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Chapitre 14 : Dérivation

ECE3 Lycée Carnot

4 mars 2011

1 Définitions et formulaire

1.1 Aspect graphique

L"idée cachée derrière le calcul de dérivées, que vous utilisez déjà depuis plusieurs années pour étudier

les variations de fonctions, est en gros le suivant : les seules fonctions dont le sens de variation est

réellement facile à déterminer sont les fonctions affines, pour lesquelles il est simplement donné par

le signe du coefficient directeur de la droite représentant lafonction affine. Pour des fonctions plus

complexes, on va donc chercher à se ramener au cas d"une droite en cherchant, pour chaque point

de la courbe, la droite " la plus proche » de la courbe autour dece point. C"est ainsi qu"est née la

notion de tangente, à laquelle celle de dérivée est intimement liée. Plus précisément :

Définition 1.Soitfune fonction définie sur un intervalleIetxI, letaux d"accroissement defenxest la fonction définie parτx(h) =f(x+h)?f(x) h.

Remarque1.Le taux d"accroissement n"est pas défini en0. Pourh= 0,τx(h)représente le coefficient

directeur de la droite passant par les points d"abscissexetx+hde la courbe représentative def (droite noire dans le graphique ci-dessous, oùx= 1eth= 1.5).

0 1 2 3 4-1-2-3-4

0123
-1 -2 -3 Définition 2.Une fonctionfestdérivableenxsi son taux d"accroissement enxadmet une limite quandhtend vers0. On appelle alors nombre dérivé defenxcette limite et on la note f (x) = limh0f(x+h)?f(x) h.

Remarque2.En reprenant l"interprétation géométrique précédente, ladroite tracée se rapproche

quandhtend vers0de la tangente à la courbe représentative defau point de la courbe d"abscisse

a. Le nombre dérivé defenxest donc le coefficient directeur de cette tangente, tracée envert sur

le graphique. 1

Remarque3.Pour des raisons pratiques, on aura parfois besoin pour certains calculs d"une définition

légèrement différente du nombre dérivé :f(x) = limyxf(y)?f(x) y?x, qui est équivalente à la précédénte (en posanth=y?x, on se ramène en effet à notre première définition).

Exemples :

Considéronsf(x) =x2et calculons à l"aide de cette définition la dérivée (ou plutôt pour

l"instant le nombre dérivé au point d"abscissex) def. Le taux d"accroissement de la fonction carré enxvautτx(h) =(x+h)2?x2 h=x2+ 2hx+h2?1h= 2x+h. Ce taux d"accroissement a une limite égale à2xquandhtend vers0, doncfest dérivable enxetf(x) = 2x(ce qui correspond bien à la formule que vous connaissez).

Considérons à présentg(x) =

x, le taux d"accroissement degenxvautτx(h) =x+h?x h= (x+h?x)(x+h+x) h(x+h+x)=x+h?xh(x+h+x)=1x+h+x. Six= 0, ce taux d"ac- croissement a pour limite 1

2x, ce qui correspond une nouvelle fois à une formule bien connue.

Par contre,limh0τ0(h) = +, ce qui prouve que la fonction racine carrée n"est pas dérivable en

0. On a tout de même une interprétation graphique intéressante dans ce cas : la courbe repré-

sentative de la fonction racine carrée admet en son point d"abscisse0une tangente verticale. Définition 3.La fonctionfestdérivable à gaucheenxsi son taux d"accroissement admet une limite quandhtend vers0. On note alorsfg(x) = limh0-f(x+h)?f(x) h. De même,festdérivable à droiteenxsiτx(h)admet une limite en0+et on notefd(x) = limh0+f(x+h)?f(x) h.

Remarque4.La fonctionfest dérivable enxsi et seulement si elle y est dérivable à gauche et à

droite et quefd(x) =fg(x). Définition 4.Dans le cas oùfg(x)=fd(x)(ou si une seule des deux limites existe) on dit que la courbe defadmet une (ou deux)demi-tangente à droite ou à gauche. Siτx(h)admet une limite infinie en0+ou en0, on dit que la courbe defadmet une demi-tangente verticale au point d"abscissex. Exemple :Considéronsf(x) =xetx= 0. On a doncτ0(h) =h h. Sih >0,τ0(h) =hh= 1, donc f d(0) = 1; mais sih <0,τ0(h) =?h h=?1, doncfg(h) =?1. La fonction valeur absolue n"est

donc pas dérivable en0, mais y admet à gauche une demi-tangente d"équationy=?x, et à droite

une demi-tangente d"équationy=x(qui sont d"ailleurs confondues avec la courbe).

Définition 5.Une fonctionfestdérivable sur un intervalleIsi elle est dérivable en tout point

deI. On appelle alorsfonction dérivéedefla fonctionf:xf(x). Proposition 1.Soitfune fonction dérivable ena, alors l"équation de la tangente à la courbe représentative defenaesty=f(a)(x?a) +f(a). Démonstration.La tangente est une droite de coefficient directeurf(a)donc son équation peut se mettre sous la formey=f(a)x+b, avecbR. Pour déterminerb, il suffit de constater que le point (a;f(a))appartient à la tangente (qui coupefen ce point), donc on doit avoirf(a) =af(a) +b, soitb=f(a)?af(a). L"équation est doncy=f(a)x+f(a)?f(a)a=f(a)(x?a) +f(a). Proposition 2.Si une fonctionfest dérivable enx, alorsfest continue enx. Remarque5.La réciproque est fausse! Par exemple la fonction valeur absolue est continue surR mais pas dérivable en0. 2 Démonstration.Sifest dérivable enx, on sait quelimh0f(x+h)?f(x)h=f(x). Autrement dit, f(x+h)?f(x) h=0f(x)+o(1). En multipliant tout parh, on obtientf(x+h)?f(x) =hf(x)+o(h). Commelimh0f(x) +hf(x) +o(h) =f(x), on a donclimh0f(x+h) =f(x), ce qui prouve quefest continue enx.

Définition 6.On appelledéveloppement limité à l"ordre1defenal"égalitéf(x+h) =0f(x) +hf(x) +o(h).

Remarque6.Cette égalité signifie simplement que, lorsquehest proche de0,f(x+h)peut être approché parf(x) +hf(x), qui n"est autre que la valeur prise par la tangente au point d"abscisse x+h. On parle d"ordre1car on approchefpar une fonction qui est un polynome de degré1. On peut généraliser cette notion en approchant la fonctionfpar un polynome de degré2,3ou plus

(mais il faut alors quefsoit deux, trois fois dérivable, etc). On parle alors de développement limité

à l"ordre2,3, etc., notion que vous étudierez plus intensivement l"an prochain.

1.2 Opérations

Proposition 3.Soientfetgdeux fonctions dérivables enx. Alorsf+gest dérivable enxet (f+g)(x) =f(x) +g(x). Démonstration.En effet, le taux d"accroissement def+genxvaut x(h) =f(x+h) +g(x+h)?f(x)?g(x) h=f(x+h)?f(x)h+g(x+h)?g(x)h. Autrement dit, c"est la somme des taux d"accroissements defet degenx. Sa limite existe donc et est égale à la

somme des limites de ces taux d"accroissement, c"est-à-dire quelimh0τx(h) =f(x) +g(x), d"où la

formule. Proposition 4.Soientfetgdeux fonction dérivables enx, alorsfgest dérivable enxet(fg)(x) = f (x)g(x) +f(x)g(x). Démonstration.Calculons le taux d"accroissement de la fonctionfgenx: x(h) =f(x+h)g(x+h)?f(x)g(x) h=f(x+h)g(x+h)?f(x)g(x+h) +f(x)g(x+h)?f(x)g(x)h= g(x+h)f(x+h)?f(x) h+f(x)g(x+h)?g(x)h. Le premier terme a pour limiteg(x)f(x)quandh tend vers0(la fonctiongétant dérivable donc continue,g(x+h)tend versg(x)et le reste est le taux d"accroissement defenx), et le second a pour limitef(x)g(x)puisqu"on reconnait le taux d"accroissement deg. On obtient donc bien la formule attendue. Exemple :La fonctionxxlnxest définie et dérivable surR+et a pour dérivéelnx+x1x=

lnx+ 1. Ce résultat nous sera surtout utile dans l"autre sens : on endéduit qu"une primitive de la

fonctionlnest la fonctionxxlnx?x. Proposition 5.Soitgune fonction dérivable enx, et ne s"annulant pas enx, alors1 gest dérivable enxet?1 g? (x) =?g(x)g(x)2. Sifest une autre fonction dérivable enx, alorsfgest dérivable enxet ?f g? (x) =f(x)g(x)?f(x)g(x)g(x)2.

Démonstration.Le taux d"accroissement de1

genxvautτa(x) =1 g(x+h)?1g(x) h. Il n"est défini que si g(x+h)= 0, mais on admettra que, sig(x)= 0(c"est une des hypothèses de la proposition) etgest

continue, alorsgne s"annule pas au voisinage dex. On peut alors réduire au même dénominateur :

3 τx(h) =1g(x+h)g(x)g(x)?g(x+h)h. On reconnait à droite l"opposé du taux d"accroissement de

g, qui tend donc vers?g(a), et le dénominateur à gauche tend versg(x)2cargest dérivable donc

continue ena.

La deuxième formule s"obtient en appliquant simplement la formule de dérivation d"un produit àf

et 1 g:?fg? (x) =f(x)1g(x)?f(x)g(x)g(x)2=f(x)g(x)?f(x)g(x)g(x)2.

Exemple :La formule de dérivation du quotient est notamment très utile pour dériver les fonctions

rationnelles, par exemplef(x) =2x+ 3 x2+ 1est définie et dérivable surR, et f (x) =2(x2+ 1)?2x(2x+ 3) (x2+ 1)2=?2x2?6x+ 2(x2+ 1)2.

Proposition 6.Soitfune fonction dérivable et bijective sur un intervalleI, à valeurs dansJ. Alors

f

1est dérivable en tout pointyJtel quef(f1(y))= 0, et dans ce cas(f1)(y) =1

f(f1(y)).

Remarque7.Les images des valeurs où la dérivée defs"annule, qui sont donc les points où la

fonction réciproque n"est pas dérivable, correspondant enfait à des endroits où la courbe def1

admet des tangentes verticales (ce qui se comprend graphiquement puisqu"une tangente horizontale

pourfdevient après symétrie par rapport à la droite d"équationy=xune tangente verticale pour

f 1). Démonstration.SoityJetx=f1(y). La taux d"accroissement def1enyestτy(h) = f

1(y+h)?f1(y)

h=f1(y+h)?xh. La fonctionfétant bijective deIsurJ,y+hadmet un unique antécédentbsurI. On a doncf(b) =y+het par ailleursf(x) =y, donch= (y+h)?y= f(b)?f(x)etτy(h) =b?x f(b)?f(x). En posanth=b?x, on aτy(h) =hf(x+h)?f(x), avech qui tend vers0quandhtend vers0car la fonctionf1est continue, doncb=f1(y+h)tend vers f

1(y) =x. On reconnait donc la limite quandhtend vers0de l"inverse du taux d"accroissement

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