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Coursd'électroci nétique
EC3-CircuitRLCsérie
Tabledesmatièr es
1In troduction3
2Équ ationdi
érentielle3
3Ét udedurégimelibre 3
3.1Défin itionsdesvariablesréduites..........................4
3.1.1Pulsati onpropre
3.1.2Facteur d'amortissement
3.1.3Coe
cientd'amortisse ment3.1.4Facteur dequalité
3.2Lesdi
3.2.1Régime apériodique:!
>03.2.2Régimec ritique:!
=03.2.3Régimep seudo-périodiqu e:!
<04Ci rcuitRLCsérieetéchelon detension 11
5As pecténergétique:régim elibre11
11In troduction
Ala finduc hapitre précéd ent,nousavonsétudiéles régimestransitoiresdescircuitsdu premierordreRCetRLdonton arésoluleséq uationsd iérentiellespourtrouverlesexpression s
destension setintensités. Nousallons iciétudierdan slemêmee spritlerégimetransitoir educircui tRLCsér iequi commenousallons levoirdonne naissanceàdes oscillat ionsélectr iques. Leci rcuitRLCétantdudeuxièm eordre ,ceseraaussil ecasdes onéquationdiérentielle.
Elleferaalorsap paraîtrelanoti onderégimes :selonl'amortissementdu circui tpare etJoule , lerégim etransitoireestd iérent.
2Éq uationdi
érentielle
Onétud ielecircuitRLsoumi sàunet ensione(t),on s'intéresseàlatensionauxbornesducond ens ateur etàl'i nte nsitéquiparcourtlecircuit.Labobinees t idéale.Onappliquela loidesm ailles: e=Ri+L di dt +u(1)Commei=C
du dt ,ona : LC d 2 u dt 2 +RC du dt +u=e(2)Cetteéquationdi
érentielleestuneéquationduse-
condordreà coe cientconstant,le circuitRLCsérie estappelé circuitdusecondor dre.Figure1-C irc uitRLC
3Ét udedurégimel ibre
Nousallon snousintéress erdansunpr emiertempsaucomportementducircu itlorsqueleconde nsateuràétépréalablementchargésousl ate nsionEdugén érateur,etlorsqu'ilse
déchargedanslabobinee tlarésist ance.L'équationdi
érentiellecorrespondantàcerégimel ibre(appeléaussirégimepropre)estl a suivante: LC d 2 u dt 2 +RC du dt +u=0(3) Oncher chedoncunesolutiondecet teéquationq uiestuneé quationhomogène.Cette solutionestdutypeu=Ae rt avecAunecons tant e. Sioninj ect ecettesolutiondans(3)etquel 'onélimine lasolution u=0quin'apasd esens physique,onobtient: LCr 2 u+RCru+u=0!"r 2 R L r+ 1 LC =0(4) 2 ElectrocinétiqueEC3-CircuitRLCsérie3.1Définition sdesvariablesréduites Cettedernièreé quationestappeléepolynômecarac téristiquedel'équ ationdiérentielle(3).
Trouverlessolutionsde cepolynôme permetdetrouverlessolu tionsde l'équat iondiérentielle.
Pouréclairc irlarésolution,nousallonsuti liserd esvariablesdites"réduites":3.1Définitio nsdesvariablesréduites
L'intérêtdesvariablesréduit esestd'u tiliserdesvariablesdem êmedimensiondansla résolutiondel'équation.Onpe utdonc appliquersarésolutiondansn'imp orteque lsystème d'unité.3.1.1Pulsat ionpropre
Celle-cicorrespondàlapuls ationdesoscillationsenl'absen ced e"frott ements"(amortisse- mentpare etJoule ici): 0 1 LC (5) 0 :pulsationpropreexpriméee nrad.s "1 ous "1L:inductancedelabobineexprimée enHenr y(H)
C:capacitéducondensateur exprim éeenFarad(F) Ene et,ladéfi nitiond uradianditquedansuncercle, l'anglee nradianestler apportdela longueurdel'arcquedéc ritl'an gleparlerayon. Ils'agitdur apportdedeuxlongueurs .3.1.2Facteur d'amortissement
Ilvaêt reliéà larésistance globaleducir cui t.Plus cefacteurseragrand,plusl'amorti ssement
seraélevé : R 2L (6) ":facteurd'amortisseme ntexpriméens "1L:inductancedelabobineexprimée enHenry (H)
R:résistancetotaleducircuitexpr iméeenOhm(")3.1.3Coe
cientd'amortissem ent Ilpeut êtreintéress antdetravaill eravecunegrandeursansdimension.On définit alorsle coe cientd'amortissem entpar: 0 (7) Cecoe cientpeutêtreex priméeenfonc tiondesvaleurs descomposantsducircuit: R 2 C L (8) 3érentsrégimes
3.1.4Facteur dequalité
Pourcaracté riseruncircuit,onutilisesouvent uneautr egrandeurappeléefacteurdequ alit é. Elleestreli éeàtoutesl esgrandeursdontonvien tde parler: Q= 1 2# L 0 R 1 RC 0 (9) Enutil isantcesvariablesréduites, onpeutdonc écrirelepolynômecaractér istiquedela manièresuivante: r 2 +2"r+! 2 0 =0our 2 +2#! 0 r+! 2 0 =0(10)3.2Lesdi
érentsrégimes
Lepol ynômecaractéristique acceptantplusieurssolutionsselonlavaleurdes ondiscriminant, ilenes tdemê mepourl'éq uationdiérentielle.
Vulafor medupol ynôme,nousallon sutili serlediscriminantrédu it.Rappelmathématique
Lorsqu'uneéquationdusecondde gréestdelaformeax 2 +2b x+c=0,on peu tutiliserle discriminantréduitpourentrouverless olutions.Cedisc riminantréduitapourexpression:!
=b !2 $ac.Onobtie ntalorslessolutions:
x 1 $b a x 2 $b a si! !0(11) x 1 $b +j a x 2 $b $j a si! <0(12) Leje stl anotationcomp lexeut iliséeenphysiq uepournepasconfondrelenom brecomplexe classiqueavecl'intensité ducourant.Ici,lediscr iminant réduitapourexpression:
2 2 0 ou! 2 0 2 $1)(13)Selonsonsigneon distin guetroisrégimes :
3.2.1Régimeap ériodique:!
>0 Si! >0alors">! 0 ,#>1!"R>2 L C !"Q< 1 2Racinesdupolynôme
Lepol ynômeadmetdeuxracines négatives,ona:
r 1 2 2 0 0 0 2 $1(14) r 2 2 2 0 0 0 2 $1(15) 4érentsrégimes
Solutiondel'équationdi
érentielle
Lasol utiondel'équationdi
érentielle(3)s' écritdonc:
u(t)=A 1 e r 1 t +A 2 e r 2 t (16) Lesracin esétanttoutesdeuxné gatives,ons'ass urequelasolutionu (t)netendpas versl'infini, celan'auraitpas designificationphysiq ue.Déterminationdesconstantes
Onpeut utiliserlesc onditionsinitialespourexpli citerles constantesA 1 etA 2 .C' estparce quelecirc uitest dudeuxièmeordrequ'exi stentcesd euxcon stantesetqu'ilfautdeuxcond itions initialespourlesdéterminer . Lacon tinuitédelatensionauxbornesdu conden sateuri mpliquequeu(t=0)= E. Lacon tinuitédel'intensitédanslab obineim pliquequei(t=0)= 0. Onobtie ntalorsdeuxéquationsàd euxinconn uesquinousper mettentdedéterminerA 1 etA 2 u(t=0)= A 1 +A 2 =E(17) i(t=0)= r 1 A 1 +r 2 A 2 =0!"A 2 r 1 A 1 r 2 (18)Onrem placecetteexpressiondeA
2 dans(17): A 1 r 1 A 1 r 2 =E(19) !"A 1 1$ r 1 r 2 =E(20) !"A 1 r 2 E r 2 $r 1 (21)Onremp lacecetteexpressiondeA
1 dansl'exp ressiondeA 2 de(18): A 2 $r 1 E r 2 $r 1 (22) Expressionetalluredelatens ionauxbor nesducondensateurFinalement:
u(t)= r 2 E r 2 $r 1 e r 1 t r 1 E r 2 $r 1 e r 2 t (23)Lorsque#>1!"Q<
1 2 ,il n'yapas d'oscillati onsélectriquecarl'amortissementestt ropfort.
Onremar quequ'àt=0,lapentedeu (t)estnulle:
ene et,i(t=0)= C du dt =0.Figure2-T ens ionaux
bornesducondensate uren régimeapériodique libredu circuitRLCsérie 5érentsrégimes
Expressionetalluredel'inten sitéd anslecircuit
Grâceàlarelati oni(t)=C
du dt ,ont rouv el'expression del'inte nsité: i(t)= r 2 r 1 EC r 2 $r 1 (e r 1 t $e r 2 t )(24)Figure3-I nte nsitédansle
circuitenrégimeapériod ique libreducircuitR LCsérie3.2.2Régimec ritique:!
=0 Si! =0alors"=! 0 ,#=1!"R=2 L C =R C !"Q= 1 2Racinesdupolynôme
Lepol ynômeadmetuneracined oublenégative,on a: r 1 0 (25)Solutiondel'équationdi
érentielle
Alorslasolut ionapour expression:
u(t)=(A 1 t+A 2 )e "!t (26)Déterminationdesconstantes
Onutil iselesmêmesconditionsq ueprécéde mment: u(t=0)= E!"A 2 =E(27)Onexprim ei(t):
i(t)=$"C(A 1 t+A 2 )e "!t +A 1 Ce "!t =Ce "!t (A 1 $"(A 1 t+A 2quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] comment calculer la masse du nuage electronique d un atome
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