP2GLn(C) telle queBAEPBP¡1. AlorsBnAEPAnP¡1. Par continuité deM7! PMP ¡1surMn(C), la suite (Bn) converge dès que (An) converge. Par symétrie des rôles deAetB, c"est une équivalence. De même, par linéarité et continuité deM7! PMP ¡1surMn(C), la suite (Bn) est bornée dès que (An) est bornée. Par symétrie des rôles deAetB, c"est une équivalence. 3) P uisqueÂMest scindé (polynôme complexe) et qu"il admet une unique racine (car les racines deÂMsont exactement les valeurs propres), on aÂMAE(X¡¸)p. D"après le théorème de Cayley-Hamilton,NpAE0 oùNAEM¡¸Ip. Mais alorsMAE¸IpÅN avecNnilpotente. SoitdÉn¡1 son indice de nilpotence. Montrons quedAE1,i.e.

Nest nulle.

Vu queNetIpcommutent, on a d"après la formule du binôme pournÊp M nAEnX kAE0à n k! n¡kNkAEd¡1X kAE0à n k! n¡kNk. Vu queNd¡1est non nul, il existei,j2[[1,p]] tels que®AE[Nd¡1]i,j6AE0. On a donc [Mn]i,jAEd¡2X kAE0à n k! n¡k[Nk]i,jÅ®¸n¡dÅ1à n d¡1!

Mais pourkfixé, la suiteÃ

n k! est équivalente ànk/k!. On a donc [Mn]i,jAE®¸n¡dÅ1à n d¡1!

Åo(nd¡1).

La suite étant bornée,d¡1AE0,i.e. dAE1.

1 MP 1. Cas n o1 : siMa une unique valeur propre¸. En reprenant les notations de la ques- tion précédente, on a encoreMAE¸InÅNavecNnilpotente d"indiced. On a donc j[Mn]i,jj»j®jj¸jn¡dÅ1à n d¡1! Puisque ce terme tend vers 0, on a quej¸n¡dÅ1jtend vers 0,i.e.j¸jÇ1. Cas n o2 : d"après le cours, puisqueÂMest scindé,Mest sembable à une matrice diagonale par blocsDAEDiag(M1,...,Mr) oùMrest de la forme¸IqÅNavecNnil- potente. OrDkAEDiag(Mk1,...,Mkr) tend vers 0 d"après la question 2, car les coeffi- cients deMk jsont aussi des coefficients deD. Ainsi, d"après la question précédente, j¸jj Ç1. On a prouvé le sens direct.(On pouvait aussi considérer un vecteur propre X de M de valeur propre¸. On akMnXk AE j¸jnkXk. Par continuité de A7!AX, la suite(kMnXk)ntend vers 0, et doncj¸jÇ1.) Réciproquement, supposons quej¸j Ç1 pour toute¸2SpM. Avec les notations précédentes, il suffit de prouver que siMest sembable à la matrice diagonale par blocsDAEDiag(M1,...,Mr), alorsMn jtend vers 0 pour toutj2[[1,r]]. La formule M nAEd¡1X kAE0à n k! n¡kNk appliquées aux blocsM1,...,Mralliée aux croissances comparées de¸netnk, qui assure queà n k! n¡ktend vers 0 lorsquentend versÅ1, garantit queMntend vers 0. 5) (a) S i( Mn) converge versA, la sous-suite (M2n) converge aussi versA. Mais par continuité deM7!M2, (Mn)2converge versA2. DoncAAEA2, et donc est un projecteur. (b)AE)On suppose que (Mn)nconverge. Soit¸2SpMetXun vecteur propre associé. AlorsMnXAE¸nXconverge. Sixjest une coordonnée non nulle de X,¸nxjconverge. Donc¸2D(0,1) ou¸AE1. Montrons que dimE1(M)AEm(1). On suppose que 1 est valeur propre, sinon il n"y a plus rien à montré. On sait queMest semblable àDAEDiag(M1,M2) oùM1AE¸Im(1)ÅN1avecN1 nilpotente, et que 1ÝSpM2. D"après la question 3 et puisqueMnconverge, N

1AE0. Lesm(1) premiers vecteurs de la base canonique sont dansE1(M), ce

qui assure que dimE1(M)Êm(1). Mais on a l"autre inégalité d"après le cours.Donc dimE1(M)AEm(1). Remarquons queDnconverge vers Diag(Im(1),0) qui

est le projecteur surE1(M) parallèlement àM

¸2Sp¸\{1}Ker(M¡¸Ip)m(¸).

(AESoit tout d"abordAde la forme¸IpÅNoùN2Mp(C) est nilpotente et¸2D(0,1). AlorsAntend vers 0 d"après la question précédente, donc converge. Donc siDest une matrice diagonale par blocsDAEDiag(M1,...,Mr) oùchaqueblocMjestsoitdelaforme¸IqÅN(oùN2Mq(C)estnilpotenteet ¸2D(0,1)), soit une matrice identité, alorsDnconverge. Soit maintenantM telle que Sp C(M)½D(0,1)[{1} et que dimE1(M)AEm(1). On aMsemblable à DAEDiag(M1,...,Mr) où chaque bloc est soit un bloc identité, soit de la forme ¸IpÅNavecNnilpotente. Mais alors, chaque suiteMn jconverge, et doncDn converge. DoncMnaussi. 6) M ontronsqu e( Mn)nest bornée si et seulement si SpM½Df(0,1) et que si¸est une valeur propre de module 1,m(¸)AEdimE¸(M). AE)Quitte à trigonaliser comme précédemment, on peut supposer queMAE Diag(M1,...,Mr) avec comme précédemment SpMjAE{¸j}. On a encoreMn jbor- née. Sij¸jj AE1, d"après la question 3,MjAE¸jIm(¸j). Sij¸jj Ê1, la suiteMn jn"est bornée car tend vers 0. (AESoit maintenantMtelle que SpC(M)½Df(0,1) et que dimE¸(M)AEm(¸) si j¸j AE1. On aMsemblable àDAEDiag(M1,...,Mr) où chaque bloc est soit un bloc identité, soit de la forme¸IpÅNavecNnilpotente. Mais alors, soitj¸jj Ç1 etMn j converge, donc est bornée, soitj¸jj AE1 etMn jAE¸n jIpest bornée. DoncDnest bor- née, et doncMnest bornée. 7) (a) F ixonsRÊ0 tel que la suite bornée (An) reste dans la boule ferméeBf(0,R). Alors kBnkÉ1nÅ1n X kAE0kAkkÉ1nÅ1n X kAE0RAE1. La suite (Bn) est donc bornée dansMp(C) qui est un espace vectoriel de di- mension finie. Elle admet donc une valeur d"adhérenceB. Soit donc':N!N une extractrice telle que (B'(n)) converge versB. Or, AB n¡BnAE1nÅ1Ã nX kAE0AkÅ1¡nX kAE0Ak! AE

1nÅ1(AnÅ1¡Ip).

Vu que la suite (An) est bornée,ABn¡Bntend vers 0. D"autre part, par conti- nuité du produit matriciel,AB'(n)converge versAB. DoncABAEB. De même,

BAAEB.

Ainsi, par récurrence immédiate, on aAkBAEBAEBAkpour toutk2N. Donc pour tout polynômeP2C[X], on aP(A)BAEBAEBP(A). Vu queB'(n)est un 2 MP continuité du produit matriciel,B2AEB. DoncBest un projecteur. (b) P arla qu estionp récédente,( Ip¡A)BAE0AEB(Ip¡A). D"où les inclusions ImB½Ker(Ip¡A) et Im(Ip¡A)½KerB. SoitX2Ker(Ip¡A),i.e. AXAEX. Alors (continuité du produit matriciel)

BXAElimB'(n)XAElim1'(n)Å1'(n)X

kAE0AkXAEX. DoncX2ImBet on a l"égalité ImBAEKer(Ip¡A). Par le théorème du rang et l"inclusion Im(Ip¡A)½KerB, on a aussi l"égalité Im(Ip¡A)AEKerB. (c) D "aprèsla qu estionprécéden te,la sui tebor néeBnadmet une seule valeur d"adhérence, à savoir le projecteur sur Ker(Ip¡A) parallèlement à Im(Ip¡A). Doncdansl"espacevectorieldedimensionfinieMp(C),lasuite(Bn)converge. (d) M ontronsqu eXMnconverge si et seulement si (Mn) est bornée,i.e.SpM½ D f(0,1) et si¸2SpMest de module 1, la multiplicitém(¸) de la valeur propre

¸vaut dimE¸(M).

On a déjà montré le sens réciproque dans la question précédente. Montrons le sens direct. Montrons que SpM½Df(0,1). Par l"absurde, siXest un vecteur propre asso- cié à la valeur propre¸de moduleÈ1. Alors B nXAE1nÅ1nÅ1X kAE0AkXAE1nÅ1nÅ1X kAE0¸kXAE1nÅ1¸ nÅ1¡1¸¡1X.

DonckBnXk AE1nÅ1¯

¯¯¯¸nÅ1¡1¸¡1¯

¯¯¯kXk. Mais par croissance comparées de (j¸jn) et

1nÅ1, cette suite tend versÅ1, donc ne converge pas. Contradiction avec

la convergence de (BnX) (qui résulte de la continuité deM7!MXet de la convergence deBn). Supposons que¸2SpMest de module 1 et montrons par l"absurde que m(¸)AEdimE¸(M), c"est-à-dire Ker(M¡¸Ip)AEKer(M¡¸Ip)m(¸). Par l"ab- surde : d"après le lemme des noyaux itérés, on a Ker(M¡¸Ip)(Ker(M¡¸Ip)2 puisque Ker(M¡¸Ip)(Ker(M¡¸Ip)m(¸). Prenons doncX2dans Ker(M¡ ¸Ip)2\Ker(M¡¸Ip)etposonsX1AE(M¡¸Ip)X2.AlorsMX1AE¸X1(carM¡¸Ip envoie Ker(M¡¸Ip)2dans Ker(M¡¸Ip)) etMX2AE¸X2ÅX1. D"où (binôme) M nX2AE¸nX2Ån¸n¡1X1. Donc

1nÅ1n

X kAE0AkX2AE1nÅ1¸ nÅ1¡1¸¡1X2Å1nÅ1n X kAE0k¸k¡1X1.Le terme à droite

1nÅ1¸

nÅ1¡1¸¡1X2tend vers 0 puisque (¸n) est bornée. Si¸AE

1, le deuxième terme de droite vaut

1nÅ1n(nÅ1)2

X1et tend en norme vers

Å1, contradiction. Sinon, il s"écrit1nÅ1P0(¸)X1où

P(¸)AEnX

kAE0¸k¡1AE¸nÅ1¡1¸¡1. Or, P

0(¸)AE(nÅ1)¸n(¸¡1)¡(¸nÅ1¡1)(¸¡1)2.

Donc

1nÅ1P0(¸)AE¸n¸¡1,quineconvergepas.Doncletermededroitediverge,

contradiction.quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30

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