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MPSI - M´ecanique I - Rep´erage d"un point - Vitesse et acc´el´erationpage 1/6Rep´erage d"un point - Vitesse etacc´el´erationTable des mati`eres1 Espace et temps - R´ef´erentiel d"observation 12 Coordonn´ees cart´esiennes1

2.1 Rep´erage d"un point - Vecteur position . . . . . . . . . . . . . .. . 1

2.2 Vecteur vitesse et vecteur acc´el´eration . . . . . . . . . . .. . . . . 2

3 Coordonn´ees curvilignes - Base de Fr´enet 3

3.1 Rep´erage d"un point - Abscisse curviligne . . . . . . . . . . .. . . 3

3.2 Vecteur vitesse et vecteur acc´el´eration . . . . . . . . . . .. . . . . 3

4 Coordonn´ees polaires et cylindriques 3

4.1 Rep´erage d"un point - Vecteur position . . . . . . . . . . . . . .. . 3

4.2 Relations entre param´etrage cylindrique ou polaire etparam´etrage

cart´esien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.3 Vecteur vitesse et vecteur acc´el´eration . . . . . . . . . . .. . . . . 4

5 Coordonn´ees sph´eriques5

5.1 Rep´erage d"un point - Vecteur position . . . . . . . . . . . . . .. . 5

5.2 Relation entre param´etrage sph´erique et param´etrage cart´esien

(voir TD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5.3 Vecteur vitesse et vecteur acc´el´eration (voir TD) . . .. . . . . . . 5

5.4 Coordonn´ees g´eographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

6 Exemples de mouvement5

6.1 Vecteur acc´el´eration constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 5

6.2 Mouvement rectiligne sinuso

¨ıdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6.3 Mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 Espace et temps - R´ef´erentiel d"observation

D"une mani`ere g´en´erale, rep´erer un point, param´etrerun point, nous servira tout au long du cours de Physique. Plus particuli`erement en M´ecanique, rep´erer un point vanous permettre de calculer vitesse et acc´el´eration et de d´ecrire les mouvements. Dans ce chapitre nous ne nous pr´eoccuperons pas encore des causes du mouvement (forces) et nous d´ecrirons les mouvements par rapport `a unr´ef´eren- tiel d"observation, rep`ere (O,ex,ey,ez) + horloge, qui nous permettra, comme nous l"avons rappel´e dans le chapitre pr´ec´edent, de r´epondre aux questions o`u? (espace) et quand? (temps). En m´ecanique classique, le temps est le mˆeme pour tous les observateurs, l"unit´e de temps, la seconde, ´etant d´efini comme 9 192 634 770 p´eriodes de la radiation ´electromagn´etique correspondant `a la transition entre 2 niveaux hyperfins de l"´etat fondamental du c´esium 133. En revanche pour r´epondre `a la question o`u? il existe diff´erents syst`emes de coordonn´ees...

2 Coordonn´ees cart´esiennes

2.1 Rep´erage d"un point - Vecteur position

Pour rep´erer un point, on utilise unrep`ere.

Un rep`ere, c"est uneorigineO et unebase(u,v,w) en g´en´eral orthonorm´ee et droite. (u,v,w) est une base si?V,?(α,β,γ) r´eels tel queV=αu+βv+γw. (u,v,w) est orthonorm´ee si u.v=u.w=v.w= 0 ?u?=?v?=?w?= 1 u?v=w? Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

MPSI - M´ecanique I - Rep´erage d"un point - Vitesse et acc´el´erationpage 2/6Soit la base cart´esienne (ex,ey,ez)

OM x yz ?e x?e y?e z x=

OHx,y=

OHyetz=

OI,coordonn´ees cart´esiennesde M, d´efinissent de fa¸con unique la position de M extr´emit´e duvecteur positionOM=xex+yey+zez Remarque : si l"on repr´esente 2 des 3 vecteurs de la base dansun plan, pour d´eterminer si le 3 eest rentrant ou sortant, on utilise la r`egle des 3 doigts de la

main droite ou la r`egle du tire bouchon.Lorsque M se d´eplace,x,yetzvarient (peuvent varier de-∞`a +∞);x,yet

zsont des fonctions du temps et on devrait ´ecrirex(t),y(t) etz(t).2.2 Vecteur vitesse et vecteur acc´el´erationLorsque M se d´eplace,Hxse d´eplace; on peut associer `aHxune vitessevx:

vitesse moyenne = distance temps=x(t2)-x(t1) t2-t1=x(t+ Δt)-x(t) t+ Δt-t=Δx

Δtvitesse instantan´ee

v x= limΔt→0Δx

Δt=dx

dt enm.s-1o`udx=x(t+dt)-x(t) =vxdtest la variation ´el´ementaire dexquand tvarie dedt→0. dxdtn"est pas seulement une ´ecriture voulant dire je d´erive lafonctionx(t) par rapport au tempst, c"est bien un rapportx(t+dt)-x(t) t+dt-t.

De mˆemevy=dy

dtest la vitesse deHyetvz=dz dtest la vitesse deI. v x,vyetvzd´efinissent levecteur vitesse: v=vxex+vyey+vzez

On utilise aussi la notationdx

dt= x:v= xex+ yey+ zez v=dx dtex+dy dtey+dz dtez=d dt(xex) +d dt(yey) +d dt(zez) =d dt(xex+yey+zez) v=dOM dt

Encore une foisdOM

dtest bien un rapport : dOM=vdt=dxex+dyey+dzez est levecteur d´eplacement ´el´ementaire(pendantdt,Hxse d´eplace dedx, H ydedyetIdedz). On peut aussi associer `aHxune acc´el´erationax=dvx dt=d2x dt2= ¨xen m.s -2et construire levecteur acc´el´eration: a=axex+ayey+azez= ¨xex+ ¨yey+ ¨zez Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

MPSI - M´ecanique I - Rep´erage d"un point - Vitesse et acc´el´erationpage 3/63 Coordonn´ees curvilignes - Base de Fr´enet3.1 Rep´erage d"un point - Abscisse curviligne

?eT?e N On rep`ere le point sur sa trajectoire (courbe orient´ee) par sonabscisse curvi- ligne: s=SM eTeteNforment labase de Fr´enet. e Test le vecteur unitaire tangent `a la trajectoire orient´e selon le sens positif;eN s"obtient en tournant deπ/2 vers l"int´erieur de la concavit´e.

3.2 Vecteur vitesse et vecteur acc´el´eration

v=veT avec v=ds dt a=dv dteT+v2 RceN aT=dv dtest la composante tangentielle de l"acc´el´eration. a N=v2Rcest la composante normale de l"acc´el´eration.

Pourquoia?= veT?

Quand on d´erive (par rapport au temps), il faut toujours faire le point sur ce qui d´epend du temps.v(t) mais aussieT(t)!

Donca=dv

dteT+vdeT dt; en identifiantv2

RceN=vdeT

dtou encore e N=Rc vdeT dt

4 Coordonn´ees polaires et cylindriques

4.1 Rep´erage d"un point - Vecteur position

OM H ?e x?e y?e z?e r ?e r?e ?e r

De la mˆeme mani`ere quex=

OHx,y=

OHyetz=

OId´efinissaient de fa¸con

unique la position de M, lescoordonn´ees cylindriques r=?OH?=OH >0 de 0 `a +∞,

θ= (?ex,OH) de 0 `a 2πet

z=

OIde-∞`a +∞

d´efinissent aussi de fa¸con unique la position de M. Si le mouvement est plan, on utilise lescoordonn´ees polaires(r,θ). Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

MPSI - M´ecanique I - Rep´erage d"un point - Vitesse et acc´el´erationpage 4/6r=cted´efini un cylindre de rayonr(un cercle en coordonn´ees polaires).

θ=cted´efini un demi plan perpendiculaire au plan (ex,ey) (une demi droite en coordonn´ees polaires). z=cted´efini un plan parall`ele au plan(ex,ey). e r,eθetezforment labase cylindrique(ereteθlabase polaire) : e r=OH OH, e θs"obtient en tournant deπ/2 dans le sens desθcroissant, e zest le 3evecteur de la base cart´esienne. Levecteur positions"´ecrit dans la base cylindrique

OM=rer+zez

et dans la base polaire

OM=rer

4.2 Relations entre param´etrage cylindrique ou polaire etpara-

m´etrage cart´esien r=? x2+y2 x=rcosθ tanθ=y x y=rsinθ er= cosθex+ sinθey ex= cosθer-sinθeθ eθ=-sinθex+ cosθey ey= sinθer+ cosθeθ

On remarque en particulier queeθ=der

dθou encore derdt=der dθdθ dt=θeθ

On pourra v´erifier que

deθdt=-θer On peut retenir la r`egle suivante :θ×vecteur obtenu par une rotation deπ/2 dans le sens desθcroissant.

4.3 Vecteur vitesse et vecteur acc´el´eration

r,θ,z, mais aussiereteθd´ependent du temps. v=dOM dt= rer+rder dt+ zez v= rer+rθeθ+ zez v= rer+rθeθen polaire.

Calculons le vecteur acc´el´eration :

a=dv dt= ¨rer+ rder dt+ (rθ+r¨θ)eθ+rθdeθ dt+ ¨zez a= (¨r-rθ2)er+ (2rθ+r¨θ)eθ+ ¨zez ar= ¨r-rθ2est lacomposante radialede l"acc´el´eration. a θ= 2rθ+r¨θest lacomposante orthoradialede l"acc´el´eration. a z= ¨zest lacomposante axiale. Calculons le vecteur d´eplacement ´el´ementaire : dOM=vdt=drer+rdθeθ+dzez Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

MPSI - M´ecanique I - Rep´erage d"un point - Vitesse et acc´el´erationpage 5/65 Coordonn´ees sph´eriques5.1 Rep´erage d"un point - Vecteur position

OM H ?e x?e y?e z?e r ?e

θ?e

?e r Lescoordonn´ees sph´eriques(r,θ,?) d´efinissent de mani`ere unique la position du point M : r=?OM?peut varier de 0 `a +∞

θ= (?ez,OM) peut varier de 0 `aπ

?= (?ex,OH) peut varier de 0 `a 2π Les vecteurser,eθete?constitue labase sph´erique: e r=OM OMe?est obtenu en tournant deπ/2 dans le sens des?croissant `a partir du vecteur OH e

θ=e??er

Levecteur positions"´ecrit dans la base sph´erique :

OM=rer

5.2 Relation entre param´etrage sph´erique et param´etrage cart´e-

sien (voir TD)

5.3 Vecteur vitesse et vecteur acc´el´eration (voir TD)

5.4 Coordonn´ees g´eographiques

(verticale) (sud) (est)

équateur

parallèle méridien longitude latitude OM ?e r ?e

θ?e

6 Exemples de mouvement

6.1 Vecteur acc´el´eration constant

a=cte v=at+A

OM=12at2+At+B

6.2 Mouvement rectiligne sinuso

¨ıdal

OM=xexavec x=xmcosωt

v=-xmωsinωtex a=-xmω2cosωtex=-ω2OM Damien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007

MPSI - M´ecanique I - Rep´erage d"un point - Vitesse et acc´el´erationpage 6/66.3 Mouvement circulaireLe param´etrage polaire est le mieux adapt´e :

OM=Rer

v=Rθeθ a=-Rθ2er+R¨θeθDamien DECOUT - Derni`ere modification : janvier 2007quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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