[PDF] Sujet du bac S Mathématiques Spécialité 2017 - Pondichéry

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Exercice 4

Corrigé

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2017

MATHÉMATIQUES

S

érie S

Durée de l"épreuve : 4 heures

Coefficient : 9

ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

L es calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 5 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le sujet comporte deux feuilles d"annexes à la page 8/9 et 9/9, à remettre avec la copie.

Sujets Mathématiques Bac 2017

freemaths.fr freemaths.frfreemaths.fr

Inde, Pondichéry 201 7 - freemaths . fr

Bac - Maths - 201 7 - Série S

EXERCICE 4 (5 points)

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On définit les suites ()

n u et () n v par : 00

1uv== et, pour tout entier naturel n,

1 23
n nn u uv =+ et 1 2 n nn v uv On admettra que les termes de ces suites sont des e ntiers naturels non nuls.

Partie A : Conjectures

Flore a calculé les premiers termes des suites à l'aide d'un tableur.

Une copie d'écran est donnée ci-dessous.

1.Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le

bas les termes des suites ?

2.Soit n un entier naturel.

Conjecturer la valeur de PGCD

nn vu ; . Aucune justification n'est demandée.

3.Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :

Elle émet la conjecture : " la suite

nn vu converge ».

Qu'en penser ?

Partie B : Étude arithmétique

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : .)1(32 1+ n nn vu

2.Soit n un entier naturel.

Déduire de la question précédente la valeur de PGCD nn vu ; .

Partie C : Étude matricielle

Pour tout entier naturel

n, on définit : •la matrice colonne nn n vuX •les matrices carrées 13 12 P et 2 211
(1 2) ( 1) 3 2 nn nnn Q

1. a. Montrer que la matrice

23
1 115
est l'inverse de P b.On admet que, pour tout entier naturel n, on a 1 0nn

X QP X

Démontrer que, pour tout entier naturel

n, on a 1 21 22
( 1) 3 2 5 ( 1) 2 5 nn n nn n u v

2. a. Vérifier que, pour tout entier naturel n, on a

1 21
21
( 1) 3 2 ( 1) 2 2 n n n n n n u v b.En déduire la limite de la suite nn vu

EXERCICE 5 (3 points)

Commun à tous les candidats

On considère un cube

ABCDEFGH fourni en annexe page 9/ 9.

L'espace est rapporté au repère

()AEADABA,,; .

On note

? le plan d'équation 01 3 1 2

1=-++zyx

Construire, sur la figure fournie en annexe page 9/9, la section du cube par le plan La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques.

Partie C : Étude matricielle

Pour tout entier naturel

n, on définit : •la matrice colonne nn n vuX •les matrices carrées 13 12 P et 2 211
(1 2) ( 1) 3 2 nn nnn Q

1. a. Montrer que la matrice

23
1 115
est l'inverse de P b.On admet que, pour tout entier naturel n, on a 1 0nn

X QP X

Démontrer que, pour tout entier naturel

n, on a 1 21 22
( 1) 3 2 5 ( 1) 2 5 nn n nn n u v

2. a. Vérifier que, pour tout entier naturel n, on a

1 21
21
( 1) 3 2 ( 1) 2 2 n n n n n n u v b.En déduire la limite de la suite nn vu

EXERCICE 5 (3 points)

Commun à tous les candidats

On considère un cube

ABCDEFGH fourni en annexe page 9/ 9.

L'espace est rapporté au repère

()AEADABA,,; .

On note

? le plan d'équation 01 3 1 2

1=-++zyx

Construire, sur la figure fournie en annexe page 9/9, la section du cube par le plan La construction devra être justifiée par des calculs ou des arguments géométriques. 1 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7 1. Déterminons les formules qui ont été entrées dans les cellul es B 3 et C 3

Les formules sont:

En B 3 : on entre << = 2 B2 + 3 C 2 En C 3 : on entre << = 2 B 2 + C

2 >> .

2.

Conjecturons la valeur de PGCD ( U

n ; V n En lisant la copie d'écran, nous constatons que:

PGCD (

1 ; 1 ) = PGCD ( 5 ; 3 ) = PGCD ( 19

; 13 ) = PGCD ( 77 ; 51 ) = PGCD ( 307 ; 805 ) = 1. Dans ces conditions, la conjecture que nous pouvons émettre sur la va leur du

PGCD (

U n ; V n ) est: " on pourrait, a priori, penser que: PGCD ( U n ; V n ) = 1 " . 3.

Qu'en pensons nous Notons que:

U 10 V 10

1, 50,

U 11 V 11

1, 50,

U12 V 12 1, 50 et U 13 V 13

1, 50

Dans ces conditions, la conjecture émise par Flore selon laquelle " la suiteU n V n converge " semble, a priori, bonne .

EXERCICE 4

Partie A: Conjectures

[ Inde, Pondichéry 201 7 ] 2 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7

De plus, la suite

U n V n paraît converger vers: " 1, 50 " .

Au total:

oui, la conjecture émise par Flore est, a priori, valide .

Partie B: Étude arithmétique

1. Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel n, 2 U n - 3 V n 1 ) n 1

Nous allons montrer par récurrence que:

" pour tout entier naturel n: 2 U n - 3 V n 1 n 1

Initialisation:

2 U 0 - 3 V 0 1 0 1 oui car: 2 U 0 - 3 V 0 = 2 x 1 - 3 x 1 => 2 U 0 - 3 V 0 = - 1, et ( - 1 ) 0 1 1.

Donc vrai au rang " 0 ".

Hérédité:

Supposons que pour tout entier naturel n, 2 U

n - 3 V n 1 n 1 et montrons qu'alors: 2 U n 1 - 3 V n 1 1 n 2

Supposons: 2 U

n - 3 V n 1 n 1 , pour tout entier naturel n . (1 )

Préalablement, nous avons:

2 U n + 3 V n = U n 1 U n 1 4 ( - U n 1 + 3 V n 1 2 U n + V n = V n 1 V n 1 2 ( U n 1 - V n 1 3 freemathsquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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