[PDF] FICHE : IN´EGALIT´ES CLASSIQUES

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Lyc´ee Kl´eberPC?, 2i`eme ann´ee

FICHE: IN´EGALIT´ES CLASSIQUES

Avec des identit´es remarquables

Poura,b?R:

4ab?(a+b)2

(a+b)2?2(a2+b2)

2|ab|?a2+b2

a+b?⎷ a+⎷ bsia,b >0

1 +nx?(1 +x)npourx >-1(In´egalit´e de Bernoulli)

||a| - |b||?|a+b|?|a|+|b|(In´egalit´es triangulaires) In´egalit´es de Cauchy-Schwarz et applications Dans un pr´ehilbertien(E,?.|.?), pour toutx,y?Eon a : |?x|y?|??x??y? avec ´egalit´e si et seulement sixetysont colin´eaires. Il en r´esulte que :• ?(a1,...,an,b1,...,bn)?R2n,?????n i=1a ibi????? n? i=1a 2 i???? n? i=1b 2 i;

• ?f,g? C0([a,b],C),????b

af(t)g(t)dt??? ?b a|f(t)|2dt? ?b a|g(t)|2dt; •Pour toutes fonctionsf,gcontinues et de carr´e int´egrable surI:???

If(t)g(t)dt?????

I|f(t)|2dt?

I|g(t)|2dt;

Fonctions usuelles

?x?0,1-x3

6?sinx?x

?(x,y)?R2,|sinx-siny|?|x-y| ?x??

0,π

2? ,2

πx?sinx?x?tanx

?x?R,1-x2

2?cosx?1

?x?R,|cosx-1|?x2 2 ?x?R,arctanx?x ?x?0, x-x2

2?ln(1 +x)et?x >-1,ln(1 +x)?x

?x >0,lnx < x ?x?R,1 +x?ex ?x?0,shx?x ?x?R,chx?1 +x2 2 In´egalit´e des accroissement finis - Version I

Soitf: [a,b]→R. On suppose que :H1fest continue sur[a,b]H2fest d´erivable sur]a,b[H3Il existe(m,M)?R2tel que :

?x?]a,b[, m?f?(x)?M

Alors on a :

m(b-a)?f(b)-f(a)?M(b-a) In´egalit´e des accroissement finis - Version II

Soitf: [a,b]→R. On suppose que :H1fest continue sur[a,b]H2fest d´erivable sur]a,b[H3|f?|est major´ee sur]a,b[:?α?R+:?x?]a,b[,|f?(x)|?α

Alors on a :

|f(b)-f(a)|?sup x?]a,b[|f?(x)||b-a|

In´egalit´e de Taylor-Lagrange

Soitfune fonction de classeCn+1sur un intervalleIdeRet soita?I. Six?I, on peut, d"apr`es la formule de Taylor avec reste int´egrale, ´ecriref(x)sous la forme f(x) =n?k=0f (k)(a) k!(x-a)k+? x a(x-t)n n!f(n+1)(t)dt =Tn(x) +Rn(x)

On a alors

|f(x)-Tn(x)|=|Rn(x)|?|x-a|n+1 (n+ 1)!Mn+1 o`uMn+1est un majorant de??f(n+1)??sur[a,x](qui existe carf(n+1)est continue sur lesegment[a,x])

Comparaison s´eries-int´egrales

Soitf: [a,+∞[?→Rune fonction continue par morceaux (a?N). On suppose que :H1fest `a valeurspositives.H2festd´ecroissante.

Alors la s´erie?f(n)et la suite??n

af(t)dt?sont de mˆeme nature. De plus, si ellesconvergent: a+1f(t)dt?+∞? k=a+1f(k)?? a f(t)dt k-1kk+ 1f(k) Crit`ere sp´ecial des s´eries altern´ees (TSA)

On consid`ere une s´erie?(-1)nvn?

u n.

H1`A partir d"un certain rangvn?0.H2La suite(vn)estd´ecroissante`a partir d"un certain rang.H3vn-----→n→+∞0

Alors :

1. la s´erie altern´ee?(-1)nvnconverge;2. On dispose d"une majoration du resteRn=+∞?

k=n+1(-1)nvnpar la valeur absolue du premier terme n´eglig´e|un+1|: |Rn|?vn+1

3. Le signe du resteRnest le mˆeme que celui du premier terme n´eglig´e :sg(Rn) =

sg(un+1).

4. En notant respectivementSetSnla somme et la ni`eme somme partielle de la s´erie,

comme(S2n)est d´ecroissante, que(S2n+1)est d´ecroissante et que pour toutn?N,S2n+1?S?S2n, on a les in´egalit´es sur les sommes partielles :

S1?S3?...?S2n+1?...?S?...?S2n?...?S2?S0.

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