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Sciences Industrielles

de l"ingénieur CI 3 - CIN : ÉTUDE DU COMPORTEMENT CINÉMATIQUE DES

SYSTÈMES

CHAPITRE2 - GÉOMÉTRIE DANS L"ESPACEEffeuillage d"un Renault Clio[3]Moteur 1.5 dCi K9K 105 ch[3]Modélisation par schéma cinématique[4]SavoirSavoirs :

M anipulerdes v ecteurs,les r epèreset les différ entssystèmes de coor données

C alculerun pr oduitscalair e

C alculerun pr oduitv ectoriel

C alculerun pr oduitmixte

Les sections 1, 2, 3 et 4 sont lagement inspirées du cours de géométrie de P. Soleillant[1,2 ].

Ce document est en évolution permanente. Merci de signaler toutes erreurs ou coquilles. 1

V ecteurs

. ................................................................................................2 1.1

Définitions

1.2

Règles de calcu l

2

Mo desde rep éragedans l"espace

. .........................................................................3 2.1

Rep ère(s)ca rtésien(s)de l"espace

. ...................................................................3 2.2 Orientation de l"espace, rep ères(o rthonormés)directs 2.3

Exemple

2.4

Co ordonnéescylindriques

. ...........................................................................7 2.5

Co ordonnéessphériques

. ............................................................................9 3

Pro duitscal aire

. ........................................................................................10 3.1

Pro duitscalaire de deux vecteurs

. ..................................................................10 3.2 F ormebilin éairesymétrique définie p ositive 3.3 Exp ressiondu p roduitscalaire d edeux vecteurs en base o rthonormée ..................................11 4

Pro duitvecto riel

. .......................................................................................11 4.1

Pro duitvecto rielde deux vecteurs

. .................................................................11 4.2 Le p roduitvecto rielest bilin éaireet anti-symétrique 4.3 Exp ressiondu p roduitvecto rielde deux vecteu rsen base o rthonorméedirecte ..........................12 4.4

Double p roduitve ctoriel

............................................................................132013 - 2014

Xavier PESSOLES1CI 3 : CIN - Cours

Ch 2 : Géométrie dans l"espace - P

Sciences Industrielles

de l"ingénieur 5

Pro duitmixte

. ..........................................................................................14 5.1

Pro duitmixte de trois vecteurs

. ....................................................................14 5.2 Le déterminant e stune fo rmetrilinéaire anti-symétrique 6

Champ de vecteurs

. .....................................................................................15 6.1

Définition

6.2

Exemple de champs

7

Moments

. ..............................................................................................16 7.1

Moment en un p ointd"un p ointeur

1

V ecteurs

On postule l"existence d"un ensemble, appelé plan euclidien, et notéP. Ses éléments sont appelés points.

1.1

Définitions DéfinitionVecteurs

Soit(A;B)un couple1de points du plan : ce couple définit : une dir ection(celle de la dr oite(AB)); un sens (de AversB); une longueur (la longueur AB). On associe à un tel couple un objet appelévecteur, noté!AB.RemarqueBipoints équipollents

Le tracé de la "flèche»(A,B)est appelé bipoint. Deux bipoints sont équipollents s"ils ont même direction, même

sens et même norme. 1.2 Règles de calcul PropositionÉgalité de deux vecteurs Deux vecteurs!ABet!CDsont égaux lorsqu"ils ont même direction, même même vecteur. On dit parfois que!ABest un représentant du vecteur!v. Le vecteur!ABest dit nul lorsqueA=B. Le vecteur nul est noté!0 . Étant donnés un pointOet un vecteur!v=!AB, il existe un unique pointM du plan tel que !v=!OM.1. Attention à l"ordre :ApuisB.2013 - 2014

Xavier PESSOLES2CI 3 : CIN - Cours

Ch 2 : Géométrie dans l"espace - P

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de l"ingénieurPropositionProduit par un réel le vecteur!ACoùCest le point de la droite(AB)qui vérifieAC AB oùACetABsont les mesures algébriques respectives des couples(A,C)et(A,B) dans un repère arbitraire de la droite(AB). Dans le cas du vecteur nul, on pose!0=!0 .RemarqueMesure algébrique Soient une droiteD, un point origineOsurDet un pointIsurDtel queOI=1.

SoientMetNdeux points deDd"abscisses respectivesxMetxN. On appelle mesure algébrique du couple(M,N)

(dans cet ordre) dans le repère(O,I), et on noteMNle réel tel queMN=xNxMPropositionAddition de deux vecteurs

Soient

!vet!wdeux vecteurs. On peut les représenter sous la forme!v=!OMet!w=!ON. On définit!v+!wcomme le vecteur!OPtel que le quadrilatère

OMPNsoit un parallélogramme. Ce vecteur!v+!wne dépend pas du choix du pointO. Une conséquence essentielle de cette définition de l"addition de vecteurs est larelation de Chasles!AC=!AB+!BC.PropositionNorme d"un vecteur

On appelle la norme du vecteur

!v=!ABla longueur du segment[AB]. Elle ne dépend pas du représentant choisi, c"est-à-dire que siCetDsont des points du plan vérifiant aussi!v=!CD, alors on a :AB=CD. 2

Mo desde rep éragedans l"espace

2.1 Rep ère(s)ca rtésien(s)de l"espace DéfinitionRepère cartésien

On appelle repère cartésien deEla donnée d"un pointOdu plan, et de trois vecteurs!i,!jet!knon coplanaires.

Le pointOest appelé origine du repère, le triplet de vecteurs(!i,!j,!k)est appelé base du repère.2013 - 2014

Xavier PESSOLES3CI 3 : CIN - Cours

Ch 2 : Géométrie dans l"espace - P

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de l"ingénieurRemarque1.P ourtout point Mde l"espace, il existe un unique triplet de réels(x,y,z)vérifiant :

OM=x!i+y!j+z!k.

Le réelxest appelé abscisse deMdans le repère(O,!i,!j,!k), le réelyest appelé ordonnée deMdans le repère

(O,!i,!j,!k)et le réelzest appelé cote deMdans le repère(O,!i,!j,!k). Enfin, le triplet(x,y,z)est appelé

triplet de coordonnées (cartésiennes) deMdans le repère(O,!i,!j,!k). 2. O ndéfinit, de même ,les coor donnéesd "unv ecteur !ude l"espace, dans la base(!i,!j,!k), comme l"unique triplet de réels(x,y,z)vérifiant!u=x!i+y!j+z!k. 3.

S i,dans la base (!i,!j,!k),!ua pour coordonnées(x,y,z)et~va pour coordonnées(x0,y0,z0), alors!u+~va pour

coordonnées(x+x0,y+y0,z+z0), et si2R, les coordonnées de!usont(x,y,z). 4.

É tantdonnés deux points AetBde l"espace, de coordonnées respectivement(xA,yA,zA)et(xB,yB,zB)dans

(O,!i,!j,!k), les coordonnées de!ABdans(!i,!j,!k)sont(xBxA,yByA,zBzA)(pour s"en assurer, il suffit

d"écrire!AB=!OB!OA). 5.

L "intérêtde munir l "espaceeuclidien d "unr epèrecar tésienr ésidedans le fait qu "àchaque point (r esp.à chaque

vecteur) de l"espace correspond un unique triplet de réels - et réciproquement. Ainsi, on peut exprimer toutes les

propriétés des points et des vecteurs que l"on considère par des relations algébriques entre leurs coordonnées...

qui ne sont "que" des triplets de réels!ExempleTrajectoire en coordonnées cartésiennes Le pointMsuit une trajectoire dans le repèreR0= O

0,!X0,!Y0,!Z0

OM(t)=x(t)!X0+y(t)!Y0+z(t)!Z0=2

664x(t)

y(t) z(t)3 775
R

0DéfinitionRepère orthogonal, orthonormal

Soit(O,!i,!j,!k)un repère cartésien de l"espace. lorsque les vecteurs!i,!jet!ksont deux à deux orthogonaux.

Lorsque, en outre,jj!ijj=jj!jjj=jj!kjj=1, le repère(O,!i,!j,!k)(respectivement la base)(!i,!j,!k)) est dit(e)

orthonormé(e).2013 - 2014

Xavier PESSOLES4CI 3 : CIN - Cours

Ch 2 : Géométrie dans l"espace - P

Sciences Industrielles

de l"ingénieurRemarqueOn verra que les propriétés liées à l"orthogonalité, aux distances et aux angles s"expriment plus simplement dans un

repère orthonormal que dans un repère plus "quelconque». Ainsi, on se placera souvent dans un repère orthonormé.

2.2 Orientation de l"espace, rep ères(o rthonormés)directs

SoientOun point de l"espace et!iet!jdeux vecteurs orthogonaux et de norme 1. Il existe un unique planPcontenantO,!iet!j. On voit alors que, si l"on cherche un vecteur!kde sorte que(O,!i,!j,!k)soit un repère orthonormé de l"espace, sa

direction est imposée : le vecteur!kdoit être orthogonal au planP. Reste à préciser son sens : pour cela, on a deux possibilités.

On peut, par exemple, choisir!kde sorte que la succession(!i,!j,!k)soit dans la même configuration spatiale que le triplet

(pouce, indexe, majeur)

1de la main droite (dans cet ordre!). Dans ce cas, on dit que le repère(O,!i,!j,!k)estdirect. Dans le

cas contraire, le repère est ditindirectourétrograde. Par ce choix (arbitraire) de classer les repères orthonormés de l"espace en

deux catégories (directs ou indirects), on dit qu"on aorientél"espaceE.Remarque1.O npeut également définir la notion de r epèredir ectsans que la base associée soit nécessair ementor thonormée:

un repère cartésien(O,!i,!j,!k)est dit direct lorsque(!i,!j,!k)est dans la même configuration spatiale

que le triplet (pouce, indexe, majeur)... qui peuvent être disposés sans former des directions nécessairement

perpendiculaires les unes aux autres. Un repère est dit rétrograde lorsqu"il n"est pas direct.

Dans le premier cas, on dit que le triplet de vecteurs(!i,!j,!k)est unebase directe, et dans le second, que c"est

unebase indirecteourétrograde. 2.

S ignalonsque l "orientationde l "espacen "induitpas d "orientationpar ticulièred "unplan de cet espace .P our

orienter un planP, il suffit d"orienter une droiteDorthogonale àP, en choisissant un vecteur!kunitaire deD

(il y a deux possibilités) : une base orthonormale(!i,!j)dePsera dite directe pour l"orientation définie par!k

lorsque la base(!i,!j,!k)est directe dans l"espace. On dit alors qu"on a orienté le planPpar le vecteur normal!k.

2.3

Exemple

Considérons le cas d"un micromoteur de modélisme modélisé par son schéma cinématique minimal.1. Le pouce et l"index étant totalement "déployés", tandis que le majeur est levé à la verticale de la paume.

2013 - 2014

Xavier PESSOLES5CI 3 : CIN - Cours

Ch 2 : Géométrie dans l"espace - P

Sciences Industrielles

de l"ingénieurEn isolant le bâti 0, il est possible de lui associer un repère orthonormé R

0€A,!x0,!y0,!z0Š.

On a !AD=xD!x0+yD!y0.

On remarque que le pointA

appartient à la fois aux solides 0 et 1.2013 - 2014

Xavier PESSOLES6CI 3 : CIN - Cours

Ch 2 : Géométrie dans l"espace - P

Sciences Industrielles

de l"ingénieurOn isole le piston 3 et on lui associe la base orthonormée directe R

3€C,!x3,!y3,!z3Š.

Les pièces 0 et 3 sont en liaison pivot glissant d"axe !y0.!y0et!y3 ayant même direction, même sens et même norme, on a!y0=!y3. En revanche, les pièces 0 et 3 pivotent l"une par rapport à l"autre autour de l"axe !y0. On a Où(t)est un angle en radian ettest le temps en secondes. 2.4 Co ordonnéescylindriques DéfinitionCoordonnées polaires Soit(O,!i,!j)un repère orthonormé direct du plan euclidien orienté. Pour tout2R, on pose : (!u()=cos()!i+sin()!j !v()=sin()!i+cos()!j Le couple(!u(),!v())est appelé base polaire associée à l"angle.

Le triplet(O,!u(),!v())est appelé repère polaire associé à l"angle.DéfinitionSystème de coordonnées polaires

Soit(O,!i,!j)un repère orthonormé direct du plan euclidien orienté.

Pour tout pointMdu plan, on appelle systèmes de coordonnées polaires deMdans(O,!i,!j)tout couple(r,)de

réels vérifiant!OM=r!u().ExempleTrajectoire en coordonnées polaires

Le pointMsuit une trajectoire dans le repèreR=

O,!i,!j

OM(t)=(t)!er=(t)cos(t)!i+(t)sin(t)!j2013 - 2014

Xavier PESSOLES7CI 3 : CIN - Cours

Ch 2 : Géométrie dans l"espace - P

Sciences Industrielles

de l"ingénieurRemarque1.C ontrairementau système de coor donnéesd "unpoint dans un r epèrecar tésien,les coor donnéesqui viennent

d"être définies ne sont pas uniques. 2.

S oitMunpointduplandecoordonnéescartésiennes(x,y)dans(O,!i,!j)etdecoordonnéespolaires(r,)dans

ce même repère. On a alors : x=rcos y=rsinDéfinitionCoordonnées cylindriques Soit(O,!i,!j,!k)un repère orthonormé de l"espace, etMun point de l"espace. On appellesystème de coordonnées cylindriques de Mtout triplet(r,,z)de réels vérifiant :

1.zest la cote deMdans le repère(O,!i,!j,!k);

2.(r,)est un système de coordonnées polaires dans le repère(O,!i,!j)du projeté orthogonal deMsur le plan

(xOy).Exemple

Remarque1.C escoor donnéessont par ticulièrementadaptées pour étudier un point d "uncylindr e...d "oùleur nom.

2. S ile point Ma pour coordonnées cartésiennes(x,y,z)dans(O,!i,!j,!k)et(r,,z)pour coordonnées cylindriques, alors on a : x=rcos() y=rsin() 3.

C ommeles coor donnéespolair esdans le plan, les coor donnéescylindr iquesne sont pas uniques .P lus

par exemple.2013 - 2014

Xavier PESSOLES8CI 3 : CIN - Cours

Ch 2 : Géométrie dans l"espace - P

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de l"ingénieurExempleOn donne un paramétrage partiel (voir chapitre 3) du micro moteur.

On note :

l"angle permettant de passer du repèreR0au repèreR1; l"angle permettant de passer du repèreR1au repèreR2; l"angle permettant de passer du repèreR2au repèreR3.

Exprimer :

le v ecteur !y1dans le repèreR0; le v ecteur !y2dans le repèreR0; le v ecteur !z3dans le repèreR0; le v ecteur !z1dans le repèreR3. 2.5 Co ordonnéessphériques DéfinitionCoordonnées sphériques Soit(O,!i,!j,!k)un repère orthonormé de l"espace, etMun point de l"espace. On appellesystème de coordonnées cylindriques de Mtout triplet(r,,')de réels vérifiant :

1.est une mesure dans[0,]de l"angle non orienté(!k,!OM);

2.(rsin(),')est un système de coordonnées polaires dans le repère(O,!i,!j)du projeté orthogonal deMsur le

plan(xOy).Exemple

2013 - 2014

Xavier PESSOLES9CI 3 : CIN - Cours

Ch 2 : Géométrie dans l"espace - P

Sciences Industrielles

de l"ingénieurRemarque1.C escoor donnéessont par ticulièrementadaptées pour étudier un point d "unesphèr e.E npar ticulier,jrj=jj!OMjj.

2.est appelée lacolatitude,'lalongitudeet2

lalatitudedu pointM. 3. S ile point Ma pour coordonnées cartésiennes(x,y,z)dans(O,!i,!j,!k)et(r,,')pour coordonnées sphériques, alors on a : 8 :x=rsin()cos(') y=rsin()sin(') z=rcos() 3

Pro duitscalaire

3.1 Pro duitscalaire de deux vecteurs DéfinitionProduit scalaire

Soient

!uet!vdeux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de!uet!vet on note le réel!u!vle réel :

u!v=8 :jj!ujjjj!vjjcos^!u,!v si!uet!uson non nuls 0 si !u=!0 ou!v=!0RemarqueLe résultat d"un produit scalaire est unnombre réel.

On a, en particulier, pour tout vecteur

!udu plan!u!u=jj!ujj2PropositionSoient !uet!vdeux vecteurs du plan.!uet!vsont orthogonaux si et seulement si!u!v=0 3.2

F ormebilinéaire symétrique définie p ositivePropositions1.P ourtout couple (!u,!v)de vecteurs du plan!u!v=!v!u.

2. (a) P ourtout tr iplet(!u,!v1,!v2)de vecteurs du plan, et pour tout couple(,)de réels on a : u€!v1+!v2Š=!u!v1+!u!v2 (b) P ourtout tr iplet(!u1,!u2,!v)de vecteurs du plan, et pour tout couple(,)de réels on a :

€!u1+!u2Š!v=!u1!v+!u2!v

3.

P ourtout v ecteur

!udu plan,!u!u0, et, de plus,!u!u=0 si et seulement si!u=!0 .2013 - 2014

Xavier PESSOLES10CI 3 : CIN - Cours

Ch 2 : Géométrie dans l"espace - P

Sciences Industrielles

de l"ingénieur 3.3

Exp ressiondu p roduitscalaire de deux vecteurs en base o rthonorméePropositionSoient(O,!i,!j,!k)un repère orthonormé de l"espace,!uet!vdeux vecteurs de l"espace, et(x,y,z)et(x0,y0,z0)

leurs coordonnées respectives dans(!i,!j,!k).

Alors :

!u!v=xx0+yy0+zz0CorollaireSoient(O,!i,!k,!k)un repère orthonormé de l"espace,!uun vecteur de l"espace,AetBdeux points de l"espace,

de coordonnées respectives(x,y,z),(xA,yA,zA)et(xB,yB,zB)dans(O,!i,!j,!k).

Alors on a :

jj !ujj=px

2+y2+z2etAB=p(xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2.

4

Pro duitvecto riel

Dans cette partie, on suppose que l"espaceEest orienté. 4.1 Pro duitvecto rielde deux ve cteursDéfinitionProduit vectoriel de deux vecteurs

Soient

!uet!vdeux vecteurs de l"espaceEorienté.

On appelle produit vectoriel de

!uet!vle vecteur de l"espace, noté!u^!v, et défini par : u^!v=8 !ksi!uet!vne sont pas colinéaires !0 sinon où !kestunvecteurde norme1,perpendiculaireau(x)plan(s)défini(s)par!uet!vettelque(!u,!v,!k)formeune

base directe de l"espace.RemarqueLe résultat du produit vectoriel est unvecteur. Comme tout vecteur il est caractérisé par :

son sens : dans le sens de !k; sa dir ection: dir ectionde !k; !uet!vdeux vecteurs de l"espace. 1. !uet!vsont colinéaires si et seulement si!u^!v=!0 ; 2.quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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