[PDF] Arbres binaires de recherche





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Déterminer la hauteur dun arbre.

On mesure la taille de l'obervateur la longueur de son ombre et la longueur de l'ombre de l'arbre. Calculs : .……..….….……..………..……..……



MESURER LES ARBRES

Plusieurs informations sont à noter lors d'un inventaire dont la hauteur et la largeur des troncs. Ces deux informations servent à calculer le volume de bois 



Mise en page 1

de bois. Elle est établie à partir de formules de calcul appelées « tarifs de cubage » qui prennent en compte la hauteur de l'arbre et le diamètre du tronc.



CHAPITRE 4 : Estimation du Volume dun arbre I. Introduction

une hauteur donnée sur la tige. 3) Comment a t'on calculé le volume de cet objet ? formule de cubage employée? type de volume ?



Arbres binaires de recherche

? Question 3 ´Ecrivez en Caml une fonction height qui calcule la hauteur d'un arbre. value height : a tree ? int. ? Question 4 Pouvez-vous majorer la taille 



Structures de données et algorithmes

arithmétiques pour voir comment sont utilisés les arbres binaires pour représenter les données dans une Calculer la hauteur courante d'un arbre binaire.



Mesure de la hauteur

COMMENT. MESURER. LA HAUTEUR D'UN ARBRE. AU MOYEN D'UN DENDROMETRE. Gestion et Economie forestière. N° 1. Réalisé dans le cadre d'une convention avec le.



Arbres AVL

On peut calculer la hauteur de tous les nœuds en parcours post-fixe. Page 2. Insertion dans arbre AVL. ABR ? IFT2015 H2009 ? UDEM ? MIKL ´ 



Estimation automatisée de la hauteur des arbres à partir de do

En séparant tout le processus de calcul de hauteurs en étapes intermédiaires exécutées sur ordinateur de façon autonome



Comment mesurer un arbre ?

Mesurer la hauteur d'un arbre est une application du théorème de. Thalès permettant de mesurer des longueurs en présence de deux droites parallèles :.



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  • Comment calculer une hauteur d'un arbre ?

    Mesurez la distance qui vous sépare de l'arbre (D). Pour connaitre la hauteur de l'arbre, il suffit de faire le calcul suivant : Distance entre l'arbre et vous x Longueur du bâton / Longueur de votre bras.

  • Comment calculer la hauteur d'un arbre avec un bâton ?

    Mesurer un arbre (ou autre élément vertical)
    Utiliser un bâton dont la longueur est égale à (B). S'approcher ou se reculer de l'arbre de façon à faire coïncider le haut de l'arbre avec le haut du bâton et le bas de l'arbre avec le bas du bâton. On fixera ainsi la distance (D).

  • Comment calculer la hauteur d'un arbre avec la Croix du bûcheron ?

    Placez-vous dos à l'arbre et faites coïncider l'ombre du sommet de votre tête avec celle du sommet de l'arbre. Ce point est appelé O. 1 m ou en utilisant un décamètre. Puis faites le calcul suivant : hauteur de l'arbre = t × OB/OA, t étant votre taille en mètre.
  • On place un élève à côté de l'arbre. Puis on estime combien de fois il faut reporter verticalement la taille de cet élève pour obtenir la hauteur de l'arbre.
Arbres binaires de recherche

IMPSI - Option Informatique

Ann´ee 2001, Huiti`eme TP Caml

Vincent Simonet (http://cristal.inria.fr/~simonet/)

Arbres binaires de recherche

1 Arbres binaires

Dans cette premi`ere partie, nous introduisons une struc- ture de donn´ees tr`es classique en Informatique : les arbres binaires. De mani`ere informelle, il s"agit de struc- tures de la forme suivante : ???¥o ooooo ???¥O

OOOOO¥

Il est naturel de d´efinir la notion d"arbre binaire (´etiquet´e par des ´el´ements d"un ensembleX) de mani`ere r´ecursive : - Il existe un arbre binaire appel´eet not´e - Sigetdsont deux arbres binaires etxest un ´el´ement De telles arborescences permettent de rep´esenter des donn´ees de divers genres : structures hierarchiques, ex- pressions arithm´etiques ou, comme nous le verrons dans la deuxi`eme partie, des ensembles ordonn´es et, dans la troisi`eme partie, des tables d"association. Pour manipuler des arbres binaires enCaml, nous allons cr´eer un typetree: type" a tree = Empty |Nodeof(" a tree )?"a?("a tree ) Dans cette d´efinition, la variable de type"arepr´esente le type des ´el´ements qui ´etiquettent les noeuds de l"arbre. Il est `a noter que cette d´efinition est r´ecursive et tr`es proche de la d´efinition formelle de la notion d"arbre que nous avons donn´e pr´ec´edemment.IQuestion 1D´efinissez enCamll"arbre suivant :

ÄÄÄ¥1ÄÄÄÄÄ

???¥3 Pour manipuler de tels arbres, on ´ecrit en g´en´eral des fonctions r´ecursives avec un filtrage, comme pour les listes : letma fonction =function

Empty->...

|Node (g, x , d)->...

1.1Taille et hauteur

On appelletailled"un arbre le nombre de ses noeuds (sans compter les feuilles).

IQuestion 2´Ecrivez enCamlune fonctionsizequi

calcule la taille d"un arbre. value size:?atree→int

On appellehauteurd"un arbre la longueur maximale

d"un chemindirectde la racine `a un noeud quelconque de l"arbre. IQuestion 3´Ecrivez enCamlune fonctionheightqui calcule la hauteur d"un arbre. value height:?atree→int IQuestion 4Pouvez-vous majorer la taille d"un arbre binaire en fonction de sa hauteur? Inversement, peut-on majorer sa hauteur en fonction de sa taille? c ?Vincent Simonet 2001 Ce document est distribu´e selon les termes de la GNU Free Documentation License.

1.2Maximum

On suppose d´esormais que l"ensembleXdes ´etiquettes est ordonn´e.

IQuestion 5´Ecrivez une fonctionmax

treequi cal- cule la plus grande ´etiquette pr´esente dans un arbre. Si l"arbre pass´e en argument est vide, vous l`everez une ex- ception. value max tree:?atree→?a

2 Arbres binaires de recherche

Un arbre binaire de recherche est un arbre binaire v´erifiant la propri´et´e suivante :Pour tout noeud gauchegsont strictement inf´erieures `axet celles du sous-arbre droitdstrictement sup´erieures. On souhaite g´en´eralement disposer de trois op´erations sur de telles structures : la recherche (tester si un ´el´ement est pr´esent ou non), l"ajout d"un ´el´ement et la suppression. Ces arbres permettent ainsi de repr´esenter des ensembles en effectuant les op´erations ensemblistes usuelles de mani`ere relativement efficace.

IQuestion 6 (Recherche)´Ecrivez une fonction

memqui teste si une ´etiquettexapparaˆıt dans un arbre binaire de recherchea. La complexit´e en temps de votre fonction devra ˆetre domin´ee par la hauteur de l"arbre. value mem:?a→?atree→bool Pour ajouter un ´el´ementx`a un arbre binaire de re- cherche, on peut proc´eder de la mani`ere suivante. On parcourt l"arbre en partant de la racine vers le bas.`A un noeud ´etiquet´ey, on poursuit vers la gauche six < y et vers la droite six > y.

IQuestion 7 (Insertion)Programmez une fonction

addqui ajoute un ´el´ement `a un arbre binaire de re- cherche. (Vous pourrez supposer que l"´el´ement `a ajouter n"est pas d´ej`a dans l"arbre.) value add:?a→?atree→?atree La suppression est un op´eration plus d´elicate : si on veut supprimer une ´etiquette situ´ee sur un noeud int´erieur d"un arbre, il faut la remplacer par une autre ´etiquette! Supposons que vous souhaitiez supprimer se pr´esentent :1. Si le sous-arbre gauchegest vide, il suffit de re- monter le sous-arbre droitd.

2. Sinon, il faut rechercher la plus grande ´etiquettez

deg, la supprimer deget remplaceryparz.

IQuestion 8 (Suppression)´Ecrivez une fonction

remove maxprenant pour argument un arbre binaire de recherche non-videaet qui retourne le couple(a?,z)o`u zest la plus grande ´etiquette apparaissant dansaeta? l"arbre obtenu `a partir deaen retirant le noeud ´etiquet´e parz.

D´eduisez-en alors une fonctionremove.

value remove max:?atree→?atree×?a value remove:?a→?atree→?atree

3 Tables d"association

SoientKetEdeux ensembles, les ´el´ements deK´etant appel´esclefs, et ceux deEobjets. On supposera l"en- sembleKordonn´e. Unetable d"associationMsurK etEest une partie deK×Etelle que pour toute clef k?Kil existe au plus un objete?Etel que le couple (k,e) soit dansM. On peut donc voir une table d"associationMcomme une application partielledeKdansE. On peut manipuler efficacement une table d"association en la repr´esentant sous la forme d"un arbre binaire de recherche, en utili- On souhaite disposer de trois op´erations ´el´ementaires sur les tables d"association : -find: ´etant donn´ees une tableMet une clefktrouver l"objetetel quee=M(k) s"il existe. -add: ´etant donn´es une tableM, une clefkn"apparais- sant pas dansMet un objete, ajouter l"association (i.e. le couple) (k,e) `aM. -remove: ´etant donn´ees une tableMet une clefktelles qu"il existeetel que (k,e)?M, retirer le couple (k,e) deM. IQuestion 9Adaptez les fonctions de la section 2 de mani`ere `a impl´ementer efficacement ces trois op´erations sur les tables d"association. 2

IMPSI - Option Informatique

Ann´ee 2001, Huiti`eme TP Caml

Vincent Simonet (http://cristal.inria.fr/~simonet/)

Arbres binaires de recherche

Un corrig´e

IQuestion 1

Node (Node (Empty,

1,

Empty),

3,

Empty)

IQuestion 2

let recsize =function

Empty->0

|Node (g, x , d)->1 + size g + size d

IQuestion 3

let recheight =function

Empty->0

|Node (g, x , d)->1 + max ( height g) ( height d)

IQuestion 5

let recmax tree =function

Empty->

raise ( Invalid argument"max tree") |Node (Empty, x , Empty)->x |Node (g, x , Empty)->max x ( max tree g) |Node (Empty, x , d)->max x ( max tree d) |Node (g, x , d)-> max x (max ( max tree g) ( max tree d))

IQuestion 6

let recmem x =function

Empty->false

|Node ( , y , )whenx = y->true |Node (g, y , d)-> ifxIQuestion 7 let recadd x =function

Empty->Node (Empty, x , Empty)

|Node (g, y , d)-> ifxIQuestion 8 let recremove max =function

Empty->

raise ( Invalid argument"remove max") |Node (g, x , Empty)->(g, x) |Node (g, y , d)-> let(d " , x) = remove max din (Node (g, y , d "), x) let recremove x =function

Empty->Empty

|Node (Empty, y , d)wheny = x->d |Node (g, y , d)wheny = x-> letg " , z = remove max gin

Node (g " , z , d)

|Node (g, y , d)-> ifxIQuestion 9 let recfind k =function

Empty->raise Not

found |Node (g, ( k " , e ), d)whenk = k"->e |Node (g, ( k " , ), d)-> ifkEmpty->Node (Empty, ( k , e ), Empty) |Node (g, ( k " , e ), d)-> ifkEmpty->Empty |Node (Empty, ( k " , e ), d)whenk = k"->d |Node (g, ( k " , e ), d)whenk = k"-> letg " , z = remove max gin

Node (g " , z , d)

|Node (g, ( k " , e ), d)-> ifk