[PDF] Quelques algorithmes rapides pour la finance quantitative

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ÉCOLEDOCTORALE DESCIENCESMATHÉMATIQUES DEPARISCENTRE

THÈSE DEDOCTORAT

en vue de l"obtention du grade de Docteur ès Sciences de l"Université Pierre et Marie Curie

Discipline: Mathématiques Appliquées

présentée par

GuillaumeSALL

Quelques Algorithmes Rapides pour la Finance

Quantitative

dirigée parGillesPAGÈS etOlivierPIRONNEAU

Rapportée par

Mike GILES Université d"Oxford

Denis TALAY INRIA

Soutenue le 21 Décembre 2017 devant le jury composé de

Youssef ALLAOUI Global Market SolutionsEncadrant

Julien BERESTYCKI Université Pierre et Marie Curie Examinateur Gilles PAGÈSUniversité Pierre et Marie Curie Directeur de thèse Olivier PIRONNEAU Université Pierre et Marie Curie Co-Directeur de thèse

Denis TALAYINRIARapporteur

ii

Quelques Algorithmes Rapides pour la Finance

Quantitative

Contribution au Calcul du Risque de Contrepartie

GuillaumeSALL

iv v

Laboratoire de Probabilités et

Modèles Aléatoires

4, Place de Jussieu

75005 Paris

France

Tél. +33 1 44 27 53 19

Global Market Solutions

R&D Center

7, Cité de l"Ameublement

75011 Paris

France

Tél. +33 4 91 37 06 38

vi vii

Université Pierre et Marie Curie

4, Place de Jussieu

75005 Paris

France

Tél. +33 1 44 27 44 27

Laboratoire Jacques Louis-Lions

4, Place de Jussieu

75005 Paris

France

Tél. +33 1 44 27 42 98

viii ...À ma mère et mes deux frères.

Merci pour votre amour indéfectible.

x "La seule chose que je sais, c"est que je ne sais rien." "o˜oo`"o˜" -Socrate, Philosophe,(-469,-399). xii

Remerciements

Je tiens particulièrement à exprimer ma gratitude envers mes directeurs de thèse, Gilles Pagès

et Olivier Pironneau, pour leur gentillesse et leur disponibilité ainsi que pour les conseils qu"ils

m"ont prodigués tout au long de cette thèse. Ce fut un honneur pour moi que Gilles Pagès accepte de diriger cette thèse. Je le remercie pour son temps, le partage de son expérience et son engagement dans ce projet. Je ne remercierai jamais assez Olivier Pironneau pour m"avoir

appuyé dans les démarches et sans qui ce projet n"aurait jamais abouti. J"ai énormément appris

sur le plan professionnel et sur le plan humain à leurs côtés. Je les remercie pour m"avoir

rassuré pendant les moments de doutes que j"ai traversé ces dernières années et pour leur grande

pédagogie. L"histoire de cette thèse a commencé chez Global Market Solutions et je tiens beaucoup à

remercier Youssef Allaoui et Laurent Marcoux pour leur confiance. Ils ont toujours été présents

pour mes questions et m"ont laissé une grande liberté dans ma recherche pour mes travaux. Je

tiens à remercier Dominique Vignaux pour avoir accepté ce partenariat entre l"université et Global

Market Solutions ainsi que Nathalie Aldini et Tania Corbay pour les démarches administratives. Je remercie également mes anciens collègues de bureau Pierre Weirich, Brahim Ait Haddou, Karim Tamarzist, Brahim Maatalla, Hervé Galicher, Olivier Lamourelle, Aleksey Larchenko et Yassine Sabbahi pour toutes les discussions autour des mathématiques et de la finance, leurs conseils, échanges et collaborations enrichissantes.

Je suis très honoré que Mike Giles et Denis Talay aient accepté de rapporter ma thèse. Je les

remercie pour leur lecture attentive de ce manuscrit et l"intérêt porté à mon travail. Je remercie

Julien Berestycki pour avoir accepté de présider le jury de ma soutenance de thèse.

Ce projet collaboratif a fait intervenir plusieurs entreprises. Je tiens à remercier les partenaires

de chez Intel, Raphaêl Monten qui nous a très gentiment appuyé tout au long de ce projet et

nous a mis à disposition le matériel adéquate et les ressources humaines nécessaires. Mais aussi

Laurent Duhem, Ayal Zaks, Dahnken Christopher, Hans Pabst et Wolfgang Rosenberg pour leurs

aides dans l"implémentation des différentes solutions. La réalisation d"une solution avec 6 cartes

Intel Xeon Phi Coprocesseurs a été permise grâce à la collaboration de 2CRSI et de son équipe

de développement: Karim Gasmi, Frédéric Mossman, Adrien Badina ainsi que Claire Chupin. Je remercie Massimiliano Fattica de chez Nvidia, pour son aide dans l"implémentation de la solution en CUDA. Je remercie également Arnaud Renard pour nous avoir laisser travailler sur

le super calculateur de la région Champagne-Ardenne situé à l"université de Reims. Je souhaite

particulièrement remercier Jacques Portès pour toutes les discussions autour de l"architecture des

cartes accélératrices et graphiques, ainsi qu"à Alain Dominguez pour ces passionnantes sessions

d"implémentation et d"échanges.

La vie au laboratoire est assez particulière et je tiens à remercier tous mes collègues doctorants

et notamment ceux de mon bureau à qui j"ai rendu la vie un peu difficile! C"est-à-dire Nicolas Cagniart, Olivier Graf, Antonin Prunet et Guillaume Levy. Mais également ceux qui ont partagés ma vie au laboratoire Anouk Nicolopoulos, Jean François Abadie, Léo Girardin, Cécile Taing, Lilian Gaudin, Lucile Mégret, la liste étant non-exhaustive...

Je tiens à remercier tout le personnel des secrétariats des deux laboratoires où j"ai intéragi

et notamment Salima Lounici, Malika Larcher et Catherine Drouet au LJLL ainsi que Serena Benassu et Florence Deschamps au LPMA pour leur gentillesse et serviabilité.

Pour finir, une dernière pensée pour mes proches et amis qui ont toujours été présents pour

moi. Et particulièrement ma mère Catherine pour sa confiance et son amour, mon petit-frère Thibault pour son soutien indéfectible et qui est aussi un modèle pour moi, mon grand frère Thomas pour avoir toujours cru en mes capacités. xiii

Quelques Algorithmes Rapides pour la Finance

Quantitative

Contribution au Calcul du Risque de Contrepartie

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à des noeuds critiques du calcul du risque de contrepartie, la valorisation rapide des produits dérivées et de leurs sensibilités. Nous proposons plusieurs méthodes mathématiques et informatiques pour répondre à cette problématique. Nous contribuons à quatre domaines différents: une extension de la méthode Vibrato et l"application des méthodes multilevel Monte Carlo pour le calcul des grecques à ordre élevé(n≥1)avec une technique de différentiation au- tomatique. La troisième contribution concerne l"évaluation des produits Américain, ici nous nous servons d"un schéma pararéel pour l"accélération du processus de val- orisation et nous faisons également une application pour la résolution d"une équation différentielle stochastique rétrograde. La quatrième contribution est la conception d"un moteur de calcul performant à architecture parallèle. Mots clés :Risque management, Mesures de risques, Sensibilités, Monte Carlo, Monte Carlo

multilevel, Monte Carlo multilevel avec poids, Vibrato, Différentiation automatique, Pararéel, In-

tégration parallèle en temps, Option Américaine, Option barriére, Option exotique, Valorisation

non-linéaire, Monte Carlo avec régression par Moindres carrés, Fonction discontinue, Régulari-

sation, Parallélisation, Calcul sur GPU, Grille de noeuds de calcul. xiv

Some Fast Algorithms for Quantitative Finance

Contribution to the Computation of Counterparty Credit Risk

Abstract

In this thesis, we will focus on the critical node of the computation of counterparty credit risk, the fast evaluation of financial derivatives and their sensitivities. We propose several mathematical and computer-based methods to address this issue. We have contributed to four areas: an extension of the Vibrato method and an application of the weighted multilevel Monte Carlo for the computation of the greeks for high order derivatives(n≥1)with automatic differentiation. The third contribution concerns the evaluation of American style option, here we use a parareal scheme to speed up the assessing process and we made an application for solving backward stochastic differential equations. The last contribution is the conception of an efficient computation engine for financial derivatives with a parallel architecture. Keywords :Financial securities, Risk Assessment, Risk Measures, Greeks, Monte Carlo, Multilevel Monte Carlo, Weighted Multilevel Monte Carlo, Vibrato, Automatic Differentiation, Parallel-In-Time Integration, Parareal, American Option, Barrier Option, Exotic Option, Non- linear Pricing, Least Square Monte Carlo, Non-Smooth Function, Regularization, Parallelization,

GPU computing, CPUs Cluster.

xv

Contributions Issues de la Thèse

Nous mentionnons ici les contributions issues de la thèse, qui seront détaillées dans leur intégralité

dans les chapitres 1 2 3 et 4 G. Sall. Approximation of a forward backward stochastic differential equation with a parareal method.In preparation. G. Pagès, G. Sall. Computing sensitivities with weighted multilevel Monte Carlo.In preparation. G. Pagès, O. Pironneau, G. Sall. 2017. Vibrato and automatic differentiation for high order derivative and sensitivities of financial options. Risk Magazine,The Journal of Com- putational Finance. G. Pagès, O. Pironneau, G. Sall. 2016. Second sensitivities in quantitative finance. ESAIM.

Proceedings and Surveys. Volume 1, pages 1-10.

G. Pagès, O. Pironneau, G. Sall. 2016. The parareal method for American options. Else- vier.Comptes Rendus Mathématiques de l"Académie des Sciences. Volume 354, Issue 11, pages 1132-1138. xvi

Table des Matières

Preface

iii

Institutions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Remerciements

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

Résumé/Abstract

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv

Contributions Issues de la Thèse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

Liste des Figures

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxii

Liste des Tables

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiv

Liste des Algorithmes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv

Liste des Codes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi

Liste des Abréviations

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxix

Avant-Propos

1

Préambule

3

Introduction

5

Around Computation of Sensitivities

7

1 Vibrato and Automatic Differentiation for High Order Derivatives

9

1.1 Introduction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Vibrato

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Vibrato for a European Contract

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 First Order Vibrato

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.3 Antithetic Vibrato

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.4 Second Order Derivatives

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.5 Antithetic Transform, Regularity and Variance

. . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.6 Higher Order Vibrato

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Second Derivatives by Vibrato plus Automatic Differentiation (VAD)

. . . . . . . 20

1.3.1 Automatic Differentiation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.2 AD in Direct Mode

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.3 AD in Reverse Mode

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 xvii

Table des Matières

1.3.4 Non-Differentiable Functions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4 VAD and the Black Scholes Model

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.1 Conceptual Algorithm for VAD

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.2 Greeks

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.3 Numerical Test

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.4 Basket Call Option

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4.5 Autocallable

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5 Computation with Vibrato plus Reverse AD (VRAD)

. . . . . . . . . . . . . . . 37

1.6 American Option

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6.1 Longstaff Schwartz Algorithm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6.2 Procedure to Compute the Gamma of an American option

. . . . . . . . 39

1.6.3 Numerical Test

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.7 Second Derivatives in a Stochastic Volatility Model

. . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.7.1 Procedure to Compute Second Derivatives in the Heston Model

. . . . . . 41

1.8 Malliavin Calculus and Likelihood Ratio Method

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.8.1 Numerical Tests

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.9 Conclusion

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 Computing Sensitivities with Weighted Multilevel Monte Carlo

55

2.1 Introduction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2 Preliminaries

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3 Multilevel Monte Carlo with Optimal Parameters

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.3.1 Multilevel Setting

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4 Weighted Multilevel Monte Carlo Method with Optimal Parameters

. . . . . . . 62

2.4.1 Richardson-Romberg Extrapolation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.4.2 The Multistep Approach

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.4.3 Weighted Multilevel Setting

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.5 Antithetic Schemes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.5.1 Truncated Milstein Scheme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.5.2 Optimal Settings

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.6 Generic Procedure for Option Pricing and Sensitivities

. . . . . . . . . . . . . . . 75

2.7 Numerical Results

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.7.1 Computation of Sensitivities of Up and Out Call Option in the Heston model

80

2.7.2 Using the Framework 2.6 for the Value, the Delta and the Gamma

. . . . 81

2.7.3 Antithetic Scheme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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