[PDF] Exercices de Mécanique (2ePériode) Oscillateur harmonique amorti

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2008-2009Exercices de M´ecanique(2eP´eriode)

?Oscillateur harmonique amorti en r´egime sinuso¨ıdal forc´eM5? ???Ex-M5.1Sismographe on consid`ere un capteur d"amplitude constitu´e par un support et une massemreli´es par un ressort et un amor- tisseur en parall`ele. L"amortisseur exerce enA:-→FA=-h(-→vA--→vB) et le ressort exerce enC:-→TC=-k(--→DC----→D0C0). Le support, le ressort et l"amortisseur sont de masse n´egligeable. Le ressort a pour constante de raideurket pour lon- gueur `a videl0(not´eeD0C0).

Ox (t)

xx AB CD G hky carter a1 ex(t) g On suppose que le support est solidaire du carter d"une machine anim´ee d"un mouvement si-

nuso¨ıdal verticalx1=bsinωtpar rapport `a un r´ef´erentiel galil´eenR0((Oxy) ´etant li´e `aR0).

1)D´eterminer l"´equation que v´erifiexe(position de la masse `a l"´equilibre dansR0lorsque

x

1= 0).

2)´Ecrire l"´equation diff´erentielle du mouvement demdansR0.

Si on poseX=x-x1-xe, montrer que l"´equation peut se mettre sous la forme :

¨X+ω0QX+ω20X=Asinωt??

R´esoudre cette ´equation. (Principe du sismographe.)

R´ep : 1)

´Ecrire, pour la massem, leP.F.D.`a l"´equilibre1?→xe=l0+mg k+a 2) ´Ecrire leP.F.D.hors ´equilibre2?;2?-1?→m¨x=-k(x(t) +x1-xe)-h(x-x1).

D"o`u??avecA=bω2,ω0=?

k metQ=mω0h, de solutionX(t) =Xmsin(ωt+?), avecXm= A (ω20-ω2)2+?ωω0Q?

2et?=-π

2-arctan?

Q?ωω0-ω0ω??

. Au final :x(t) =X(t)+x1(t)+xe. ???Ex-M5.2D´ephasage de la vitesse par rapport `a la force excitatrice Soitm¨x+hx+kx=f(t) l"´equation du mouvement d"un oscillateur soumis `a une force excitatrice f(t) =Fmcos(ωt+ψ). →Calculer, en r´egime forc´e :

1)le d´ephasage?vde la vitessev(t) par rapport `a la force; en particulier, montrer que :

sin?v=?

ω20ω-ω?

V m Fm met cos?v=2αVmFm m(Que repr´esententω0,Vmetα?)

2)la travailTfourni `a chaque p´eriodeT, par la force `a l"oscillateur.

R´ep : 2)Partir du travail ´el´ementaire fourni par le force excitatrice :δT=f(t).dx=

2[cos(ψ-?) + cos(2ωt+ψ+?)]dt.

Sur une p´eriodeT=?

T 0

δT...→ T=hV2m

2T ???Ex-M5.3Oscillations forc´ees d"un v´ehicule sur une route ondul´ee Une automobile est sommairement mod´elis´ee par une massemplac´ee en M et reposant sur une

roue de centreO, par l"interm´ediaire d"un ressort de raideurkmis en parall`ele sur un amortisseur

de coefficient de frottementh. En routes circonstances, l"axeOMreste vertical. On se propose d"examiner le comportement du v´ehicule lorsqu"il a la vitessevsur une route qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/27 Exercices de M´ecanique(2eP´eriode)2008-2009 dont le profil impose au centreOde la roue une

´elongation

z

O(t) =acos?

2πx

par rapport `a sa position d"´equilibre.

On rep`ere le mouvement de la masse par son

´elongationz(t) par rapport `a sa position d"´equilibre quand le v´ehicule est au repos. On rappelle qu"un amortisseur plac´e entreOetMexerce surMune force de frottement fluide proportionnelle `a la vitesse relative deMpar rapport `aO:-→Fr=-h(zM-zO)-→ez. 1)

´Etablir l"´equation diff´erentielle enz(t)du mouvement de la masse , lorsque le v´ehicule se

d´eplace `a vitesse constantev.

2)D´eterminer l"amplitude du mouvement d"oscillation vertical du v´ehicule en r´egime permanent.

3) `A quelle allure convient-il de rouler pour que cette amplitude soit aussi faible que possible? R´ep : 1)m¨z=-k(z(t)-zO(t))-h(z-zO), aveczO=acos(ωt), commex=v.tet en posantω=2πv λ; ¨z+ω0Qz+ω20z=ω20zO(t) +ω0QzO(t), en posantω0=? k metQ=mω0h;2) Z m=a?

1 +?ωQω0?

2??

1-ω2

ω20?

2 +?ωQω0? 2 ???Ex-M5.4Mod´elisation d"un haut-parleur On mod´elise la partie m´ecanique d"un haut-parleur `a l"aide d"une massem, se d´epla¸cant horizontalement sans frottement le long de l"axe (O,-→ex). Cette masse m, assimil´ee `a un point mat´erielM(m), est reli´ee `a un ressort de longueur `a videl0et de raideurk, ainsi qu"`a un amortisseur fluide de constantef. Elle est soumise `a une force-→F(t), impos´ee par le couranti(t) entrant dans le haut-parleur.

On a :F(t) =K i(t)-→ex,avecKune constante.

On travaille dans le r´ef´erentiel terrestre consid´er´e ga- lil´eenRg(O,-→ex,-→ey). On suppose que le couranti(t) est sinuso¨ıdal :i(t) = I mcos(ωt)

Donn´ees :m= 10g;k= 15000N.m-1;K=

200N.A-1etIm= 1A.

1)´Ecrire l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee par la position de la massem.

2)La normaliser. On veutQ=1

⎷2. Calculer alors la valeur du coefficientf.

3)D´eterminer l"expression de la r´eponse forc´eex(t) et la mettre sous la formeXmcos(ωt+?).

Donn´ee :ω= 6280rad.s-1

4)Tracer l"allure de la courbe donnantω→Xm(ω). En d´eduire la bande passante du syst`eme.

R´ep : 1)¨x+f

mx+kmx=KmImcos(ωt);2)ω0=? k metQ=mω0f=⎷ km f A.N. :f?17,3kg.s-1(ouN.s.m-1);3)ω0?1225rad.s-1,ω= 6280rad.s-1,Xm= 0,5mm et?=-164◦=-2,86rad, soit :x(t) = 0,5.10-3cos(6280t-2,86) (enm);

4)Xm(ωc) =KIm

mω201?

1 +ω4cω40=

Xm(max)

⎷2?ωc=ω0

28http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com

2008-2009Exercices de M´ecanique(2eP´eriode)

???Ex-M5.5Pourquoi le ciel est-il bleu?

Thomsona propos´e un mod`ele d"atome dans lequel chaque ´electron (M) est ´elastiquement li´e `a

son noyau (O) (il est soumis `a une force de rappel passant par le centre del"atome;-→Fe=-k--→OM).

Nous supposerons que ce ´electron est frein´e par une force de frottement de type fluide propor-

tionnelle `a sa vitesse-→Fr=-h-→vet que le centreOde l"atome est fixe dans le r´ef´erentiel d"´etude

suppos´e galil´een. Nous cherchons `a ´etudier l"action d"une onde lumineuse caract´eris´ee par un

champ ´electrique-→E(t) =E0cos(ωt)-→ex, de pulsationω(provenant du Soleil) sur un ´electron

d"un atome de l"atmosph`ere, repr´esent´e `a l"aide du mod`ele deThomson.

6Donn´ees :m= 9,1.10-31kg;e= 1,6.10-19C;k= 100N.m-1;h= 10-20kg.s-1.

1)´Ecrire l"´equation diff´erentielle vectorielle du mouvement de l"´electron, puis la normaliser.

(" la normaliser »= comprendre qu"il faut l"écrire sous sa forme " canonique »).

2)Déterminer le régime forcé (solution particulière de l"équation différentielle).

3)Simplifier l"expression précédente sachant que le rayonnement visible provenant du Soleil

possède des longueurs d"onde s"étendant deλb= 400nm(bleu) àλr= 800nm(rouge), longueurs

d"onde du champ-→E(t).

4)Sachant que l"électron diffuse dans toutes les directions un rayonnement dont la puissance

moyenne est proportionnelle au carré de l"amplitude de son accélération, expliquer pourquoi le

ciel est bleu.

Rép : 1)¨--→OM+ω0

Q OM+ω20--→OM=-em-→E(t), avecω0=⎷kmetQ=mω0h;2)--→OM(t) = X mcos(ωt+?)-→ex, avecXm=eE0 mω201??ω2

ω20-1?

2 +1Q2ω2ω20et?=π

2-arctanQ?ωω0-ω0ω?

3)λb/r=2πc

ωb/r(ÜCf CoursO1.I.1.a):λ=c.T=c.2πω), comparer les valeurs deωb,ωravec celle deω0, en déduire :Xm?eE0

0cos(ωt)-→ex, on a

=K×(amplitude de l"accélération)2=K?eω2b/r mω20E 0? 2 , soit=?λrλb? 4 = 16. ?Th´eor`eme du moment cin´etique M6? ???Ex-M6.1Moment cin´etique d"un satellite Un satellite, assimilé à son centre d"inertie, de masse m= 1tonne, décrit une trajectoire elliptique autour de la terre. Ce satellite n"est soumis qu"à la force d"in- teraction fravitationnelle-→Fdirigée vers le centre de forceO, centre d"inertie de la Terre. Le référentiel géocentriqueRg(Oxyz)est supposé ga- liléen. À l"instant représenté, la vitesse du satellite dans ce référentiele st :v= 14650km.h-1.

Donnée :la rayon de la Terre est :RT= 6400km.

1)calculer la valeur du moment cinétique du satellite

enOdansRgà l"instant considéré.

2)À l"aide du Théorème du Moment Cinétique, donner la valeur de la vitessedu satellite :

◦à son apogéeA(point de la trajectoire le plus éloigné de la Terre), ◦à son périgéeP(point de la trajectoire le plus proche de la Terre).

Rép : 1)LO?6,8.1013kg.m2.s-1.

2)vA=LO

qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/29 Exercices de M´ecanique(2eP´eriode)2008-2009 ???Ex-M6.2Trois m´ethodes pour l"´etude d"un mˆeme mouvement Un point matériel de massemest assujetti à glisser sans frottement sur un cerceau vertical de rayonRet de centreO. Il est lié au pointApar un ressort de raideurket de longueur au repos négligeable.

1)Établir l"équation du mouvement du mobile en uti-

lisant successivement les trois méthodes suivantes : a)le théorème du moment cinétique; b)la relation fondamentale de la dynamique; c)le bilan énergétique.

2)Discuter l"existence de positions d"équilibre, leur

stabilité, et dans l"affirmative, la période des petites oscillations au voisinage de l"équilibre. A M e r eq ezy xO g q

Rép : 1)¨θ+ω21sinθ-ω20cosθ= 0;2)θ1= arctanω20ω21(Éq. stable) etθ2=θ1+π(Éq. instable).

???Ex-M6.3Th´eor`eme du moment cin´etique appliqu´e `a un point mobile Prenons un pendule simple, de massemet de longueurl, et imposons de petites oscillations horizontales à son ex- trémitéA:xA=x0sinωt.

1)Pour utiliser le théorème du moment cinétique, pour-

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