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Définition 1.3 – Soient A et B deux sous-ensembles d'un ensemble E. L'ensemble. {x



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En fait seule nous intéresse la réalisation de A à l'intérieur de B c'est-à-dire A ? B par rapport à B Ceci justifie la définition suivante DÉFINITION 8 — 

  • Comment calculer à ? B ?

    Cette formule s'écrit aussi : P(A?B)=P(A)×PA(B). Cette expression s'obtient à partir de la formule initiale en multipliant chacun des membres par P(A).

  • Comment calculer l'événement A et B ?

    L'événement "A ou B", noté A ? B, est réalisé lorsqu'au moins l'un des deux événements est réalisé. Théorème : Si A et B sont deux événements d'une expérience aléatoire, alors : P(A ? B) = P(A) + P(B) ? P(A ? B)

  • C'est quoi union et intersection ?

    L'intersection indique ce qui est à la fois une chose ET une autre. Son signe est « ? » et se prononce « inter ». L'union indique ce qui peut être soit une chose soit une autre, soit les deux à la fois. Son signe est « ? » et se prononce « union ».
  • 1B. 2Une probabilité représente le nombre de cas favorables divisés par le nombre de cas possibles : 3+ 4P(A sachant B) = P(AnB) 5On peut partitionner un ensemble en plusieurs sous-ensembles. 6* 0,8. 7P(A/B) =

Chapitre1

Ensemblesetsous-ensembles

1.Notiond'ensemble-Elementd'unensemble

Notations

x2fxg(etpasx=fxg). E

0=fx2Njx4g(etonaaussiE0=f0;1;2;3;4g).

2.Relationd'inclusion

Denition1.1{SoientAetBdeux

ensembles.OnditqueAestinclusdans

BsichaqueelementdeAestunelement

deB:OnnoteAB.Onditaussi\A estcontenudansB"ou\Aestunepar- tiedeB"ou\Aestunsous-ensemble deB". AB AB

Remarques-AA

SiABetBC,alorsAC

A=Bsietseulementsi(ABetBA).

re

Intersectionetreunion

Exemples-NZQ

fx2Rj0Montrerque(ABsietseulementsiP(A)P(B)).

3.Intersectionetreunion

SiA\B=;,onditqueAetBsontdisjoints.

BA A\BBA A[B

1)A\;=;etA[;=A

2)A\BAetA\BB

3)AA[BetBA[B

4)A[B=AsietseulementsiBA

5)A\B=AsietseulementsiAB

Proprietesde\et[-

1)A[B=B[A

2)A\B=B\A

3)A[(B[C)=(A[B)[C

4)A\(B\C)=(A\B)\C

5)A[(B\C)=(A[B)\(A[C)

6)A\(B[C)=(A\B)[(A\C)

{2{

ENSEMBLESETSOUS-ENSEMBLES

exemple). 4 A

1[A2[:::[An=fxj9i2f1;2;:::;ng;x2Aig

A

1\A2\:::\An=fxj8i2f1;2;:::;ng;x2Aig

1

Simplierleresultatlorsquel'onaAC.

2 elements,montrerqueEenan+mp.

4.Complementaired'unensemble

Denition1.4{SoientEunen-

sembleetAunsous-ensembledeE.

LecomplementairedeAdansEest

l'ensemblefxjx2Eetx62Ag.Onle note{EAouEnAouencorelorsqu'il n'yapasd'ambigutesurE,cA;Acou A. AE EA

1){E({EA)=A

2)ABsietseulementsi({EB)({EA)

3){E(A[B)=({EA)\({EB)

4){E(A\B)=({EA)[({EB)

{3{

Partitions

BA AnBBA AB deBdansA.

AnB=A\Bc.

ABsietseulementsiAnB=;:

4 !Nepasoublierlesparentheses. 2 suivantessontequivalentes: 1)A=B

2)AnB=BnA

3)AB=;

3 toutesequivalentesalapremiere): 1)AB

2)BcAc

3)A\B=A

4)A[B=B

5)AnB=;

6)AB=BnA

5.Partitions

veriees:

1)LeurreunionestegaleaE:E=A1[A2[:::[An

{4{

ENSEMBLESETSOUS-ENSEMBLES

A1A2A3A4

E! l'ensembleE. unepartitiondeE. A

2etA3formentunepartitiondeE.

4

6.Produit

xetd'ordonneey. AB OB A e1 e 224
25
{5{

Produit

AEetBFsietseulementsiABEF:

moinsdesdeuxensemblesestvide. particulier,R:::R| {z} nfacteurs. 2 {6{

EXERCICESD'APPLICATION

Exercicen1

EA;{EB;A\B;A[B;AnB;BnAetAB.

Exercicen2

1)An(BnC)=(AnB)nC

2)A[(BnC)=(A[B)n(A[C)

Exercicen3

AnB=(A[B)nBetAB=(A\Bc)[(Ac\B).

Exercicen4

1)Simplier(AnC)[(BnC)[(A[B)c[C.

2)Simplier(An(Bc[C))[Ac[Bc[C.

Exercicen5

Exercicen6

Lepatronobtiendra-t-illeresultatdemande?

Exercicen7

1)(AC)\(BD)=(A\B)(C\D):

2)(AC)n(BC)=(AnB)C:

Exercicen8

ABouAappartientaP(E)etBappartientaP(F)?

Exercicen9

desreunionsdecertainsdesAi? {7{

Exercicesd'application

INDICATIONSETSOLUTIONSSOMMAIRES

Exercicen2

Exercicen4

OntrouveE.

Exercicen6

parrapporta.

Exercicen7

Oui.

Exercicen8

Exercicen9

15. {8{quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
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