[PDF] Notion de tangente et de nombre dérivé :

L'équation de la tangente à la courbe f Une tangente horizontale au point Une demi- tangente verticale à droite au point

[PDF] Chapitre 14 : Dérivation - Normale Sup

4 mar 2011 · admet des tangentes verticales (ce qui se comprend graphiquement puisqu'une tangente horizontale pour f devient après symétrie par rapport à

[PDF] TS Dérivation des fonctions

une demi-tangente verticale) 6°) Règles de tracés des courbes • On commence par tracer les tangentes ou demi-tangentes particulières : - horizontales

[PDF] Notion de tangente et de nombre dérivé : - Free

On dit qu'une fonction f est dérivable en a si sa courbe représentative admet une tangente non verticale en son point d'abscisse a Définition

[PDF] Dérivabilité en un point x0 :

(la tangente est dite horizontale) point d'abscisse x0 une demie tangente Td de vecteur directeur d tangente verticale dirigée vers le haut

[PDF] cours dérivation

F '(a) est le coefficient directeur de la tangente à Cf en a En particulier si f '(a) = 0 la courbe admet une tangente horizontale en (a f(a))

[PDF] MAT 1739 Calcul

être égale `a la pente de la tangente `a la courbe en ce point n'existe pas non plus s'il y a un point de rebroussement ou une tangente verticale en

[PDF] (Tangent et dérivée)

La courbe de la fonction f(x) = x adm et une tangente verticale en 0 S i f'(a) = 0 alors la tangente à la courbe au point d'abscisse a est horizontale

[PDF] Terminale D - PReNuM-AC

vertical ? une tangente horizontale ? une tangente oblique ? • Qu'appelle-t-on fonction dérivée d'une fonction f Évaluation formative :

[PDF] Dérivabilité - AlloSchool

L'équation de la tangente à la courbe f Une tangente horizontale au point Une demi- tangente verticale à droite au point

[PDF] Demi tangente verticale et horizontale pdf - Squarespace

Demi tangente verticale et horizontale pdf limf(x) et limf(x) - MATHS INTER E LKY AMOH ED - AlloSchool Révision BAC 2022 TUNITESTSTN Tangentes et demi

[PDF] Notion de tangente et de nombre dérivé : - Free

On dit qu'une fonction f est dérivable en a si sa courbe représentative admet une tangente non verticale en son point d'abscisse a Définition

[PDF] Fiches de cours

Graphi- quement on peut voir interpréter cela comme une demi-tangente verticale z À retenir Les fonctions valeur absolue et racine ne sont pas dérivables en

[PDF] Dérivation des fonctions

donc la courbe admet une tangente verticale en l'origine présente une tangente horizontale au point d'abscisse y0 diaporama_fonctions_convexes pdf

Tangente et dérivée en un point - jybaudotfr

L'équation réduite d'une tangente est donc généralement celle d'une fonction affine bien qu'à certains endroits il puisse se trouver une tangente horizontale (

[PDF] Chapitre 14 : Dérivation - Normale Sup

4 mar 2011 · admet des tangentes verticales (ce qui se comprend graphiquement puisqu'une tangente horizontale pour f devient après symétrie par rapport à

[PDF] f(x)g(x) = kf(x) (k) = 0 (x) = 1 (xn) (f(x)n) (? = ? = (x)

tangente verticale angentes horizontale et verticale — Une courbe représentative d'une fonction présente une tangente horizontale

Comment savoir si la tangente est verticale ou horizontale ?
si f '(t) est non nul, la pente de la tangente est m = g'(t)/f '(t), celle de la normale (n) sera -1/m si m est non nul, donc si g'(t) distinct de zéro. Sinon, la tangente est "horizontale" et la normale est "verticale". si f '(t) = 0 et g'(t) ? 0 : il faut étudier de façon précise l'annulation de f ' au point t.
C'est quoi une tangente horizontale ?
comment on va faire pour savoir où se trouve cette engeance horizontale sur ma courbe f et bien pour cela il faut se souvenir qu une tangente horizontale c'est donc une droite qui est parallèle à l'axé des abscisses et donc si elle est parallèle à l'axé des abscisses et pas comme ? ni comme ?.
Comment reconnaître une tangente verticale ?
Si f (x)=0, la limite de ?y(h) est infinie, on a donc une tangente verticale. Proposition 7. Soient f et g deux fonction dérivables respectivement en x et en f(x), alors la composée g ? f est dérivable en x et (g ? f) (x) = f (x)._{4 mar. 2011}
pour avoir une tangente horizontale il faut que y'(t)=0 et que x'(t) différent de 0. 1- (1/t²)=0 et je trouve t=1 ou t=-1 mais comme pour 2t - (2/t²)=0 je trouve t=1, il ne faut donc prendre que t=-1 (à t=-1 j'ai donc une tangente horizontale).

[PDF] Notion de tangente et de nombre dérivé : - Free

TSTMG.DérivationNotion de tangente et de nombre dérivé :1 Définition naïve(suffisante en TSTMG):Tangente à une courbe en un point

La tangente à une courbe(C)en un pointAde celle-ci est le prolongement du segment de droite obtenu

par zoom " fort » au niveau du pointA.Définition 1 AC

ACzoom

AC T = tangenteTà la courbe au pointA.Prolongement du segment obtenu par " zoom fort » Définition naïve :Fonction dérivable en un point

On dit qu"une fonctionfest dérivable enasi sa courbe représentative admet une tangente non verticale

en son point d"abscissea.Définition 2Remarque.Il existe en ce sens des fonctions non dérivables : par exemple la fonction suivante n"est pas

dérivable en0: aucun zoom aussi fort soit-il au niveau du pointAd"abscisse0de la courbe ne renverra de

segment de droite prolongeable.y 123
-2-1012xAC A

zoomil n"y a pas de segment " prolongeable »La fonction n"est pas dérivable en0.Nombre dérivé d"une fonction ena

Si une fonctionfdéfinie au voisinage deaest dérivable ena.

Le nombre dérivé defenaest le nombre notéf?(a)égal au coefficient directeur de la tangente à la

courbe représentative defen son pointA(a;f(a))d"abscissea.Définition 3 http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers1

TSTMG.Dérivation

Exemples.Ici,(Cf)est la courbe représentative d"une fonctionfdéfinie sur?. (T1),(T2)et(T3)sont tangentes à(Cf). On a alors : •f(-4) = 5l"image de-4parfest égale à5 f(0) = 1l"image de0parfest égale à1 f(2) = 2l"image de2parfest égale à2 •Les antécédents de5parfsont-4et4 On peut aussi dire : l"ensemble des solutions de l"équationf(x) = 5estS=? -4 ; 4? -1n"a pas d"antécédents parf l"équationf(x) =-1n"admet pas de solutionsS=∅ Les solutions de l"inéquationf(x)>2sont les réelsx?]-∞;-2[?]2 ; +∞[ •f?(-4) =coefficient directeur de(T1) =-21 =-2 f ?(0) =coefficient directeur de(T2) = 0Tangente horizontale au point d"abscisse0de(Cf) f ?(2) =coefficient directeur de(T3) =11 = 1 f

?(-4)>0La tangente au point d"abscisse4de(Cf)est strictement croissante, de coefficient directeur strictement positif

?(2)<0La tangente au point d"abscisse-2de(Cf)est strictement décroissante, de coefficient directeur strictement négatify

-1123456 -5-4-3-2-1012345x12

11(Cf)(T1)(T2)(T3)Équation de la tangente2

Équation de la tangente

Sifest dérivable ena?Ialors(Cf)admet en son point d"abscisseaune tangente(Ta)d"équation :

y=f?(a)×(x-a) +f(a)Propriété 1Exemple.Avec la courbe représentative(Cf)de l"exemple précédent, la tangente(T1)au point d"abscisse

-4de(Cf)admet pour équationy=f?(-4)×(x-(-4)) +f(-4) =-2(x+ 4) + 5??y=-2x-3

2http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers

TSTMG.DérivationFonction dérivée et opérations algébriques usuelles3

31F onctiondérivée

Fonction dérivée

Si une fonctionfest définie sur un intervalleIet est dérivable en tout pointaappartenant àI, on

définit la fonction dérivée de la fonctionfpar la fonction définie surIparf?:x?-→f?(x)

oùf?(x)est le nombre dérivé defenx.Définition 432Opér ationsalgébriq ues Dérivée d"une somme, produit, quotient et multiplication par un scalaire Sifetgsont deux fonctions dérivables sur un intervalleIalors :

•Somme:f+gest dérivable surIet(f+g)?=f?+g?•Produit par un nombre: Siλest un réel fixé,λ.fest dérivable surIet(λ.f)?=λ.(f)?•Produit de fonctions:f×gest dérivable surIet(f×g)?=f?×g+f×g?•Quotient de fonctions: Signe s"annule pas surI,fg

est dérivable surIet?fg =f?×g-f×g?g

2Remarque.Le signe de la dérivée d"un quotient est celui du numérateurf?×g-f×g?car le dénominateurg2est positif puisque c"est un carré)Propriété 2

Dérivées usuelles4À connaître bien évidemment parfaitement

FonctionDérivéeEnsemble de

définitionEnsemble de dérivabiliték??(constante)0 ??x1 x 22xx
33x2x
n,n??,n?= 0nx n-11 x- 1x 2? ?1 x n- nx n+1⎷x1 2 ⎷x? += [0;+∞[?

TSTMG.Dérivation

Exemples.

•Déterminer la fonction dérivée sur]0 ; +∞[de la fonctionf:x?-→x5+x3-x-1x +⎷x+ 4

Sur]0 ; +∞[,f?(x) = 5x4+ 3x2-1 +1x

2+12 ⎷x •Déterminer la fonction dérivée sur]0 ; +∞[de la fonctiong:x?-→3x54 -5x3 +23x-⎷x
2 +4x23 -57

On transformela fonction de départ :g(x) =34

?x5?-53 (x) +23 1x -12 (⎷x) +43 ?x2?-57

Puis on dérive: sur]0 ; +∞[,g?(x) =34

?5x4?-53 (1) +23 -1x 2? -12 12 ⎷x +43
(2x) g ?(x) =15x44 -53 -23x2-14 ⎷x +83
x•On considère la fonctionhdéfinie sur?parh(x) =xx

2+ 1+ 0,5. Montrer queh?(x) =1-x2(x2+ 1)2

h=h?= =avec

Sur?,h?(x) =1×?x2+ 1?-x×(2x+ 1)(x2+ 1)2=x2+ 1-2x2(x2+ 1)2=1-x2(x2+ 1)2•Déterminer la fonction dérivée sur]0 ; +∞[de la fonctioni:x?-→x⎷x

i=i?= =avec

Sur]0 ; +∞[,i?(x) = 1×⎷x+x×12

⎷x =⎷x+x2 ⎷x

Rappels sur les études de signes5

On rappelle quele produit ou le quotientde deux quantités demême signe est p ositif

On rappelle quele produit ou le quotientde deux quantités designes opp osésest négatif 51Étude du signe d"un pr oduit

On rappelle que l"étude du signe d"une expression algébriquese déduit toujoursd"unefactorisation

de l"expressionen produit de facteurs du premier degré(de la formemx+p) Rassurez-vous cependant, l"énoncé d"un exercice vous y aidera toujours. Exemple.Étudier le signe sur[-5 ; 6]de l"expressionA(x) = (2x+ 3)(2-x)(x+ 8)

On code dans un tableau de signes chacun des facteurs précédents et on donne le signe de l"expression finale.x

2x+ 32-xx+ 8Produit=A(x)0

0 00 Il ne peut y avoir changement de signe d"une expression que si celle-ci s"annule!

4http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers

TSTMG.Dérivation52Étude du signe d"un q uotient

C"est exactement le même principe que précédemment vu que les règles de signes pour un produit et un

quotient sont les mêmes. Il faudra juste penser à coder par unedouble barreau bilan lesvaleurs d"annulation du dénomi- nateur (Valeurs interdites) Exemple.Étudier le signe sur[-5 ; 6]de l"expressionB(x) =(2x+ 3)(2-x)(x+ 8)

On code dans un tableau de signes chacun des facteurs précédents et on donne le signe de l"expression finale.x

2x+ 32-xx+ 8Bilan=B(x)-5-3226

-0++ ++0- -0+-

Fonction dérivée et variations6

Fonction dérivée et variations

Pour une fonctionfdérivable sur un intervalleI: •f?(x)>0pour tout réelxdans l"intervalleIsi et seulement sifest croissante surI.

Si l"ensemble des tangentes à la courbe représentative(Cf)defsur un intervalle, ont un coefficient directeur

positif et sont donc croissantes, alorsfest croissante. •f?(x)60pour tout réelxdans l"intervalleIsi et seulement sifest décroissante surI.

Si l"ensemble des tangentes à la courbe représentative(Cf)defsur un intervalle, ont un coefficient directeur

négatif et sont donc décroissantes, alorsfest décroissante.Propriété 3 Schéma d"étude d"une fonction sur un exemple : Étudier les variations sur[-2 ; 4]de la fonctionf:x?-→2x2-3x+ 5

Étape 1 : On dérive la fonction f

Sur[-2 ; 4],fest dérivable comme somme de fonctions dérivables et f ?(x) = Étape 2 : On détermine le signe def?(x)puis les variations defx f ?(x) =Variations def0 http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers5

TSTMG.DérivationAnnales du baccalauréat7

Une entreprise produit et commercialise chaque moisxmilliers d"objets, pourxappartenant à l"intervalle

[0 ; 72]. On appelleC(x)le coût total mensuel de production etR(x)la recette mensuelle réalisée pour la

vente dexmilliers d"objets,C(x)etR(x)étant exprimés en milliers d"euros. On admettra que toute la production est vendue chaque mois. On appelleCla représentation graphique de la fonctionCetRcelle de la fonctionRdans un repère. Ces représentations graphiques sont données ci-dessous.0102030405060700100200300400500600C R

Partie A

Dans cette partie, on répondra aux questions à l"aide de lectures sur le graphique ci-dessus. 1. a. Déterminer le coût total de production de60milliers d"objets en un mois. b.Quelle est alors la recette mensuelle réalisée? c.Est-il rentable pour cette entreprise de produire60milliers d"objets mensuellement?

Justifier votre réponse.

2.Déterminer pour quelles productions mensuelles l"entreprise réalise un bénéfice positif.

Partie B

On admet que la fonctionCest définie parC(x) = 0,1x2+x+ 40et le prix de vente unitaireP(x)par P(x) = 11,2-0,05x, pour tout nombrexde l"intervalle[0 ; 72].

C(x)etP(x)sont exprimés en milliers d"euros.

1. a. Vérifier que la recette mensuelle pour la vente de10milliers d"objets est107milliers d"euros. b.Déterminer la recette mensuelleR(x)réalisée pour la vente dexmilliers d"objets.

2.On admet que le bénéfice mensuelB(x)exprimé en milliers d"euros, réalisé pour la production et la

vente dexobjets est défini parB(x) =-0,15x2+ 10,2x-40. a.CalculerB?(x), oùB?désigne la fonction dérivée de la fonctionB. b.Étudier le signe deB?(x)dans l"intervalle[0 ; 72]. En déduire les variations de la fonctionBdans l"intervalle[0 ; 72].

c.Déterminer la production mensuelle de l"entreprise qui correspond au bénéfice maximal et calculer

le montant de ce bénéfice.

6http://lycee.lagrave.free.fr/cahiers

quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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Comment savoir si la tangente est verticale ou horizontale ?

C'est quoi une tangente horizontale ?

Comment reconnaître une tangente verticale ?

ACzoom

TSTMG.Dérivation

11(Cf)(T1)(T2)(T3)Équation de la tangente2

Équation de la tangente

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31F onctiondérivée

Fonction dérivée

2Remarque.Le signe de la dérivée d"un quotient est celui du numérateurf?×g-f×g?car le dénominateurg2est positif puisque c"est un carré)Propriété 2

FonctionDérivéeEnsemble de

TSTMG.Dérivation

Exemples.

Sur]0 ; +∞[,f?(x) = 5x4+ 3x2-1 +1x

On transformela fonction de départ :g(x) =34

Puis on dérive: sur]0 ; +∞[,g?(x) =34

2+ 1+ 0,5. Montrer queh?(x) =1-x2(x2+ 1)2

Sur]0 ; +∞[,i?(x) = 1×⎷x+x×12

Rappels sur les études de signes5

2x+ 32-xx+ 8Produit=A(x)0

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2x+ 32-xx+ 8Bilan=B(x)-5-3226

Fonction dérivée et variations6

Fonction dérivée et variations

Étape 1 : On dérive la fonction f

TSTMG.DérivationAnnales du baccalauréat7

Partie A

Justifier votre réponse.

2.Déterminer pour quelles productions mensuelles l"entreprise réalise un bénéfice positif.

Partie B

C(x)etP(x)sont exprimés en milliers d"euros.

2.On admet que le bénéfice mensuelB(x)exprimé en milliers d"euros, réalisé pour la production et la

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