Sujet du bac S Mathématiques Spécialité 2017

21 juin 2017 Bac - Maths - 201 7 - Série S. 17MASSMLR1. Page 6 sur 7. Exercice 4 (5 points) : pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.

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TS-spe. Exercices bac -- 2011-2016 -- arithmétique Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité ... Coder le mot MATHS.

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Amérique du Nord 201 7 - freemaths . fr. Bac - Maths - 201 7 - Série S. EXERCICE 4 (5 points). Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.

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ARITHMÉTIQUE ET MATRICES BAC S. • Arithmétique. • PGCD. • Congruence. • Théorème de Gauss. • Théorème de Bézout. • Nombres premiers. • Matrice inversible.

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Exercice 4

Corrigé

17MASSMLR1Page 1 sur 7

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2017

ƒPREUVE DU MERCREDI 21 JUIN 2017

MATHƒMATIQUES

-SŽrie S -

Enseignement SpŽcialitŽ Coefficient : 9

DurŽe de lÕŽpreuve : 4 heures

Les calculatrices Žlectroniques de poche sont autorisŽes, conformŽment ˆ la rŽglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.

Le candidat doit traiter tous les exercices.

Le candidat est invitŽ ˆ faire figurer sur la copie toute trace de recherche, mme incomplte ou non

fructueuse, quÕil aura dŽveloppŽe.

Il est rappelŽ que la qualitŽ de la rŽdaction, la clartŽ et la prŽcision des raisonnements entreront pour

une part importante dans lÕapprŽciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 7 pages numérotées de 1 à 7. La page 7 est une annexe à rendre avec la copie.

Sujets Mathématiques Bac 2017

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Bac - Maths - 201 7 - Série S

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Exercice 4 (5 points) : pour les candidats ayant suivi l'enseigneme nt de spécialité

On appelle "

triangle rectangle presque isocèle », en abrégé TRPI, un triangle rectangle dont les côtés

de l'angle droit ont pour longueurs et , et dont l'hypoténuse a pour longueur , où et sont

des entiers naturels. Ainsi, un TRPI est un triangle rectangle dont les longueurs des côté s de l'angle droit sont deux nombres entiers consécutifs et dont la longueur de l'hypoténuse est un nombre entier.

Si le triangle de côtés

et , où est la longueur de l'hypoténuse, est un TRPI, on dira que le couple définit un TRPI.

Partie A

1. Démontrer que le couple d'entiers naturels définit un TRPI si et seulement si on a : 2. Montrer que le TRPI ayant les plus petits côtés non nuls est dé fini par le couple (3 ; 5). 3. a. Soit un entier naturel. Montrer que si est impair alors est impair. b. Montrer que dans un couple d'entiers définissant un TRPI, le nombre est nécessairement impair. 4. Montrer que si le couple d'entiers naturels définit un TRPI, alors et sont premiers entre eux.

Partie B

On note

la matrice carrée : , et la matrice colonne :

Soient

et deux entiers naturels ; on définit les entiers naturels et par la relation : L J . 1.

Exprimer et en fonction de et .

2. a. Montrer que : O J L . 9 K -P- J Q b. En déduire que si le couple définit un TRPI, alors le couple définit également un TRPI. 3.

On considère les suites

et d'entiers naturels, définies par et pour tout entier naturel L C C J . Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel , le couple définit un TRPI. 4.

Déterminer, par la méthode de votre choix que vous préciserez, un TRPI dont les longueurs des

côtés sont supérieures à 2017. 1 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7 1. Démontrons que le couple d'entiers naturels ( ; y ) définit un TRP ssi y 2 = 2 2 + 2 + 1: En utilisant la définition de l'énoncé et en appliquant le t héorème de Pythagore, nous avons: x 2 x + 1 ) 2 = y 2 <=> x 2 + x 2 + 2 x + 1 = y 2 => y 2 = 2 x 2 + 2 x + 1 .

Au total, le couple d'entiers naturels (

x ; y ) définit un TRP ssi: y 2 = 2 x 2 + 2 x + 1 . 2. Montrons que ( 3 ; 5 ) défini bien le TRP ayant les plus petits côtés: Ici:quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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