[PDF] MPSI - Mécanique I - Oscillateur harmonique - Régime libre

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MPSI - M´ecanique I - Oscillateur harmonique - R´egime librepage 1/4Oscillateur harmonique -R´egime libreL"importance de l"oscillateur harmonique `a un degr´e de libert´e en physique

justifie qu"on lui consacre un chapitre.Table des mati`eres1 Oscillateur harmonique1

2 Oscillations libres1

2.1 Pulsation propre - Isochronisme des oscillations . . . . . . . 1

2.2 ´Etude ´energ´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Oscillations libres amorties2

3.1 Temps de relaxation - Facteur de qualit´e . . . . . . . . . . . 2

3.2 R´egime pseudo-p´eriodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3.3 R´egime ap´eriodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.4 R´egime critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.5

´Etude ´energ´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Oscillateur harmoniqueOn appelle oscillateur harmonique tout syst`eme `a un degr´e delibert´e dont

l"´evolution au cours du temps (en l"absence d"amortissement et d"excita- tion) est r´egi par l"´equation diff´erentielle suivante : d 2x dt2+ω20x= 0 quelle que soit la nature physique de la variablex. L"oscillateur harmonique ´evolue dans un puit de potentiel de type parabo- lique : soit E p(x) =Ep(0) +1 2kx2 soit E p(x)?Ep(0) +12kx2 au voisinage d"une position d"´equilibre stable (voir cours pr´ec´edent). L"oscillateur harmonique est soumis `a une force de rappel proportion- nelle `ax:

F=-dEp

dx=-kx

2 Oscillations libres2.1 Pulsation propre - Isochronisme des oscillations

x(t) =xmcos(ω0t+?) x(t) =-xmω0sin(ω0t+?) =v(t) x met?sont d´etermin´es par les conditions initiales.

Six(0) =x0etv(0) =v0alors

?x m=? x20+?v0

ω0?

2 tan?=-v0

ω0x0

La p´eriodeT0=2π

ω0est ind´ependante des conditions initiales; c"est une propri´et´e importante de l"oscillateur harmonique appel´eeisochronismedes oscillations. Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

MPSI - M´ecanique I - Oscillateur harmonique - R´egime librepage 2/42.2´Etude ´energ´etique

E m=Ec+Ep=1

2mx2mω20sin2(ω0t+?) +1

2kx2mcos2(ω0t+?) =1

2kx2m

Calculons la valeur moyenne deEp

?Ep?=1 T? T 0 E p(t)dt=kx2m

2?cos2(ω0t+?)?=kx2m

4 de mˆeme ?Ec?=kx2m 4 Pendant le mouvement, il y a ´equipartition, en moyenne, desformes cin´e- tique et potentielle de l"´energie. ?Ep?=?Ec?=Em 2

3 Oscillations libres amorties3.1 Temps de relaxation - Facteur de qualit´eAvec amortissement, l"´equation diff´erentielle devient

m¨x=-kx-hx que l"on met sous la forme

¨x+ 2αx+ω20x= 0

avec 2α=h metω20=k m, ou encore

¨x+x

τ+ω20x= 0

o`uτest une constante ayant la dimension d"un temps qui est appel´eetemps de relaxationde l"oscillateur,ω0´etant sapulsation propre. Pour d´ecrire l"oscillateur amorti, on peut pr´ef´erer au couple (ω0,τ) le couple (ω0,Q),Q´etant un param`etre sans dimension appel´efacteur de qualit´e d´efini par

Q=ω0τ= 2πτ

T0=ω0

2α=mω0

h

Une solution en exp(rt) existe si

r

2+ 2αr+ω20= 0

Suivant le signe du discriminant r´eduit, plusieurs r´egimes sont possibles ?=α2-ω20

3.2 R´egime pseudo-p´eriodique

Si les frottements sont faibles alorsα < ω0,Q >12et Δ?<0 x(t) = e-αt(AcosΩt+BsinΩt) en introduisant la pseudo-pulsation Ω telle que Ω

2=ω20-α2(Δ?=-Ω2=

(iΩ)2etr=-α±iΩ). x=-αe-αt(AcosΩt+BsinΩt) + e-αtΩ(-AsinΩt+BcosΩt) x(0) =A=x0 x(0) =-αA+ ΩB=v0 x(t) = e-αt(x0cosΩt+v0+αx0

ΩsinΩt)

Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007 MPSI - M´ecanique I - Oscillateur harmonique - R´egime librepage 3/4 Une telle ´evolution de retour vers un ´etat permanent est qualifi´ee de relaxation; ce retour se fait au bout de quelquesτ.

T=2π

Ω=T0

1-?α

ω0?

2=T0 1-1

4Q2est lapseudo-p´eriode.

La d´etermination exp´erimentale deδ= ln?x(t) x(t+T)? appel´ed´ecr´ement logarithmiquepermet de calculer le facteur de qualit´e

δ=αT=ω0T

2Q=π

?Q2-1 4

3.3 R´egime ap´eriodique

Si les frottements sont importants alorsα > ω0,Q <1

2et Δ?>0

x(t) = e-αt(AcoshΩ?t+BsinhΩ?t) avec Ω ?2=α2-ω20(r=-α±Ω?). x=-αe-αt(AcoshΩ?t+BsinhΩ?t) + e-αtΩ?(AsinhΩ?t+BcoshΩ?t) ?x(0) =A=x0 x(0) =-αA+ Ω?B=v0 x(t) = e-αt(x0coshΩ?t+v0+αx0

Ω?sinhΩ?t)

3.4 R´egime critique

Siα=ω0,Q=1

2et Δ?= 0

x(t) = e-αt(At+B) Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007 MPSI - M´ecanique I - Oscillateur harmonique - R´egime librepage 4/4(r=-α). x=-αe-αt(At+B) + e-αtA?x(0) =B=x0 x(0) =-αB+A=v0 x(t) = e-αt((v0+αx0)t+x0) Le r´egime critique n"est jamais r´ealis´e physiquement exactement. 3.5

´Etude ´energ´etique

dE m dt=Pnc=-hv2<0 Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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