CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Pour conclure on étudie le sous-espace propre associé à la valeur propre en résolvant l'équation matricielle : . On a : Par conséquent
Exercices de mathématiques - Exo7
Soit e un vecteur propre de f pour la valeur propre 1. Démontrer que (eu
Exercices de mathématiques - Exo7
Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4
Valeurs propres et vecteurs propres
Théorème. Une matrice de taille n × n qui a n valeurs propres disctinctes est diagonalisable. Exercice. Diagonaliser si c'est possible
Feuille dexercices 7
La matrice B a 3 valeurs propres distinctes on sait donc déj`a d'apr`es le Exercice 3. Diagonaliser les matrices A suivantes. En déduire les valeurs de ...
Exercice 1 Soit A = −1 2 3 0 −2 0 1 2 1 ∈ M3×3(R). Calculer le
Exercice 4 Montrer que pour une matrice A ∈ Mn×n(R) triangulaire les valeurs propres de A sont A11
ISCID-CO - PRÉPA 2ème année DIAGONALISATION Université du
3.5.4 Exercice récapitulatif (corrigé) . linéairement indépendants associés à cette valeur propre est appelée une matrice non diagonalisable.
Exercices de mathématiques - Exo7
Calculer APσ . 4. Trouver les valeurs propres d'une matrice de pemutation (on pourra utiliser le résultat hors programme. : toute permutation se décompose de
Valeurs propres vecteurs propres
Mini-exercices. 1. Calculer le polynôme caractéristique des matrices suivantes et en déduire leurs valeurs propres : A = 2 3. 7
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
x1 +x2 +3x3 = b1. 2x1 +x3. = b2 x1 +x2 +2x3 = b3. Page 55. CHAPITRE 2. LES Exercice 2.— Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres des matrices ...
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 5. Soit A la matrice suivante. A = (1 1. 2 1. ) 1. Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les valeurs propres de A.
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Exercice 1. 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans Pour conclure on étudie le sous-espace propre associé à la valeur propre en.
Exercices de mathématiques - Exo7
Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4
Partiel Corrigé
7 nov. 2015 2-iii) On a deux valeurs propres distinctes ±i en dimension 2 d'après un résultat du cours cela implique que la matrice est diagonalisable.
ISCID-CO - PRÉPA 2ème année DIAGONALISATION Université du
3.5.4 Exercice récapitulatif (corrigé) . Dé nition 3.1.1 Soit A une matrice carrée. Une valeur propre de A est un nombre ? qui quand il est.
Feuille dexercices 7
La matrice de l'endomorphisme f dans la base canonique est donnée par On rappelle que les espaces propres de A notés E? o`u ? est une valeur propre de ...
Valeurs propres et vecteurs propres
Un vecteur x est un vecteur propre de la matrice A carrée de taille n × n Exercice. Montrer que 4 est une valeur propre de A =.
Exercices du chapitre 4 avec corrigé succinct
– Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice diagonale. 3. Montrer que : A non inversible ?? 0 est valeur propre de A. Solution : 1.
Exercice 1 Soit A = ?1 2 3 0 ?2 0 1 2 1 ? M3×3(R). Calculer le
On a donc obtenu le polynôme caractéristique de A. Les valeurs propres de A Corrigé. La première chose à faire est de trouver la matrice de T dans un ...
MATRICES SYMÉTRIQUES
(iii) M3 = (6 2. 2 3. ) . Corrigé de l'exercice 1.1. (i) Première étape : valeurs propres. Le polynôme caractéristique de M1 est det(
[PDF] fic00054pdf - Exo7 - Exercices de mathématiques
Déterminer les valeurs propres de M 2 Montrer que M est diagonalisable 3 Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage 4
[PDF] fic00056pdf - Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 6 Soit P(X) un polynôme de C[X] soit A une matrice de Mn(C) On note B la matrice : B = P(A) ? Mn(C) 1 Démontrer que six est un vecteur propre de
[PDF] Valeurs propres et vecteurs propres
Défintion : valeur propre et vecteur propre ? Un vecteur x est un vecteur propre de la matrice A carrée de taille n × n si Ax = ?x pour un certain réel ?
[PDF] CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Pour conclure on étudie le sous-espace propre associé à la valeur propre en résolvant l'équation matricielle : On a : Par conséquent on a :
[PDF] Correction détaillée des exercices 12 3 et 4 de la Fiche 4
Comme C est une matrice de type (3 3) et qu'elle admet 3 valeurs propres distinctes elle est diagonalisable Exercice 2 On considère la matrice réelle A =
[PDF] M3×3(R) Calculer le polynôme caractéristique et - ?1 2 3 0
Exercice 4 Montrer que pour une matrice A ? Mn×n(R) triangulaire les valeurs propres de A sont A11A22 Ann i e ce sont les coefficients diagonaux de A
[PDF] Exercices du chapitre 4 avec corrigé succinct - UTC - Moodle
– Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice diagonale 3 Montrer que : A non inversible ?? 0 est valeur propre de A Solution : 1
[PDF] diagonalisation - LMPA
Une valeur propre de A est un nombre ? qui quand il est exemple illustre un principe général concernant les valeurs propres d'une matrice diagonale
[PDF] Feuille dexercices 7
La matrice de l'endomorphisme f dans la base canonique est donnée par On rappelle que les espaces propres de A notés E? o`u ? est une valeur propre de
Comment déterminer la valeur propre d'une matrice ?
? est dite valeur propre de la matrice A s'il existe un vecteur non nul X ? n tel que AX = ?X.Comment déterminer le polynôme caractéristique d'une matrice ?
Le polynôme caractéristique d'une matrice carrée A est det(A - ?I) (c'est un polynôme en ?). ? ? ? ? a - ? b c d - ? ? ? ? ? = (a -?)(d -?)-cd = ?2 -(a +d)?+ad -bc . Rappel. Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de son polynôme caractéristique.Comment montrer que M'est diagonalisable ?
Pour démontrer qu'une matrice A est diagonalisable, la méthode la plus classique consiste à calculer le polynôme caractéristique ?A et à le factoriser pour déterminer les valeurs propres de A . Si ?A n'est pas scindé, A n'est pas diagonalisable. Si ?A est scindé à racines simples, A est diagonalisable.- Une fois déterminées les valeurs propres d'un endomorphisme, s'il y en a, on peut rechercher les vecteurs propres associés. Cela revient à résoudre l'équation linéaire f ( v ) = ? v , c'est-à-dire à déterminer Ker ( f ? ? I d E ) .
Enoncés et corrections : Sandra Delaunay
Exo7Sujets de l"année 2004-2005
1 Devoir à la maison
Exercice 1SoitMla matrice réelle 33 suivante :
M=0 @0 21 32 02 2 11
A 1.Déterminer les v aleurspropres de M.
2.Montrer que Mest diagonalisable.
3. Déterminer une base de v ecteurspropres et Pla matrice de passage. 4. On a D=P1MP, pourk2NexprimerMken fonction deDk, puis calculerMk. SoitEun espace vectoriel sur un corpsK(K=RouC), on appelleprojecteurun endomorphismepdeE vérifiantpp=p. Soitpun projecteur. 1.Montrer que Id
Epest un projecteur, calculerp(IdEp)et(IdEp)p.
2.Montrer que pour tout ~x2Imp, on ap(~x) =~x.
3. En déduire que Im pet kerpsont supplémentaires. 4. Montrer quelerangdepestégalàlatracedep. (Onrappellequelatracedelamatriced"unendomorphisme ne dépend pas de la base dans laquelle on exprime cette matrice.)SoitA=(aij)16i;j6nune matrice carréenn. On veut démontrer le résultat suivant dû à Hadamard : Supposons
que pour touti2 f1;;ng, on ait jaiij>nå j=1;j6=ijaijj alorsAest inversible. 1.Montrer le résultat pour n=2.
2. Soit B, la matrice obtenue en remplaçant, pourj>2, chaque colonnecjdeApar la colonne c ja1ja 11c1;Calculer lesbijen fonction desaij. Montrer que si les coefficients deAsatisfont les inégalités ci-dessus,
alors pouri>2, on a jbiij>nå j=2;j6=ijbijj: 13.Démontrer le résultat de Hadamard pour nquelconque.
Exercice 4Soit
A=0 @1 0 0 0 1 0 11 21 A Démontrer queAest diagonalisable et trouver une matricePtelle queP1APsoit diagonale. Soit A=0 @1 11 0 1 01 0 11
A Factoriser le polynôme caractéristique deA. La matriceAest-elle diagonalisable dansR? dansC? Soit A=a c c d2M2(R)
Démontrer queAest diagonalisable dansR.
SoitAla matrice suivante
A=0 @0 1 1 1 0 11 1 01
ACalculerA2et vérifier queA2=A+2I3. En déduire queAest inversible et donner son inverse en fonction de
A.SoitAune matrice carrée d"ordren. On suppose queAest inversible et quel2Rest une valeur propre deA.
1.Démontrer que l6=0.
2.Démontrer que si ~xest un vecteur propre deApour la valeur proprelalors il est vecteur propre deA1
de valeur proprel1. Soitfun endomorphisme deEvérifiantf2=mathrmIdE. 21.Démontrer que les seules v aleurspropres possibles de fsont 1 et1.
2.Vérifier que pour tout ~x2E, on a
f(~xf(~x)) =(~xf(~x))etf(~x+f(~x)) = (~x+f(~x)) et en déduire quefadmet toujours une valeur propre. 3. Démontrer que si 1 et 1 sont valeurs propres, alorsEest somme directe des sous-espaces propres correspondants. 4. T raduiregéométriquement sur un dessin dans le cas n=2. Exercice 10(9 points) SoitAla matrice deM3(R)suivante : A=0 @1 0 1 1 2 1 11 11 A 1. Démontrer que les v aleurspropres de Asont 1 et 2. 2. Déterminer les sous-espaces propres de A. La matriceAest-elle diagonalisable ? 3. Déterminer les sous-espaces caractéristiques de A. 4. Déterminer une base de R3dans laquelle la matrice de l"endomorphisme associé àAest B=0 @2 0 0 0 1 10 0 11
AEn déduire la décomposition de Dunford deB.
5.Résoudre le système dif férentiel
8>< :x 0=x+z y0=x+2y+z
z0=xy+z
(7 points) On considère la suite(un)n2Ndéfinie paru0=0,u1=1 et par la relation de récurrence
u n+1=12 (un+un1): 1. Déterminer une matrice A2M2(R)telle que pour toutn>1 on ait un+1 u n =Anu1 u 0Justifier.
32.Déterminer le polynôme caractéristique PA(X)deAet calculer ses racinesl1etl2.
3. Soit Rn(X) =anX+bnle reste de la division euclidienne deXnparPA(X). Calculeranetbn(on pourra utiliser les racinesl1etl2). 4. Montrer que An=anA+bnI2, en déduire que la matriceAnconverge lorsquentend vers+¥vers une limiteA¥que l"on déterminera. Calculer limn!+¥un. (5 points) SoitAune matrice carrée,A2Mn(K)(K=RouC). On rappelle que la trace d"une matrice est la somme de ses coefficients diagonaux et que tr(BAB1) =trA. Démontrer que det(expA) =etrAdans les cas suivants :1.Adiagonalisable.
2.Atriangulaire supérieure ayant une diagonale de zéros.
3.Atrigonalisable.
4.Aquelconque.
Exercice 13(7 points) On considère la suite(un)n2Ndéfinie paru0=0,u1=1 et par la relation de récurrence
u n+1=12 (un+un1): 1. Déterminer une matrice A2M2(R)telle que pour toutn>1 on ait un+1 u n =Anu1 u 0Justifier.
2. Déterminer le polynôme caractéristique PA(X)deAet calculer ses racinesl1etl2. 3. Soit Rn(X) =anX+bnle reste de la division euclidienne deXnparPA(X). Calculeranetbn(on pourra utiliser les racinesl1etl2). 4. Montrer que An=anA+bnI2, en déduire que la matriceAnconverge lorsquentend vers+¥vers une limiteA¥que l"on déterminera. Calculer limn!+¥un. (5 points) SoitAune matrice carrée,A2Mn(K)(K=RouC). On rappelle que la trace d"une matrice est la somme de ses coefficients diagonaux et que tr(BAB1) =trA. Démontrer que det(expA) =etrAdans les cas suivants :1.Adiagonalisable.
2.Atriangulaire supérieure ayant une diagonale de zéros.
43.Atrigonalisable.
4.Aquelconque.
(4 points) On suppose qu"une populationxde lapins et une populationyde loups sont gouvernées par le système
suivant d"équations différentielles : (S)(x0=4x2y y 0=x+y 1.Diagonaliser la matrice
A=42 1 1 2. Exprimer le système (S)et ses solutions dans une base de vecteurs propres deA. 3. Représenter graphiquement les trajectoires de (S)dans le repère(Oxy). 4.Discuter graphiquement l"év olutionde la population des lapins en fonction des conditions initiales.
(9 points) Soitul"endomorphisme deR3, dont la matrice dans la base canonique est A=0 @3 22 1 0 11 1 01
A 1. Calculer les v aleurspropres de A. L"endomorphismeuest-il diagonalisable ? 2. Calculer (AI)2. Montrer queAn=nA+(1n)Ien utilisant la formule du binôme de Newton. 3. Soient P(X) = (X1)2etQ2R[X]. Exprimer le reste de la division euclidienne deQparPen fonctiondeQ(1)etQ0(1), oùQ0est le polynôme dérivé deQ. En remarquant queP(A) =0 et en utilisant le
résultat précédent avec un choix judicieux du polynômeQ, retrouverAn. 4. (a) Montrer que l"image de R3par l"endomorphismeuId est un sous-espace vectoriel de dimension1, on noterae2une base.
(b) Déterminer un v ecteure3tel queu(e3) =e2+e3. Déterminer un vecteur propree1deunon colinéaire àe2. (c) Montrer que (e1;e2;e3)est une base deR3.Ecrire la matrice deudans cette base, ainsi que les matrices de passage. (d)Retrouv erAn.
(7 points) SoientMetAdeux matrices deMn(R)telles queMA=AM. On suppose queMadmetnvaleurs propres distinctes. 1. Soit xun vecteur propre deMde valeur proprel, montrer queMAx=lAx;en déduire que les vecteurs xetAxsont colinéaires, puis que tout vecteur propre deMest un vecteur propre deA. 2. On note maintenant l1;;lnles valeurs propres deMetm1;;mncelles deA. 5 (a)Montrer par récurrence sur nl"égalité suivante :1l1ln11......
1lnln1n
16i En déduire que le système suivant
8>>< >:m 1=a0+a1l1++an1ln11
m n=a0+a1ln++an1ln1n admet une unique solution(a0;;an1)2Rn: (b) Soient M0etA0les matrices diagonales suivantes :
M 0=0 B BBB@l 100
0 ...0 00ln1 C CCCA;A0=0
B BBB@m 100
0 ...0 00mn1 C CCCA: Montrer qu"il existe des réelsa0;;an1tels que
quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34
En déduire que le système suivant
8>>< >:m1=a0+a1l1++an1ln11
m n=a0+a1ln++an1ln1n admet une unique solution(a0;;an1)2Rn: (b)Soient M0etA0les matrices diagonales suivantes :
M 0=0 B BBB@l 1000 ...0 00ln1 C
CCCA;A0=0
B BBB@m 1000 ...0 00mn1 C CCCA:
Montrer qu"il existe des réelsa0;;an1tels que
quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] calcul vectoriel dans le plan tronc commun
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