[PDF] ANALYSE NUMÉRIQUE ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

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ANALYSE NUMÉRIQUE ET

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Cet ouvrage est un cours d"introduction à la théorie des équations différentielles ordinaires, accompagné d"un exposé détaillé de différentes méthodes numé- riques permettant de les résoudre en pratique. La première partie présente quelques techniques importantes de l"analyse numérique : interpolation polyno- miale, méthodes d"intégration numérique, méthodes itératives pour la résolution d"équations. Suit un exposé rigoureux des résultats de base sur l"existence, l"unicité et la régularité des solutions des équations différentielles, incluant une étude détaillée des équations usuelles du premier et du second ordre, des équa- tions et systèmes différentiels linéaires, de la stabilité des solutions et leur dépendance par rapport aux paramètres. Une place substantielle est accordée à la description des méthodes numériques à un pas ou multi-pas, avec une étude comparative de la stabilité et du coût en temps de calcul. Agrémenté de nom- breux exemples concrets, le texte propose des exercices et des problèmes d"application à la fin de chaque chapitre. Cette troisième édition a été enrichie de nouveaux exemples et exercices et de compléments théoriques et pratiques : comportement des suites itératives, théorème des fonctions implicites et ses conséquences géométriques, critère de maximalité des solutions d"équations différentielles, calcul des géodésiques d"une surface, flots de champ de vecteurs... Cet ouvrage est surtout destiné aux étudiants (licence (L3 fiques, écoles d"ingénieurs, agrégatifs de mathématiques). Les enseignants, professionnels (physiciens, mécaniciens...ont comme outil de base.

Jean-PierreDEMAILLY

Ancien élève de l"Ecole normale supérieure (rue d"Ulm), professeur à l"Université Joseph Fourier de Grenoble, titulair ed"une chaireàl"Institut universitaire de France, Jean-PierreDemaillyest un universitairemaintes fois distingué pour ses travaux de recherche et son rayonne- ment (médaille du CNRS, prix Rivoire, prix du Collège de France, prix scientifique IBM, grand prix de l"Académie des sciences, prix Humboldt). Les étudiants connaissent bien ses qualités pédago- giques. Jean-Pierre Demaillypréside le Groupe de Réflexion Interdisciplinaire sur les Programmes qui milite pour que les savoirs fondamentaux soient au centre des préoccupations de l"école.

GRENOBLESCIENCES

Université Joseph Fourier - BP 53 - 38041 Grenoble Cedex 9 - Tél : (33

COLLECTIONGRENOBLESCIENCES

DIRIGÉE PAR JEAN BORNAREL

J.-P.DEMAILLY

ANALYSE NUMÉRIQUEET ÉQUATIONSDIFFÉRENTIELLES

Jean-PierreDEMAILLY

Nouvelle édition

9 782868 838919

ISBN 2 86883 891 X

29
Analyse numérique - Couv 2/03/06 10:41 Page 1

ANALYSE NUMÉRIQUE

ET

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Grenoble Sciences

Grenoble Sciences poursuit un triple objectif!:

!réaliser des ouvrages correspondant à un projet clairement défini, sans contrainte de mode ou de programme, !garantir les qualités scientifique et pédagogique des ouvrages retenus, !proposer des ouvrages à un prix accessible au public le plus large possible. Chaque projet est sélectionné au niveau de Grenoble Sciences avec le concours de referees anonymes. Puis les auteurs travaillent pendant une année (en moyenne) avec les membres d'un comité de lecture interactif, dont les noms apparaissent au début de l'ouvrage. Celui-ci est ensuite publié chez l'éditeur le plus adapté. (Contact!: Tél.!: (33!: Grenoble.Sciences@ujf-grenoble.fr)

Deux collections existent chez EDP Sciences!:

!laCollection Grenoble Sciences,connuepoursonoriginalitédeprojetsetsaqualité !Grenoble Sciences!-!Rencontres Scientifiques, collection présentant des thèmes de recherche d'actualité, traités par des scientifiques de premier plan issus de disciplines différentes.

Directeur scientifique de Grenoble Sciences

Jean B

ORNAREL, Professeur à l'Université Joseph Fourier, Grenoble 1 Comité de lecture pour Analyse numérique et équations différentielles !M. A

RTIGUE, Professeur à l'IUFM de Reims

!A. D UFRESNOY, Professeur à l'Université Joseph Fourier - Grenoble 1 !J.R. J OLY, Professeur à l'Université Joseph Fourier - Grenoble 1 !M. R OGALSKI, Professeur à l'Université des Sciences et Techniques - Lille 1 Grenoble Sciences bénéficie du soutien du Ministère de l'Éducation nationale, de l'Enseignement supérieur et de la Recherche et de la Région Rhône-Alpes. Grenoble Sciences est rattaché à l'Université Joseph Fourier de Grenoble.

Illustration de couverture : Alice G

IRAUD

ISBN 2-86883-891-X

© EDP Sciences, 2006

ANALYSE NUMÉRIQUE

ET

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Jean-Pierre DEMAILLY

17, avenue du Hoggar

Parc d'Activité de Courtaboeuf - BP 112

91944 Les Ulis Cedex A - France

Ouvrages Grenoble Sciences édités par EDP Sciences

Collection Grenoble Sciences

Chimie. Le minimum à savoir(J.!Le!Coarer)•Electrochimie des solides(C.!Déportes et!al.)•Thermodynamique chimique(M.

!Oturan & M.!Robert)• CD de Thermodynamique chimique (J.P.!Damon & M.!Vincens)•Chimie organométallique(D. !Astruc)•De l'atome à la réaction chimique(sous la direction de R.!Barlet)

Introduction à la mécanique statistique(E.!Belorizky & W.!Gorecki)•Mécanique statistique.

Exercices et problèmes corrigés(E.!Belorizky & W.!Gorecki)•La cavitation. Mécanismes phy-

siques et aspects industriels(J.P.!Franc et al.)•La turbulence(M.!Lesieur)•Magnétisme!:

I!Fondements, II!Matériaux et applications(sous la direction d'E.!du Trémolet de Lacheisserie)•

Du Soleil à la Terre. Aéronomie et météorologie de l'espace(J.!Lilensten & P.L.!Blelly)•Sous

les feux du Soleil. Vers une météorologie de l'espace(J.!Lilensten & J.!Bornarel)•Mécanique.

De la formulation lagrangienne au chaos hamiltonien(C.!Gignoux&B.!Silvestre-Brac)•Pro- blèmes corrigés de mécanique et résumés de cours. De Lagrange àHamilton(C.!Gignoux

&B.!Silvestre-Brac)•La mécanique quantique. Problèmes résolus, T.!1!et!2(V.M.!Galitsky,

B.M.!Karnakov & V.I.!Kogan)• Description de la symétrie.Desgroupes de symétrie aux struc-

tures fractales(J.!Sivardière)• Symétrie et propriétésphysiques. Du principe de Curie aux

brisures de symétrie (J.!Sivardière)

Exercices corrigés d'analyse, T.!1!et!2(D.!Alibert)•Introduction aux variétés différentielles

(J.!Lafontaine)Mathématiques pour les sciences de la vie, de la nature et de la santé(F.!& J.P.!Bertrandias)•Approximation hilbertienne. Splines, ondelettes, fractales(M.!Attéia &

J.!Gaches)•Mathématiques pour l'étudiant scientifique, T.!1!et!2(Ph.J.!Haug)•Analyse sta-

tistique des données expérimentales(K.!Protassov)•Nombres et algèbre(J.Y.!Mérindol) Bactéries et environnement. Adaptations physiologiques(J.!Pelmont)• Enzymes. Catalyseurs du monde vivant(J.!Pelmont)• Endocrinologie et communications cellulaires(S.!Idelman &

J.!Verdetti)• Eléments de biologie à l'usage d'autres disciplines(P.!Tracqui & J.!Demongeot)•

Bioénergétique(B.!Guérin)• Cinétique enzymatique(A.!Cornish-Bowden, M.!Jamin & V. Saks)

• Biodégradations et métabolismes. Les bactéries pour les technologies de l'environnement

(J.!Pelmont) •Enzymologiemoléculaireet cellulaire,T.!1!et 2(J.!Yon-Kahn&G.!Hervé)

La plongée sous-marine à l'air. L'adaptation de l'organisme et ses limites(Ph.!Foster)• L'Asie,

source de sciences et de techniques(M.!Soutif)• La biologie, des origines à nos jours

(P.!Vignais)• Naissance de la physique. De la Sicile à la Chine(M.!Soutif)• Le régime

oméga!3. Le programme alimentaire pour sauvernotre santé(A.!Simopoulos, J.!Robinson, M.!de!Lorgeril & P.!Salen)• Gestes et mouvements justes. Guide de l'ergomotricité pour tous

(M.!Gendrier)• Science expérimentale et connaissance du vivant. La méthode et les concepts

(P.!Vignais, avec la collaboration de P.!Vignais) Listening Comprehension for Scientific English(J.!Upjohn)• Speaking Skills in Scientific English(J.!Upjohn, M.H.!Fries&D.!Amadis)• Minimum Competence in Scientific English (S.!Blattes, V.!Jans & J.!Upjohn)

Grenoble Sciences - Rencontres Scientifiques

Radiopharmaceutiques. Chimie des radiotraceurs et applications biologiques(sous la direc- tion de M.!Comet&M.!Vidal)•Turbulence et déterminisme(sous la direction de M.!Lesieur)•

Méthodes et techniques de la chimie organique(sous la direction de D.!Astruc)• L'énergie de

demain. Techniques, environnement, économie(sous la direction de J.L.!Bobin, E.!Huffer & H.!Nifenecker)• Physique et biologie. Une interdisciplinarité complexe(sous la direction de

B.!Jacrot)

12345671031152

Le pr¥esent ouvrage reprend avec beaucoup de compl¥ements un cours de çLicence

de Math¥ematiquesé ... ex troisi`eme ann¥ee dêUniversit¥e ... donn¥e`a lêUniversit¥ede

Grenoble I pendant les ann¥ees 1985-88. Le but de ce cours ¥etait de pr¥esenter aux ¥etudiants quelques notions th¥eoriques de base concernant les ¥equations et syst`emes

dê¥equations di1¥erentielles ordinaires, tout en explicitant des m¥ethodes num¥eriques

permettant de r¥esoudre e1ectivement de telles ¥equations. Cêest pour cette raison quêune part importante du cours est consacr¥ee `a la mise en place dêun certain nombre de techniques fondamentales de lêAnalyse Num¥erique : interpolation polynomiale, int¥egration num¥erique, m¥ethode de Newton `a une et plusieurs variables. Lêoriginalit¥e de cet ouvrage ne r¥eside pas tant dans le contenu, pour lequel lêauteur sêest inspir¥e sans vergogne de la litt¥erature existante ... en particulier du livre de Crouzeix-Mignot pour ce qui concerne les m¥ethodes num¥eriques, et des livres classiques de H. Cartan et J. Dieudonn¥epourlath¥eorie des ¥equations di1¥erentielles ... mais plut32ot dans le choix des th`emes et dans la pr¥esentation. Sêil est relativement facile de trouver des ouvrages sp¥ecialis¥es consacr¥es soit aux aspects th¥eoriques fondamentaux de la th¥eorie des ¥equations di1¥erentielles et ses applications (Arnold, Coddington-Levinson) soit aux techniques de lêAnalyse Num¥erique (Henrici, Hildebrand), il y a relativement peu dêouvrages qui couvrent simultan¥ement ces di1¥erents aspects et qui se situent `a un niveau accessible pour lê

11honn32ete22¥etudiant de second cycle. Nous avons en particulier consacr¥edeux

chapitres entiers `alê¥etude des m¥ethodes ¥el¥ementaires de r¥esolution par int¥egration

explicite et `alê¥etude des ¥equations di1¥erentielles lin¥eaires `a coe2cients constants,

ces questions ¥etant g¥en¥eralement omises dans les ouvrages de niveau plus avanc¥e.

Par ailleurs, un e1ort particulier a ¥et¥e fait pour illustrer les principaux r¥esultats par

des exemples vari¥es. La plupart des m¥ethodes num¥eriques expos¥ees avaient pu 32etre e1ectivement mises en úuvre par les ¥etudiants au moyen de programmes ¥ecrits en Turbo Pascal ... `aune ¥epoque remontant maintenant `alapr¥ehistoire de lêinformatique. Aujourdêhui, les environnements disponibles sont beaucoup plus nombreux, mais nous recomman- dons certainement encore aux ¥etudiants dêessayer dêimpl¥ementer les algorithmes propos¥es dans ce livre sous forme de programmes ¥ecrits dans des langages de base

6Analyse num´erique et´equations diff´erentielles

comme C ou C++, et particuli`erement dans un environnement de programmation libre comme GCC sous GNU/Linux. Bien entendu, il existe des logiciels libres sp¥ecialis¥es dans le calcul num¥erique qui impl¥ementent les principaux algorithmes utiles sous forme de librairies toutes pr32etes ... Scilab est lêun des plus connus ... mais dêun point de vue p¥edagogique et dans un premier temps au moins, il est bien plus formateur pour les ¥etudiants de mettre vraiment çla main dans le cambouisé en pro- grammant eux-m32emes les algorithmes. Nous ne citerons pas dêenvironnements ni de logiciels propri¥etaires ¥equivalents, parce que ces logiciels dont le fonctionnement intime est inaccessible `a lêutilisateur sont contraires `a notre ¥ethique scientiìque ou ¥educative, et nous ne souhaitons donc pas en encourager lêusage. Lêensemble des sujets abord¥es dans le pr¥esent ouvrage d¥epasse sans aucun doute le volume pouvant 32etre trait¥e en une seule ann¥ee de cours ... m32eme si jadis nous avions pu en enseigner lêessentiel au cours de la seule ann¥ee de Licence. Dans les contenu sur lêensemble des deux ann¥ees du second cycle universitaire. Ce texte est probablement utilisable aussi pour les ¥el`eves dê¥ecoles dêing¥enieurs, ou comme ouvrage de synth`ese au niveau de lêagr¥egation de math¥ematiques. Pour guider le lecteur dans sa s¥election, les sous-sections de chapitres les plus di2ciles ainsi

que les d¥emonstrations les plus d¥elicates sont marqu¥ees dêun ast¥erisque. Le lecteur

pourra trouver de nombreux exemples de trac¥es graphiques de solutions dê¥equations di1¥erentielles dans le livre dêArtigue-Gautheron : on y trouvera en particulier des illustrations vari¥ees des ph¥enom`enes qualitatifs ¥etudi¥es au chapitre X, concernant les points singuliers des champs de vecteurs. Je voudrais ici remercier mes coll`egues grenoblois pour les remarques et am¥elio- rations constantes sugg¥er¥ees tout au long de notre collaboration pendant les trois ann¥ees quêa dur¥e ce cours. Mes plus vifs remerciements sêadressent ¥egalement `aMich`ele Artigue, Alain Dufresnoy, Jean-Ren¥e Joly et Marc Rogalski, qui ont bien voulu prendre de leur temps pour relire le manuscrit original de mani`ere tr`es d¥etaill¥ee. Leurs critiques et suggestions ont beaucoup contribu¥e`a la mise en forme d¥eìnitive de cet ouvrage.

Saint-Martin dêH`eres, le 5 novembre 1990

La seconde ´edition de cet ouvrage a b´en´efici´e d"un bon nombre de remarques et de suggestions

propos´ees par Marc Rogalski. Les modifications apport´ees concernent notamment le d´ebut du

chapitre VIII, o`ulanotiond´elicate d"erreur de consistance a ´et´e plus clairement explicit´ee, et

les exemples des chapitres VI et XI traitant du mouvement du pendule simple. L"auteur tient `a remercier de nouveau Marc Rogalski pour sa pr´ecieuse contribution.

Saint-Martin d"H`eres, le 26 septembre 1996

La troisi`eme ´edition de cet ouvrage a ´et´e enrichie d"un certain nombre de compl´ements th´eoriques et

pratiques : comportement g´eom´etrique des suites it´eratives en dimension 1, th´eor`eme des fonctions

implicites et ses variantes g´eom´etriques dans le chapitre IV ; crit`ere de maximalit´edessolutions

dans le chapitre V ; calcul de g´eod´esiques dans le chapitre VI ; quelques exemples et exercices

additionnels dans les chapitres suivants ; notions ´el´ementaires sur les flots de champs de vecteurs

dans le chapitre XI.

Saint-Martin d"H`eres, le 28 f´evrier 2006

12345671011131213141215161417

20107521141015344722132

201015

Lêobjetdecechapitreestdemettreen¥evidence les principales di2cult¥es li¥ees `a la pratique des calculs num¥eriques sur ordinateur. Dans beaucoup de situations, pr¥ecision des calculs.

741041112131214151116

741714201321413556151722

744164101115202364106

7442110

La capacit¥em¥emoire dêun ordinateur est par construction ìnie. Il est donc

n¥ecessaire de repr¥esenter les nombres r¥eels sous forme approch¥ee. La notation la plus

utilis¥ee `a lêheure actuelle est la repr¥esentation avec virgule îottante : un nombre r¥eelxest cod¥e sous la forme x1±m∑b p o`ubest labase de num´eration,mlamantisse,etplêexposant. Les calculs internes sont g¥en¥eralement e1ectu¥es en baseb=2,m32eme si les r¥esultats a2ch¥es sont

ìnalement traduits en base 10.

La mantissemest un nombre ¥ecrit avec virgule ìxe et poss¥edant un nombre max- imumNde chi1res signiìcatifs (impos¥e par le choix de la taille des emplacements m¥emoires allou¥es au typer´eel) : suivant les machines,msê¥ecrira

€m=0,a

1 a 2 ...a N N k=1 a k b -k ,b -1 2m<1;

€m=a

0 ,a 1 a 2 ...a N-1 01k8Analyse num´erique et´equations diff´erentielles

On notera1=b

1-N cette pr¥ecision relative. En Langage C standard (ANSI C), les r¥eels peuvent occuper ... pour le type

11îoat22, 4 octets de m¥emoire, soit 1 bit de signe, 23 bits de mantisse et

8 bits dêexposant (dont un pour le signe de lêexposant). Ceci permet de repr¥esenter

les r¥eels avec une mantisse de 6 `a 7 chi1res signiìcatifs apr`es la virgule, dans une

¥echelle allant de 2

-128 a2 127
soit environ de 10 -38 =1EŠ38 `a10 38
= 1E + 38.

La pr¥ecision relative est de lêordre de 10

-7 ... pour le type

11double22, 8 octets de m¥emoire, soit 1 bit de signe, 51 bits de

mantisse et 12 bits dêexposant (dont un pour le signe de lêexposant). Ceci permet de repr¥esenter les r¥eels avec une mantisse de 15 chi1res signiìcatifs apr`es la virgule, dans une ¥echelle allant de 2 -2048 a2 2047
soit environ de 10 -616 =1EŠ616 `a 10 616
= 1E + 616. La pr¥ecision relative est de lêordre de 10 -15

1232456710111151213101413151314

1617201711521

1617221014135611102213142324

1617141325261711

Supposons par exemple que les r¥eels soient calcul¥ees avec 3 chi1res signiìcatifs et arrondis `alad¥ecimale la plus proche. Soit `acalculerlasommex+y+zavec x=8,22,y=0,00317,z=0,00432 (x+y)+zdonne :x+y=8,2231718,22 (x+y)+z18,2243218,22 x+(y+z) donne :y+z=0,00749 x+(y+z)=8,2274918,23. Lêaddition est donc non associative par suite des erreurs dêarrondi ! On se propose dê¥etudier quelques m¥ethodes permettant demajorerles erreurs dêarrondi dues aux op¥erations arithm¥etiques. Soientx,ydes nombres r¥eels suppos¥es repr¥esent¥es sans erreur avecNchi1res signiìcatifs : x=0,a 1 a 2 ...a N ∑b p ,b -1+p 2x a 2 2 ...a 2N ∑b q ,b -1+q 2yEn cas de d¥ebordementx+y3b p (ce qui se produit par exemple sip=qet a 1 +a 21

3b), la d¥ecimale correspondant `a la puissanceb

-N+p est elle aussi perdue, dêo`u3(x+y)2b 1-N+p . Dans les deux cas :

3(x+y)21(|x|+|y|),

o`u1=b 1-N est la pr¥ecision relative d¥ecrite auß1.1. Ceci reste vrai quel que soit le signe des nombresxety.

I - Calculs num´eriques approch´es9

En g¥en¥eral, les r¥eelsx,yne sont eux-m32emes connus que par des valeurs approch¥ees x 2 ,y 2 avec des erreurs respectives 3x=|x 2

Šx|,3y=|y

2

Šy|. A ces erreurs sêajoute

lêerreur dêarrondi 3(x 2 +y 2 )21(|x 2 |+|y 2 |)21(|x|+|y|+3x+3y). Les erreurs 3x,3ysont elles-m32emes le plus souvent dêordre1par rapport `a|x|et |y|, de sorte que lêon pourra n¥egliger les termes13xet13y.Onauradonc:

3(x+y)23x+3y+1(|x|+|y|).

Soit plus g¥en¥eralement `a calculer une somme n k=1 u k de r¥eelspositifs. Les sommes partielless k =u 1 +u 2 +...+u k vont se calculer de proche en proche par les formules de r¥ecurrence(s 0quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34