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CAPES

CollectionSession 2011

Cl

´ement BOULONNE

http://clementboulonne.new.fr/Les lec¸ons de math

´ematiques`a

l"oral du CAPES

Proposition de plan et r

´ef´erences

bibliographiquesLicence Creative Commons BY: $n C 1 2 LES LEC¸ONS DE MATH´EMATIQUES`A L"ORAL DU CAPES

Table des mati

`eresL"ensemble de l" ´epreuve s"inscrit dans le cadre des programmes de math´ematiques du coll `ege, du lyc´ee et des sections de techniciens sup´erieurs. La capacit´e du candidat`a illustrer le sujet par des exemples sera valoris

´ee.

1 R ´esolution de probl`emes`a l"aide des graphes11

2 Techniques de d

´enombrement21

3 Coefficients binomiaux

25
4 Exp

´erience al´eatoire et probabilit´es31

5 Variable al

´eatoire discr`ete39

6 Loi binomiale, loi de Poisson, loi normale

45

7 Variable al

´eatoire r´eelle`a densit´e51

8 Statistique descriptive

`a une variable57 9 S ´eries statistiques`a deux variables num´eriques63

10 Estimation69

11 Multiples, diviseurs, division euclidienne

75

12 PGCD, PPCM de deux entiers naturels

79
13

´Egalit´e de B´ezout83

14 Nombres premiers

91

15 Congruences dansZ97

16

´Equations du second degr´e103

17 Module et argument d"un nombre complexe

109

18 Transformations planes et nombres complexes

117

19 Exemples d"utilisation des nombres complexes

123

20 Alg

`ebre lin´eaire en section de technicien sup´erieur133

21 Proportionnalit

´e et lin´earit´e143

22 Pourcentages147

23 Syst

`emes d"´equations et syst`emes d"in´equations151

24 Droites du plan

161

25 Droites et plans de l"espace

169

26 Droites remarquables du triangle

175

TABLE DES MATI

`ERES3

27 Le cercle181

28 Solides de l"espace

187

29 Barycentre195

30 Produit scalaire

203
31 Th

´eor`eme de Thal`es211

32 Trigonom

´etrie217

33 Relations dans un triangle

229

34 Produit vectoriel, produit mixte

237

35 Homoth

´eties et translations243

36 Isom

´etries planes261

37 Similitudes planes

273

38 Probl

`emes de constructions g´eom´etriques287

39 Probl

`emes de lieux g´eom´etriques299

40 L"orthogonalit

´e307

41 Suites monotones

315

42 Convergence de suites r

´eelles321

43 Suites arithm

´etiques, suites g´eom´etriques327

44 Croissance compar

´ee de suites333

45 Suites r

´ecurrentes339

46 Probl

`emes conduisant`a l"´etude de suites351

47 Limite d"une fonction r

´eelle de variable r´eelle363

48 Th

´eor`eme des valeurs interm´ediaires373

49 D

´erivabilit´e381

50 Fonctions polyn

ˆomes du second degr´e393

51 Fonctions logarithmes

401

52 Fonctions exponentielles

413

53 Croissance compar

´ee de fonctions r´eelles419

54 Courbes planes d

´efinies par des´equations param´etriques427

55 Int

´egrales, primitives437

4 LES LEC¸ONS DE MATH´EMATIQUES`A L"ORAL DU CAPES

56 Techniques de calcul d"int

´egrales451

57

´Equations diff´erentielles457

58 Probl

`emes d"´equations diff´erentielles465

59 Probl

`emes conduisant`a l"´etude de fonctions473 60 D

´eveloppements limit´es491

61 S

´eries num´eriques499

62 S

´eries de Fourier505

63 Transformation de Laplace

515

64 Courbes de B

´ezier527

65 Exemples d"

´etudes de courbes537

66 Aires549

67 Exemples d"algorithmes

563

68 Exemples d"utilisation d"un tableur

579

69 Les diff

´erents types de raisonnement en math´ematiques587

70 Applications des math

´ematiques`a d"autres disciplines593

TABLE DES MATI

`ERES5 6 LES LEC¸ONS DE MATH´EMATIQUES`A L"ORAL DU CAPES

Un mot de l"auteur

Bonjour,

Je suis heureux de vous pr

´esenter mon travail des grandes-vacances 2011. Le projet a d´ebut´e fin mai pour se terminer le 11 ao ˆut. Apr`es une semaine de correction intense, le voici sur mon site personnel :http://clementboulonne.new.fr.

En quelques mots, ce polycopi

´e est une s´election de cours trouv´es sur Internet ou sur des livres et qui traitent des sujets des 70 lec¸ons demand ´ees`a la premi`ere´epreuve orale du CAPES externe de math ´ematiques, session 2010-2011. Le document que je vous pr´esente vous permet donc de r

´eviser cette´epreuve sans fouiller intens´ement le web ou dans vos livres. Dans chaque lec¸on, je

vous propose un plan et le contenu des notions `a traiter dans la lec¸on.

Je vous laisse quand m

ˆeme travailler chacune des lec¸ons. Pourquoi? 1. Certaines lec ¸onsont beaucoup de contenu !Je vous pr

´ecise que votre passage devant le jury

dure 30 minutes (15 minutes pour pr ´esenter tout votre plan, vous y mettrez les titres des sections, les d ´efinitions les plus importantes, les´enonc´es des th´eor`emes et l"´enonc´e d"un exercice et 15 minutes o `u le jury demande de d´evelopper une partie du plan propos´e au tableau : une d ´emonstration d"un th´eor`eme ou les solutions d"un exercice). Donc`a vous de faire des fiches avec le contenu des 30 premi `eres minutes de votre intervention. 2.

V ouspouvez compl

´eter (mˆeme si les lec¸ons sont d´ej`a compl`etes) le contenu des lec¸ons que je vous propose par d"autres documents (livres, documents sur internet). A vous de chercher! 3. La meilleure fac ¸onde travailler est d"aller voir ,dans chaque lec ¸on,les r

´ef´erences bibliogra-

phiques et faire ses propres fiches avec les contenus des polycopi

´es propos´es.

Il se peut qu"une partie d"une lec¸on se retrouve dans une autre lec¸on (voir plusieurs lec¸ons) :

c"est parce qu"elle r ´epond au th`eme de la lec¸on. Encore une fois, si vous voulez d"autres exemples ou - carr

´ement - un autre plan pour la lec¸on, n"h´esitez pas`a y r´efl´echir et`a chercher sur le web ou

dans vos livres personnels.

On remarquera que chaque lec¸on est divis

´ee en deux parties distinctes : Contenu et Compl´ements.

J"ai voulu s

´eparer le plus possible la premi`ere partie de l"intervention (pr´esentation du plan) et la deuxi

`eme partie (d´eveloppement du plan). Peut-ˆetre que cela vous d´eroutera car les d´emonstrations

ne sont pas en dessous des th

´eor`emes.

Le polycopi

´e n"est pas parfait (car la perfection n"est pas de ce monde) alors - surtout! - si vous trouvez une erreur de frappe ou math ´ematique dans ce polycopi´e, n"h´esitez pas`a me contacter (Rubrique Contact de mon site).

Il ne me reste plus qu"

`a vous souhaiter bonne lecture et bonnes r´evisions! Cl

´ement BOULONNE

UN MOT DE L"AUTEUR

7 8 LES LEC¸ONS DE MATH´EMATIQUES`A L"ORAL DU CAPES

Intitul

´e de l"´epreuvePour la premi

`ere´epreuve, dite de lec¸on, le candidat tire au sort une enveloppe contenant deux sujets et il choisit l"un des deux. Il b ´en´eficie de deux heures et demie de pr´eparation. L"´epreuve devant le jury dure une heure. Dans un premier temps (15 minutes maximum), le candidat expose un plan du sujet qu"il a choisi. Ce plan peut comprendre des d ´efinitions, propri´et´es, th´eor`emes, exemples d"application, exercices, etc. Aucune d ´emonstration ne doitˆetre pr´esent´ee`a ce moment-l`a. Dans un second temps (quinze minutes maximum), le candidat d

´eveloppe une partie du plan

choisie par le jury. Ce d ´eveloppement, qui doit permettre au candidat de faire la preuve de saquotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

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