[PDF] [PDF] Exercices du chapitre 4 avec corrigé succinct - UTC - Moodle





Previous PDF Next PDF



CORRECTION DU TD 3 Exercice 1

Pour conclure on étudie le sous-espace propre associé à la valeur propre en résolvant l'équation matricielle : . On a : Par conséquent



Exercices de mathématiques - Exo7

Soit e un vecteur propre de f pour la valeur propre 1. Démontrer que (eu



Exercices de mathématiques - Exo7

Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4 



Valeurs propres et vecteurs propres

Théorème. Une matrice de taille n × n qui a n valeurs propres disctinctes est diagonalisable. Exercice. Diagonaliser si c'est possible



Feuille dexercices 7

La matrice B a 3 valeurs propres distinctes on sait donc déj`a d'apr`es le Exercice 3. Diagonaliser les matrices A suivantes. En déduire les valeurs de ...



Exercice 1 Soit A = −1 2 3 0 −2 0 1 2 1 ∈ M3×3(R). Calculer le

Exercice 4 Montrer que pour une matrice A ∈ Mn×n(R) triangulaire les valeurs propres de A sont A11



ISCID-CO - PRÉPA 2ème année DIAGONALISATION Université du

3.5.4 Exercice récapitulatif (corrigé) . linéairement indépendants associés à cette valeur propre est appelée une matrice non diagonalisable.



Exercices de mathématiques - Exo7

Calculer APσ . 4. Trouver les valeurs propres d'une matrice de pemutation (on pourra utiliser le résultat hors programme. : toute permutation se décompose de 



Valeurs propres vecteurs propres

Mini-exercices. 1. Calculer le polynôme caractéristique des matrices suivantes et en déduire leurs valeurs propres : A = 2 3. 7 



ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE

x1 +x2 +3x3 = b1. 2x1 +x3. = b2 x1 +x2 +2x3 = b3. Page 55. CHAPITRE 2. LES Exercice 2.— Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres des matrices ...



Exercices de mathématiques - Exo7

Exercice 5. Soit A la matrice suivante. A = (1 1. 2 1. ) 1. Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les valeurs propres de A.



CORRECTION DU TD 3 Exercice 1

Exercice 1. 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans Pour conclure on étudie le sous-espace propre associé à la valeur propre en.



Exercices de mathématiques - Exo7

Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4 



Partiel Corrigé

7 nov. 2015 2-iii) On a deux valeurs propres distinctes ±i en dimension 2 d'après un résultat du cours cela implique que la matrice est diagonalisable.



ISCID-CO - PRÉPA 2ème année DIAGONALISATION Université du

3.5.4 Exercice récapitulatif (corrigé) . Dé nition 3.1.1 Soit A une matrice carrée. Une valeur propre de A est un nombre ? qui quand il est.



Feuille dexercices 7

La matrice de l'endomorphisme f dans la base canonique est donnée par On rappelle que les espaces propres de A notés E? o`u ? est une valeur propre de ...



Valeurs propres et vecteurs propres

Un vecteur x est un vecteur propre de la matrice A carrée de taille n × n Exercice. Montrer que 4 est une valeur propre de A =.



Exercices du chapitre 4 avec corrigé succinct

– Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice diagonale. 3. Montrer que : A non inversible ?? 0 est valeur propre de A. Solution : 1.



Exercice 1 Soit A = ?1 2 3 0 ?2 0 1 2 1 ? M3×3(R). Calculer le

On a donc obtenu le polynôme caractéristique de A. Les valeurs propres de A Corrigé. La première chose à faire est de trouver la matrice de T dans un ...



MATRICES SYMÉTRIQUES

(iii) M3 = (6 2. 2 3. ) . Corrigé de l'exercice 1.1. (i) Première étape : valeurs propres. Le polynôme caractéristique de M1 est det( 



[PDF] fic00054pdf - Exo7 - Exercices de mathématiques

Déterminer les valeurs propres de M 2 Montrer que M est diagonalisable 3 Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage 4 



[PDF] fic00056pdf - Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 6 Soit P(X) un polynôme de C[X] soit A une matrice de Mn(C) On note B la matrice : B = P(A) ? Mn(C) 1 Démontrer que six est un vecteur propre de 



[PDF] Valeurs propres et vecteurs propres

Défintion : valeur propre et vecteur propre ? Un vecteur x est un vecteur propre de la matrice A carrée de taille n × n si Ax = ?x pour un certain réel ?



[PDF] CORRECTION DU TD 3 Exercice 1

Pour conclure on étudie le sous-espace propre associé à la valeur propre en résolvant l'équation matricielle : On a : Par conséquent on a :



[PDF] Correction détaillée des exercices 12 3 et 4 de la Fiche 4

Comme C est une matrice de type (3 3) et qu'elle admet 3 valeurs propres distinctes elle est diagonalisable Exercice 2 On considère la matrice réelle A =



[PDF] M3×3(R) Calculer le polynôme caractéristique et - ?1 2 3 0

Exercice 4 Montrer que pour une matrice A ? Mn×n(R) triangulaire les valeurs propres de A sont A11A22 Ann i e ce sont les coefficients diagonaux de A



[PDF] Exercices du chapitre 4 avec corrigé succinct - UTC - Moodle

– Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice diagonale 3 Montrer que : A non inversible ?? 0 est valeur propre de A Solution : 1



[PDF] diagonalisation - LMPA

Une valeur propre de A est un nombre ? qui quand il est exemple illustre un principe général concernant les valeurs propres d'une matrice diagonale



[PDF] Feuille dexercices 7

La matrice de l'endomorphisme f dans la base canonique est donnée par On rappelle que les espaces propres de A notés E? o`u ? est une valeur propre de 

  • Comment déterminer la valeur propre d'une matrice ?

    ? est dite valeur propre de la matrice A s'il existe un vecteur non nul X ? n tel que AX = ?X.

  • Comment déterminer le polynôme caractéristique d'une matrice ?

    Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A est det(A - ?I) (c'est un polynôme en ?). ? ? ? ? a - ? b c d - ? ? ? ? ? = (a -?)(d -?)-cd = ?2 -(a +d)?+ad -bc . Rappel. Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique.

  • Comment montrer que M'est diagonalisable ?

    Pour démontrer qu'une matrice A est diagonalisable, la méthode la plus classique consiste à calculer le polynôme caractéristique ?A et à le factoriser pour déterminer les valeurs propres de A . Si ?A n'est pas scindé, A n'est pas diagonalisable. Si ?A est scindé à racines simples, A est diagonalisable.
  • Une fois déterminées les valeurs propres d'un endomorphisme, s'il y en a, on peut rechercher les vecteurs propres associés. Cela revient à résoudre l'équation linéaire f ( v ) = ? v , c'est-à-dire à déterminer Ker ( f ? ? I d E ) .

Exercices du chapitre 4 avec corrigé succinct

Exercice IV.1Ch4-Exercice1

Quels sont les vecteurs propres de l"application identité? Préciser les valeurs propres associées.

Solution: Tous les vecteurs, sauf le vecteur nul, sont vecteurs propres de l"identité, la valeur propre associée

est 1.Exercice IV.2Ch4-Exercice2 systématique :

S iuest la projection de l"espace sur un plan parallèlement à une droite, citer des vecteurs propres deuet

les valeurs propres associées.

S iuest la rotation du plan d"angle®:

q uand®AE¼, citer des vecteurs du plan qui soient vecteurs propres deu, préciser les valeurs propres

associées, q uand®AE¼3 , pouvez-vous citer des vecteurs du plan qui soient vecteurs propres deu?

Solution:

P ourla pr ojection,l esv ecteursnon nul sd uplan sont des v ecteursp ropresassociés à la v aleurp ropre1, l es

vecteurs non nuls de la droite sont des vecteurs propres associés à la valeur propre 0.

P ourla r otationsi :

-®AE¼, la rotation est alors une symétrie, tout vecteur non nul du plan est vecteur propre associé à la

valeur propre¡1. -®AE¼3 , on ne peut citer aucun vecteur propre.Exercice IV.3Ch4-Exercice3 Montrer que siY, est vecteur propre deA, alors®Yest vecteur propre deA(pour tout®2Knon nul).

Solution:®Y6AE0,

donc®Yest vecteur propre associé à la valeur propre¸.Exercice IV.4Ch4-Exercice4 1. S oitIla matrice identité deMn,n, déterminer ses vecteurs propres et ses valeurs propres. 2. D éterminerle sv ecteurspr opreset l esv aleurspr opresde la mat rice AAE0 @3.5 0 0

0 5.2 0

0 0 6.91

A D éterminerle sv aleurspr opreset l esv ecteurspr opresd "unemat ricediagon ale. 3. M ontrerqu e: Anon inversible()0 est valeur propre deA.

Solution:

1. T outv ecteurn onn ulYest vecteur propre deIcarIYAEY: la valeur propre associée est 1.

2.- S iYAE0

@y 1 y 2 y 31
A ,AYAE0 @3.5y1 5.2y2

6.9y31

A

AE¸Y()8

:3.5y1AE¸y1

5.2y2AE¸y2

6.9y3AE¸y3.

Ce système admet comme solutions :

-¸AE3.5,y2AE0,y3AE0,y1quelconque non nul (pour queY6AE0) :YAEy10 @1 0 01 A -¸AE5.2,y1AE0,y3AE0,y2quelconque non nul (pour queY6AE0) :YAEy20 @0 1 01 A -¸AE6.9,y1AE0,y2AE0,y3quelconque non nul (pour queY6AE0) :YAEy30 @0 0 11 A

C erésu ltatse g énéraliseraitau c asd "unema triced iagonalequ elconque: ¸AEaiiest valeur propre, les

vecteurs propres associés sont proportionnels à la i-ème colonne deI. On a en effet d"après les

propriétés du produit matriciel :

AIAEA)AIiAEAiAEaiiIi

donc

On a donc un couple propre (aii,®Ii).

On retrouve sur ces exemples très simples que siYest vecteur propre associé à¸alors®Yest

également vecteur propre associé à¸.

3.Anon inversible,9Y6AE0,AYAE0 ,

en effet le systèmeAYAE0 admet toujours la solution nulle, et ce système admet une solution non nulle

(c"est-à-dire n"admet pas de solution unique) si et seulement siAn"est pas inversible. On a donc :

Anon inversible,0 est valeur propre deAExercice IV.5Ch4-Exercice5 C alculerle sv aleurspr opreset l esv ecteurspr opresréel s( KAEIR) des matrices : A

1AEµ¡1 2

,A2AEµ¡1 1 ,A3AEµ1¡1 ,A4AEµ0¡1 A 5AE0 @1 0 1 0 1 0

0 0 21

A ,A6AE0 @1 1 0 0 1 0

0 0 21

A ,A7AE0 @1 1 1 0 2 3

0 0¡11

A

C alculerl esv aleurspr opreset l esv ecteurspr oprescomplexes ( KAEC) des matrices précédentes puis de la

matrice :A8AEµ1 1

Solution: PourA1:

A(s)AE(sÅ1)(sÅ2)¡2AEs2Å3sAEs(sÅ3) :

2 valeurs propres simples 0 et¡3.

Recherche des vecteurs propres :

-¸AE0, ,®2IR . -¸AE¡3, ,®2IR.

Il était prévisible que 0 était valeur propre de cette matrice. En effet puisque ses 2 colonnes sont

proportionnelles, elle n"est pas inversible, donc 0 est valeur propre.

PourA2:

on obtient le même polynôme caractéristique que pour la matriceA1. Ce résultat est général : les matrices

sont transposées l"une de l"autre.

Recherche des vecteurs propres :

-¸AE0, ,®2IR . -¸AE¡3, ,®2IR. On remarque en revanche que les vecteurs propres ne sont pas les mêmes que pour la matriceA1.

Si on cherche les valeurs et vecteurs propres complexes deA1etA2on obtient bien sûr les mêmes valeurs

propres (réelles donc complexes), quant aux vecteurs propres ils appartiennent maintenant àMn1(C) donc

on choisit les coefficients®complexes.

Pour la matrice suivante tourner la page.

PourA3:

A(s)AE(s¡1)2Å1 :

il n"existe pas de valeurs propres réelles.

Si on cherche les valeurs propres complexes, on obtient 2 valeurs propres complexes 1Åiet 1¡i(on peut

remarquer que ces valeurs propres sont conjuguées : ce résultat est général, on le démontrera

ultérieurement).

Recherche des vecteurs propres :

-¸AE1Åi, ,®2C . -¸AE1¡i, ,®2C .

Pour la matrice suivante tourner la page.

PourA4:

on a une valeur propre double¸AE1

Recherche des vecteurs propres :

-¸AE1, ,®2IR .

Si on cherche les valeurs et vecteurs propres complexes deA4on obtient bien sûr la même valeur propre

(réelle donc complexe), quant aux vecteurs propres ils appartiennent maintenant àMn1(C) donc on choisit

les coefficients®complexes.

Pour la matrice suivante tourner la page.

PourA5:

A(s)AE(s¡1)2(s¡2) :

¸AE1 est valeur propre double,¸AE2 est valeur propre simple.

Recherche des vecteurs propres :

-¸AE1, (A¡¸I)YAE0,y3AE0, YAE0 01 A

AE®0

@1 0 01 A

ů0

@0 1 01 A ,®,¯2IR . -¸AE2, (A¡¸I)YAE0,½¡y1Åy3AE0

¡y2AE0,½¡y1AEy3

y 2AE0,

YAE®0

@1 0 11 A ,®2IR.

PourA6:

A(s)AE(s¡1)2(s¡2),

¸AE1 est valeur propre double,¸AE2 est valeur propre simple.

Recherche des vecteurs propres :

-¸AE1, (A¡¸I)YAE0,½y2AE0 y

3AE0,YAE®0

@1 0 01 A ,®2IR . -¸AE2, (A¡¸I)YAE0,½¡y1Åy2AE0 y

2AE0,½y1AE0

y 2AE0,

YAE®0

@0 0 11 A ,®2IR.

Si on cherche les valeurs et vecteurs propres complexes deA5etA6on obtient bien sûr les mêmes valeurs

propres (réelles donc complexes), quant aux vecteurs propres ils appartiennent maintenant àMn1(C) donc

on choisit les coefficients®et¯complexes.

Pour la matrice suivante tourner la page.

PourA7:

A(s)AE(s¡1)(s¡2)(sÅ1),

1, 2,¡1 sont valeurs propres simples.

Recherche des vecteurs propres :

-¸AE1, (A¡¸I)YAE0,8 :y

2Åy3AE0

y

2Å3y3AE0

y

3AE0,½y3AE0

y 2AE0,

YAE®0

@1 0 01quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12
[PDF] sous espace propre

[PDF] calcul vectoriel dans le plan tronc commun

[PDF] symbole produit vectoriel word

[PDF] exercice produit vectoriel corrigé

[PDF] produit vectoriel science de l'ingénieur

[PDF] dimensionnement d'un vérin hydraulique double effet

[PDF] calcul verin hydraulique

[PDF] dimensionnement vérin pneumatique

[PDF] calcul verin hydraulique xls

[PDF] logiciel calcul verin pneumatique

[PDF] dimensionnement d'un verin hydraulique pdf

[PDF] tableau force verin hydraulique

[PDF] calcul force vérin pneumatique

[PDF] exercice corrigé vérin hydraulique

[PDF] calcul flambage verin