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DERNIÈRE IMPRESSION LE13 avril 2021 à 12:29

Équations différentielles

Table des matières

1 Équation différentielle linéaire du premier ordre2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Résolution de l"équation incomplète enx. . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Résolution de l"équation homogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Résolution de l"équation linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Résolution de l"équation linéaire à coefficients constants. . . . . . . 5

1.6 Application à la physique : circuit RL et RC. . . . . . . . . . . . . . 5

1.7 Équations se ramenant ày"- ay = b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Équation différentielle linéaire de second ordre7

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Résolution de l"équation homogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Résolution de l"équation linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Application : isochronisme des petites oscillations. . . . . . . . . . 11

PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR

1 Équation différentielle linéaire du premier ordre

1.1 Définition

Définition 1 :On appelle équationdifférentielle linéaire du premier ordre (E) sur un intervalle I, une équation qui peut se mettre sous la forme : (E):y?+a(x)y=b(x) où l"inconnueyest une fonction dexdérivable que l"on cherche à déterminer et oùaetbsont deux fonctions continue sur un intervalle I

Exemples :

•(E1) :y?+1xy=xéquation différentielle du premier ordre. •(E2) :y?=b(x)équation différentielle du premier ordre incomplète eny. •(E3) :y?-2y=0 équation différentielle du premier ordre à coefficient constant sans second membre ou incomplète enx. •(E4) :y?+xy=0 équation différentielle du premier ordre sans second membre ou homogène.

1.2 Résolution de l"équation incomplète enx

Théorème 1 :Les solutions de l"équation différentielley?=b(x)incomplète enysur I sont toutes les fonctionsy:x?→B(x)oùBest une primitive de la fonctionbsur I. Remarque :La résolution de ces équations revient à la recherche d"une primitive debsur I.

Exemple :Les solutions de l"équationy?=1

x+1sur]-1 ;+∞[sont les fonctionsF:x?→ln(x+1) +koùk?R

1.3 Résolution de l"équation homogène

Théorème 2 :Soita(x)une fonction continue sur un intervalle I. Les solutions de l"équation différentielle homogène :y?+a(x)y=0, sont toutes les fonctionsy:x?→ke-A(x), avecAune primitive deasur I etk?R

Démonstration :Par double implications

•Montrons que les fonctions de la formey(x) =ke-A(x)sont solutions de l"équation homogène. y ?(x) +a(x)y(x) =-kA?(x)e-A(x)+a(x)ke-A(x)A?=a=0.

PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR

1.4 RÉSOLUTION DE L"ÉQUATION LINÉAIRE

•Réciproquement, soityune solution de l"équation homogène. Soit la fonctionzdéfinie sur I par :z(x) =y(x)eA(x). On dérive la fonction z: z ?(x) =y?(x)eA(x)+y(x)A?(x)eA(x)A?=a=y?(x)eA(x)+y(x)a(x)eA(x) =eA(x)?y?(x) +a(x)y(x)?y?+a(x)y=0=0 La fonctionzest constante et l"on posez(x) =k, d"oùy(x) =z(x) eA(x)= ke -A(x).

Exemples :

•Les solutions de l"équation 2y?+3y=0?y?+32y=0, sont les fonctionsy(x) =ke-3 2x •Les solutions sur]-1 ;+∞[de l"équation(x+1)y?+y=0?y?+ 1 x+1y=0, sont les fonctionsy(x) =ke-ln(x+1)=kx+1

1.4 Résolution de l"équation linéaire

Théorème 3 :Problème de Cauchy

Soitaetbdeux fonctions continue sur un intervalle I. Soitx0ety0deux réels.

Le système?y?+a(x)y=b(x)

y

0=y(x0)condition initiale

admet une unique fonction solutionysur I Démonstration :SoitAune primitive de la fonctionasur I. Les solutions de l"équation homogène sont les fonctionsx?→ke-A(x),kétant une constante. La méthode de résolution du problème de Cauchy consiste à faire "varier» la constantek. Cette contradiction apparente constitue "l"astuce» de la démonstra- tion. On pose alors :y(x) =k(x)e-A(x). L"équationy+a(x)y=b(x)devient alors : k k k ?(x)e-A(x)=b(x)?k?(x) =b(x)eA(x) kest donc une primitive de la fonctionbeA. Cette primitive existe bien car la fonctionbeAest une fonction continue sur I comme produit et composée de fonc- tions continue sur I. La condition initiale :y0=y(x0)?y0=k(x0)e-A(x0)?k(x0) =y0eA(x0) Le système admet donc une unique solutiony=ke-Atelle quekest la primi- tive debeAqui vérifiek(x0) =y0eA(x0)

PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR

1.4 RÉSOLUTION DE L"ÉQUATION LINÉAIRE

Théorème 4 :Linéarité

Soitaetbdeux fonctions continues sur un intervalle I. SoitAune primitive de la fonctiona. Les solutions de l"équation différentielle (E) :y?+a(x)y=b(x)sont les fonc- tionsytels que :y=ypart+ke-A, oùypartest une solution particulière de l"équation (E) etkun réel. Remarque :Pour trouver toutes les solutions de l"équation (E), il suffit de trou- ver une solution particulière et de lui ajouter la solution générale de l"équation homogène. Pour trouver cette solution particulière on utilisera la méthode de laquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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