[PDF] LECON 29 Oral 1 CAPES Maths 2008.

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Oral 1 CAPES Maths 2008 L 29

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LECON 29

Définition et propriétés du produit scalaire dans le plan. Expression dans une base orthonormale. Application au calcul de distances et d"angles.

Pré requis :

Distance et norme Projection orthogonale sur une droite Base orthonormale Cosinus d"un angle Vecteur normal d"une droite

Cadre :

On considère un plan affine euclidien P et le plan vectoriel associé ÅP, muni d"une base (

Åi,Åj) permettant de définir des normes.

Introduction : Le produit scalaire a de nombreuses applications en mathématiques comme en physique. Il est par exemple utile pour calculer le travail d"une force, donné par la relation : W = ÅF.Ål Exemple : déplacement horizontalement un chariot du point M0 au point M1. W = ║ ║ÅF ║ ║ÄM0M1 cos θ . Un travail est dit moteur s"il est positif : θ ☻ ???0 ; π 2 et résistant s"il est négatif : θ ☻

2 ;π

I. Produit scalaire de deux vecteurs :

Définition 1 : Soient ÅU, ÅV ☻ ÅP. On appelle produit scalaire de ÅU par ÅV le nombre noté ÅU.ÅV

tel que : ÅU.ÅV = ???║ ║ÅU║ ║ÅVcos( )ÅU,ÅV si ÅU et ÅV sont non nuls

0 sinon

Cas particulier de deux vecteurs colinéaires :

De même sens alors ÅU.ÅV =║ ║ÅU.║ ║ÅV De sens opposé alors ÅU.ÅV =-║ ║ÅU.║ ║ÅV.

Définition 2 : ┐ ÅU☻ ÅP, ÅU.ÅU est appelé carré scalaire de ÅU, noté ÅU2.

Remarque: ┐ ÅU☻ ÅP, ÅU.ÅU = ÅU2 = ║ ║ÅU2. F M1 M0

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Démonstration:

On sait que si ÅU et ÅV sont colinéaires et de même sens alors ÅU.ÅV = ║ ║ÅU.║ ║ÅV

Ainsi

ÅU.ÅU=

║ ║ÅU.║ ║ÅU=║ ║ÅU2. Proposition 1 : Soient ÅU, ÅV☻ ÅP\{0} tels que ÅU=ÄOA et ÅV=ÄOB. Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite (OA).

Alors ÅU.ÅV=ÄOA.ÄOB=?????

OAxOH si ÄOA et ÄOH sont de même sens

-OAxOH si

ÄOA et ÄOH sont de sens contraires

Démonstration: On a deux configurations possibles:

1er cas : ÅU.ÅV = ÄOA.ÄOB =║ ║ÄOA.║ ║ÄOAcos θ

or dans le triangle OHB est rectangle en H, on a : cos θ = OH OB d"où

ÅU.ÅV =OA.OB.

OH

OB = OA.OH

2ème cas : ÅU.ÅV=ÄOA.ÄOB = ║ ║ÄOA.║ ║ÄOAcos θ

or dans le triangle OHB est rectangle en H, on a : cos (π - θ ) = - cos θ = OH OB d"où

ÅU.ÅV =OA.OB.

)))- OH

OB = - OA.OH

Théorème 1 : Deux vecteurs ÅU et ÅV sont orthogonaux si et seulement si ÅU.ÅV = 0.

Démonstration:

Si ÅU et ÅV non nuls alors ÅU.ÅV =║ ║ÅU.║ ║ÅV.cos (ÅU,ÅV)

Comme ║ ║ÅUÞ0 et ║ ║ÅVÞ0 on a : U.ÅV =0 ñ cos (ÅU, ÅV)=0 ñ (ÅU, ÅV) =

2 +kπ avec k☻Î ñ ÅU ┴ ÅV.

II. Propriétés du produit scalaire :

Théorème 4 : Le produit scalaire est:

1. symétrique : ┐ ÅU, ÅV ☻ ÅP, ÅU.ÅV = ÅV.ÅU

2. bilinéaire : ┐ ÅU, ÅV, ÅW ☻ ÅP, ÅU. (ÅV+ÅW)=ÅU.ÅV +ÅU.ÅW

et ┐ λ☻Ë, λ(ÅU.ÅV)=ÅU. (λÅV).

3. définie : ┐ ÅU ☻ ÅP, ÅU.ÅU = 0 ñ ÅU=0.

4. positive : ┐ ÅU ☻ ÅP, ÅU.ÅU Ã 0.

V 0H A B VU A H 0 B U

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Démonstration:

1. ÅU.ÅV =║ ║ÅU║ ║ÅVcos (ÅU,ÅV) = ÅV.ÅU

2. Si ÅU, ÅV ou ÅW sont nul c"est trivial, on suppose qu"il sont non nuls et on pose :

OA =ÅU, ÄOB = ÅV, = ÅW et ÄOD = ÅV + ÅW Soient B", C" et D" les projetés othogonaux respectif de B, C et D sur (OA). U.(ÅV + ÅW) = ÄOA.ÄOD = ¯OA. OD′

U.ÅV +ÅU.ÅW =¯OA.OB′

+ ¯OA.OC′ = ¯OA (OB′ +OC′) or ÄOB = ÄCD donc ÄOB′ = ÄC′D′ ainsi ÅU.ÅV + ÅU.ÅW =¯OA ( ÄC′D′ + OC′ ) = ¯OA . OD′

3. ÅU.ÅU = 0 ñ ÅU2=0 ñ ÅU= 0.

4. ÅU.ÅU = ÅU2 = ║ ║ÅU2 Ã0.

Proposition 2 : ┐ ÅU, ÅV ☻ ÅP, ║ ║ÅU+ÅV2 = ║ ║ÅU2+║ ║ÅV2+ 2.ÅU.ÅV

Démonstration:

║ ║ÅU+ÅV2= ( ÅU+ÅV ).( ÅU+ÅV ) = ÅU.ÅU + ÅU.ÅV + ÅV.ÅU + ÅV.ÅV or ÅU.ÅV =ÅV.ÅU

║ ║ÅU2 + ║ ║ÅV2+ 2.ÅU.ÅV Corollaire 1 : ┐ ÅU, ÅV ☻ ÅP, ÅU.ÅV = 1 2 ( ║ ║ÅU+ÅV2-║ ║ÅU2-║ ║ÅV2 )

Démonstration:

Immédiat à partir de la proposition 2

Corollaire 2 : ┐ ÅU, ÅV ☻ ÅP, ( ÅU + ÅV ).( ÅU-ÅV )=ÅU

2- ÅV

2

Démonstration:

( ÅU + ÅV ).( ÅU-ÅV )= ÅU.ÅU - ÅU.ÅV + ÅV.ÅU + ÅV.ÅV = ÅU

2-ÅV

2 D" D C" B A O C B"

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Exercice : ABCD est un carré de côté a, les points I et J sont les milieux respectifs de [AB]

et [BC]. Montrer que les droites (DI) et (AJ) sont perpendiculaires.

Démonstration:

Il faut montrer queÄDI.ÄAJ=0, pour cela on a deux méthodes possibles :

1. On choisit le repère orthonormal (A;Åi;Åj), ainsi on en tire les coordonnées des quatre

points : A (0;0) , B (a;0), C (a;a) et D (0;a). I 0+a

2 ; 0+0

2 ie I (())

a

2 ;0 et J (())a; a

2

D"où

ÄDI

a

2 ;-a et ÄAJ (())a; a

2 Ainsi

ÄDI.ÄAJ = a a

2 - a a

2 = a2

2 - a2 2 = 0.

2. Avec la relation de Chasles :

AJ.ÄDI= (ÄAB+ÄBJ)(ÄDA+ÄAI) = ÄAB.ÄDA + ÄAB.ÄAI + ÄBJ.ÄDA + ÄBJ.ÄAI

or

ÄAB.ÄDA = 0 et ÄBJ.ÄAI = 0 d"où ÄAJ.ÄDI= ÄAB.ÄAI + ÄBJ.ÄDA.

De plus,

ÄAB et ÄAI sont colinéaires et de même sens, donc ÄAB.ÄAI= a a 2 = a2 2 de même

ÄBJ.ÄDA = -

a2 2 , d"où ÄAJ.ÄDI= a2 2 - a2 2 = 0.

III. Expression du produit scalaire dans une base

orthonormale (Åi,Åj) :

Théorème 2 : Soient ÅU, ÅV ☻ ÅP de coordonnées respectives (x, y) et (x′, y′) dans une base

orthonormale, alors : ÅU.ÅV = xx′+ yy′. Démonstration: Dans la base orthonormale (Åi,Åj) on a :

U.ÅV = (x.Åi + y.Åj).(x′.Åi+y′.Åj) = xx".Åi.Åi + xy′.Åi.Åj+yx′.Åj.Åi+yy′.Åj.Åj

or par définition : Åi.Åj=Åj.Åi = Å0 , Åi.Åi = ║ ║Åi2=1 et de même Åj.Åj=1 ainsi

ÅU.ÅV =xx′+yy′.

Théorème 3 : Soit ÅU(x, y) dans une base orthonormale, alors ║ ║ÅU=x2+y2.

Démonstration:

D"une part on a : ÅU

2=ÅU.ÅU=xx+yy=x2+y2.

Et d"autre part :

ÅU

2=║ ║ÅU2=x2+y2. ie ║ ║ÅU=x2+y2.

J I D C A B

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- 5 - Exercice : Montrer que cos (a-b) = cos a . cos b + sin a . sin b.

Démonstration:

D"une part on a : ÄOA.ÄOB=ÄOA.ÄOB. cos (ÄOA,ÄOB) = cos (ÄOA,ÄOB) car ║ ║ÄOA=║ ║ÄOB=1 . Or (

ÄOA,ÄOB)=(ÄOA,Åi) +

( )Åi,ÄOB=-( )Åi,ÄOA+( )Åi,ÄOB=- a+b

De plus cos (b-a)=cos (a-b) ,

d"où

ÄOA.ÄOB = cos (a-b).

D"autre part,

ÄOA(cos a; sin a) et ÄOB(cos b; sin b) implique que :

ÄOA.ÄOB =cos a . cos b + sin a . sin b

Finalement, cos (a-b) = cos a . cos b + sin a . sin b

IV. Applications :

1. Dans le triangle :

Théorème 5 : Al Kashi : Dans un triangle ABC, si on appelle a, b, c les longueurs des côtés respectivement opposés aux sommets ÇA, ÇB, ÇC, on a : a2 = b2+ c2 - 2.b.c. cos ÇA

Démonstration:

a2 = BC2=ÄBC2=( ÄBA + ÄAC )2 = ( ÄAC - ÄAB )2 = ÄAC2 + ÄAB2 - 2.ÄAC.ÄAB = AC

2 + AB2 -2.AB.AC cos ÇA = b2+c2 -2bc cos ÇA.

Remarque : Si ABC est rectangle en A, on a cos ÇA = cos (())

2 =0, donc a2= b2+c2

On retrouve ainsi le théorème de Pythagore.

Théorème 6 : de la médiane : Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC],

Alors AB2 + AC2 = 2AI2 + BC2

2 I C B A

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Démonstration:

ÄAB = ÄAI + ÄIB et ÄAC = ÄAI + ÄIC =ÄAI-ÄIB donc AB

2=( )ÄAI+ÄIB2 =AI2 + IB2+ 2ÄAIÄIB (1)

AC

2 =(ÄAI - ÄIB )2 = AI2 + IB2 - 2ÄAIÄIB (2)

(1) + (2) donne : AB

2 + AC2 = AI2 + IB2 +2ÄAIÄIB + AI2 + IB2 - 2ÄAIÄIB

= 2AI

2 + 2BI2

or BI = BC

2 , d"où AB2 + AC2 = 2AI2 + BC2

2 Exercice : Calculer les trois médianes du triangle ABC, sachant que

AB = 3, AC = 4 et

ÇA = 60°.

Démonstration:

Al Kashi : BC2 = AB2 +AC2 - 2. AB.AC cos ÇA = 32 + 42 -2.3.4. cos 60° = 13

Th de la Médiane : AB2 + AC2 = 2.AI2 + BC2

2 3

2 + 42 = 2.AI2 + 13

2 d"où AI

2 = 1

2 (())25- 13

2 = 37

4 , il vient AI = 37

2

Th de la Médiane : BC2 + AC2 = 2.CJ2 + AB2

2

13 + 4

2 = 2.CJ2 + 9

2 d"où CJ

2 = 1

2 49

2 = 49

4 , il vient CJ = 49

2

Th de la Médiane : BC2 + AB2 = 2.BK2 + AC2

2

13 + 9 = 2.BK

2 + 16

2 d"où BK

2 = 1

2 (14) = 7 , il vient BK = 7.

2. Distance d"un point à une droite :

Théorème 7 : Soit A☻P, et Ån☻ÅP\{0}. La droite D passant par A et orthogonale à Ån est

l"ensemble des points M tels que : M☻D ñ ÄAM.Ån =0. K J I B C A

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Démonstration:

D orthogonale à Ån ñ ┐ M ☻ D, ÄAM ┴ Ån ñ ┐ M ☻ D, ÄAM . Ån=0.

Théorème 8 : Soit D la droite d"équation ax+by+c=0 avec (a;b)Þ(0;0). Soit M( )x0;y0 un point du plan, alors : d(M,D) = ax0+by0+c a2+b2

Démonstration:

Soit H le projeté orthogonal de M sur D, H( x

H;yH ) et ÄMH ( xH-xO ; yH-yO )

n(a;b) est un vecteur normal à D, MH=d(M;D)

MH. Ån

= ║ ║ÄMH. ║ ║Ån. cos ( ÄMH, Ån ) or ÄMH et Ån sont colinéaires,

d"où

ÄMH. Ån

= ║ ║ÄMH. ║ ║Ån ñ ║ ║ÄMH=

ÄMH. Ån

║ ║Ån de plus par définition d"une distance d"un point à une droite, ║ ║ÄMH = d(M,D) il vient : d(M,D) =

ÄMH. Ån

║ ║Ån = 1 a2+b2 a( xH - xO) + b( yH - yO ) 1 a2+b2 axH + byH - (axO + byO) . or : ax

H + byH = - c ð d(M,D) = ax0+by0+c

a2+b2

3. Calcul d"angles :

La définition 1 ainsi que le théorème d"Al Kashi se prêtent aisément à des calculs d"angles

géométriques. cos (Åu,Åv) =

Åu.Åv

║ ║Åu.║ ║Åv et cos ÇA = b2+c2-a2 2bc H M n Dquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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