PRODUIT SCALAIRE
La norme du vecteur u ! notée u !
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS LESPACE
On note u · v le produit scalaire de deux vecteurs et u la norme. 1. Dans le plan. 1.1. Volume des parallélogrammes. Considérons deux vecteurs.
Sur le produit vectoriel
2) Si u v ne sont pas colinéaires
Espaces Vectoriels Normés et Topologie
2.1.1 Suites et convergence dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . 17 On dit que v est une suite extraite ou sous-suite de u.
Produit scalaire
Définition : La norme d'un vecteur u AB On appelle produit scalaire des vecteurs u et v le nombre réel noté. u v? défini par u v u v.
Espaces de Sobolev Formulation variationnelle des EDP.
DÉFINITION. Un espace de Hilbert est un espace vectoriel H muni d'un produit scalaire ?uv? et qui est complet pour la norme ?u
1 Espaces vectoriels normés
Définition 1 Une application N : E ?? R est une norme ssi Proposition 10 Soit (EN) un espace vectoriel normé et U et V deux ouverts de E. Alors.
Fiche n°2 sur la projection de vecteurs
u et un vecteur v de norme v et faisant un angle ? avec le vecteur y u . Donner les projections des deux vecteurs précédents dans la base.
Produit scalaire espaces euclidiens
Définition. Un vecteur u de E est dit unitaire (ou encore normé) si u = 1. Deux vecteurs u et v de E sont dits orthogonaux si (u
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La norme du vecteur u ! notée u ! est la distance AB 2) Définition du produit scalaire Définition : Soit u ! et v ! deux vecteurs du plan
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Deux vecteurs u et v sont dits orthogonaux (et on note u ? v) si < uv >= 0 Une famille orthonormée est une famille de vecteurs de norme 1 qui sont
[PDF] Chapitre 5 : Produit scalaire et norme
u v Chapitre 5 : Produit scalaire et Orthogonalité - page 2/14 - Page 3 Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S Charles (17/02/03)
[PDF] Produit vectoriel
Pour la troisi`eme propriété le plus simple est de commencer par montrer (par un calcul brutal) que u ? v2 +u v2 = u2 v2 puis d'utiliser la formule u v = u v
[PDF] Sur le produit vectoriel
3) Le vecteur u?v est orthogonal `a u v sa norme est égale `a u v sin ? u v et si les vecteurs u v sont indépendants u v u ? v est une base directe de
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On appelle norme du vecteur #»u que l'on note #»u la longueur du segment [AB] On appelle produit scalaire des vecteurs #»u et #»v et on note #»u
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Chapitre 3 Produit scalaire espaces vectoriels euclidiens 3 1 Produit scalaire norme euclidienne Définition 3 1 Soit E un espace vectoriel réel
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le produit vectoriel de U et V est un vecteur perpendiculaire à U et V dont la grandeur est donnée par: U x V = U * V * sin ß où ß est l'angle entre
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La norme d'un vecteur est la racine de son carré scalaire : vecteur v de norme v et faisant un angle ? avec le vecteur y u
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5 On se place dorénavant dans E un K-espace vectoriel Définition 1 12 Notion de norme Une application N : E ?? R est appelée norme si et seulement
Quel est la norme de u ?
Dans le plan euclidien, la norme de u = AB est donc la distance de A à B. On parle de distance euclidienne pour rappeler son lien avec le produit scalaire. On note généralement AB la norme du vecteur AB. Un vecteur de norme 1 (unitaire) est aussi dit normé.Comment calculer u en v ?
On appelle produit scalaire de u et v le réel, noté u ?v , défini par : u ?v =?u ?×?v ??os(u ,v ).Comment calculer les vecteurs u et v ?
(a) L'addition vectorielle. On définit l'addition ou somme de deux vecteurs ?u et ?v, comme le vecteur dont les composantes sont obtenues par addition des composantes correspondantes des deux vecteurs ?u et ?v. On note ?u+v le vecteur somme. ?u+?v=(ux+vx,uy+vy).- Deux vecteurs ?u et ?v de l'espace sont orthogonaux si et seulement si ?u. ?v=0. . Deux droites D et ? de vecteurs directeurs respectifs ?u et ?v sont dites orthogonales lorsque ?u et ?v le sont.
Sur le produit vectoriel
Daniel PERRIN
Introduction
On etudie les deux approches usuelles du produit vectoriel : la version elementaire decrite en terme d'orthogonalite et de sinus et celle qui prend comme point de depart une application bilineaire alternee. Dans tout ce qui suit, on travaille dans un espace vectoriel euclidien de dimension 3, oriente, noteE. On note (xjy) le produit scalaire des vecteurs x;yetkxkla norme du vecteurx. On rappelle que l'angle (non oriente1) =dx;ydes vecteurs non nulsx;yest le nombre de [0;] deni par cos= (xjy)kxkkyk.1 Rappels et preliminaires
1.1 L'identite de Lagrange
Il s'agit d'une identite polynomiale qui est, en fait, le ressort principal de ce qui suit.1.1 Lemme.Soienta;b;c;x;y;zdes nombres2ou des indeterminees. On a
l'identite suivante 3: (ax+by+cz)2+[(bzcy)2+(cxaz)2+(aybx)2] = (a2+b2+c2)(x2+y2+z2): Demonstration.Il sut de faire le calcul, qui est sans diculte.1.2Remarque.Bien entendu, quand on aura deni le produit vectoriel, cette
identite s'ecrira :(ujv)2+ku^vk2=kuk2kvk2;1. Il n'y a pas de denition satisfaisante d'angles orientes dans l'espace. Avec la
denition ci-dessus, le cosinus d'un angle peut ^etre negatif, mais le sinus est obligatoi- rement positif.2. D'un anneau commutatif, par exempleR.
3. Voir l'epreuve sur dossier de CAPES du 28 juin 2013.
1 et c'est essentiellement la relation cos2+ sin2= 1.
1.2 Cosinus et sinus
On se donne une base orthonormeei;j;kdeEet on considere les vecteurs u=xi+yj+zketv=x0i+y0j+z0k. On sait qu'alors on a (ujv) = xx0+yy0+zz0,kuk2=x2+y2+z2etkvk2=x02+y02+z02. On en deduit la
valeur du cosinus : cosdu;v=xx0+yy0+zz0px2+y2+z2px
02+y02+z02.
Pour le sinus on a le resultat suivant :
1.3 Lemme.Avec les notations precedentes, on a :
sin2du;v=(yz0zy0)2+ (zx0xz0)2+ (xy0yx0)2(x2+y2+z2)(x02+y02+z02).
Demonstration.Cela resulte de la formule qui donne le cosinus, de la relation cos2+ sin2= 1 et de l'identite de Lagrange.
2 L'approche elementaire du produit vecto-
riel2.1 Denition
2.1 Proposition-Denition.Il existe une unique application :EE!
Equi associe a deux vecteursu;vun vecteur noteu^v, veriant les proprietes suivantes :1) Siu;vsont colineaires on au^v= 0.
2) Siu;vne sont pas colineaires, le vecteuru^vest orthogonal auetv,
la baseu;v;u^vest directe et on a : ku^vk=kukkvksindu;v: Demonstration.L'existence et l'unicite se montrent ensemble. Le cas co- lineaire est clair. Sinon, l'orthogonal du plan vectoriel (u;v) est une droite vectorielle donc engendree par un vecteurwnon nul. Il y a sur cette droite deux vecteurs opposes dont la norme est donnee par la formule ci-dessus et seul l'un des deux donne une base directe avecu;v. 22.2 Expression en coordonnees
On se donne une base orthonormee directei;j;ket deux vecteursu;v de coordonnees (x;y;z) et (x0;y0;z0) sur cette base. On a alors le resultat (fondamental) suivant :2.2 Theoreme.Les coordonnees deu^vdans la basei;j;ksont :
(yz0zy0;zx0xz0;xy0yx0): Demonstration.Le cas ou les vecteurs sont colineaires est evident. Montrons que le vecteurwdont les coordonnees sont donnees ci-dessus verie les trois conditions denissantu^v.1) Il est orthogonal au;v. Il s'agit de montrer qu'on a, par exemple :
x(yz0zy0) +y(zx0xz0) +z(xy0yx0) = 0: On peut faire le calcul (facile) directement, ou noter que c'est le developpement du determinant (evidemment nul) suivant : x y z x y z x 0y0z0 par rapport a sa premiere ligne.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3[PDF] hauteur relative d'un triangle isocèle
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