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Chapitre 14 : Dérivation

ECE3 Lycée Carnot

4 mars 2011

1 Définitions et formulaire

1.1 Aspect graphique

L"idée cachée derrière le calcul de dérivées, que vous utilisez déjà depuis plusieurs années pour étudier

les variations de fonctions, est en gros le suivant : les seules fonctions dont le sens de variation est

réellement facile à déterminer sont les fonctions affines, pour lesquelles il est simplement donné par

le signe du coefficient directeur de la droite représentant lafonction affine. Pour des fonctions plus

complexes, on va donc chercher à se ramener au cas d"une droite en cherchant, pour chaque point

de la courbe, la droite " la plus proche » de la courbe autour dece point. C"est ainsi qu"est née la

notion de tangente, à laquelle celle de dérivée est intimement liée. Plus précisément :

Définition 1.Soitfune fonction définie sur un intervalleIetxI, letaux d"accroissement defenxest la fonction définie parτx(h) =f(x+h)?f(x) h.

Remarque1.Le taux d"accroissement n"est pas défini en0. Pourh= 0,τx(h)représente le coefficient

directeur de la droite passant par les points d"abscissexetx+hde la courbe représentative def (droite noire dans le graphique ci-dessous, oùx= 1eth= 1.5).

0 1 2 3 4-1-2-3-4

0123
-1 -2 -3 Définition 2.Une fonctionfestdérivableenxsi son taux d"accroissement enxadmet une limite quandhtend vers0. On appelle alors nombre dérivé defenxcette limite et on la note f (x) = limh0f(x+h)?f(x) h.

Remarque2.En reprenant l"interprétation géométrique précédente, ladroite tracée se rapproche

quandhtend vers0de la tangente à la courbe représentative defau point de la courbe d"abscisse

a. Le nombre dérivé defenxest donc le coefficient directeur de cette tangente, tracée envert sur

le graphique. 1

Remarque3.Pour des raisons pratiques, on aura parfois besoin pour certains calculs d"une définition

légèrement différente du nombre dérivé :f(x) = limyxf(y)?f(x) y?x, qui est équivalente à la précédénte (en posanth=y?x, on se ramène en effet à notre première définition).

Exemples :

Considéronsf(x) =x2et calculons à l"aide de cette définition la dérivée (ou plutôt pour

l"instant le nombre dérivé au point d"abscissex) def. Le taux d"accroissement de la fonction carré enxvautτx(h) =(x+h)2?x2 h=x2+ 2hx+h2?1h= 2x+h. Ce taux d"accroissement a une limite égale à2xquandhtend vers0, doncfest dérivable enxetf(x) = 2x(ce qui correspond bien à la formule que vous connaissez).

Considérons à présentg(x) =

x, le taux d"accroissement degenxvautτx(h) =x+h?x h= (x+h?x)(x+h+x) h(x+h+x)=x+h?xh(x+h+x)=1x+h+x. Six= 0, ce taux d"ac- croissement a pour limite 1

2x, ce qui correspond une nouvelle fois à une formule bien connue.

Par contre,limh0τ0(h) = +, ce qui prouve que la fonction racine carrée n"est pas dérivable en

0. On a tout de même une interprétation graphique intéressante dans ce cas : la courbe repré-

sentative de la fonction racine carrée admet en son point d"abscisse0une tangente verticale. Définition 3.La fonctionfestdérivable à gaucheenxsi son taux d"accroissement admet une limite quandhtend vers0. On note alorsfg(x) = limh0-f(x+h)?f(x) h. De même,festdérivable à droiteenxsiτx(h)admet une limite en0+et on notefd(x) = limh0+f(x+h)?f(x) h.

Remarque4.La fonctionfest dérivable enxsi et seulement si elle y est dérivable à gauche et à

droite et quefd(x) =fg(x). Définition 4.Dans le cas oùfg(x)=fd(x)(ou si une seule des deux limites existe) on dit que la courbe defadmet une (ou deux)demi-tangente à droite ou à gauche. Siτx(h)admet une limite infinie en0+ou en0, on dit que la courbe defadmet une demi-tangente verticale au point d"abscissex. Exemple :Considéronsf(x) =xetx= 0. On a doncτ0(h) =h h. Sih >0,τ0(h) =hh= 1, donc f d(0) = 1; mais sih <0,τ0(h) =?h h=?1, doncfg(h) =?1. La fonction valeur absolue n"est

donc pas dérivable en0, mais y admet à gauche une demi-tangente d"équationy=?x, et à droite

une demi-tangente d"équationy=x(qui sont d"ailleurs confondues avec la courbe).

Définition 5.Une fonctionfestdérivable sur un intervalleIsi elle est dérivable en tout point

deI. On appelle alorsfonction dérivéedefla fonctionf:xf(x). Proposition 1.Soitfune fonction dérivable ena, alors l"équation de la tangente à la courbe représentative defenaesty=f(a)(x?a) +f(a). Démonstration.La tangente est une droite de coefficient directeurf(a)donc son équation peut se mettre sous la formey=f(a)x+b, avecbR. Pour déterminerb, il suffit de constater que le point (a;f(a))appartient à la tangente (qui coupefen ce point), donc on doit avoirf(a) =af(a) +b, soitb=f(a)?af(a). L"équation est doncy=f(a)x+f(a)?f(a)a=f(a)(x?a) +f(a). Proposition 2.Si une fonctionfest dérivable enx, alorsfest continue enx. Remarque5.La réciproque est fausse! Par exemple la fonction valeur absolue est continue surR mais pas dérivable en0. 2 Démonstration.Sifest dérivable enx, on sait quelimh0f(x+h)?f(x)h=f(x). Autrement dit, f(x+h)?f(x) h=0f(x)+o(1). En multipliant tout parh, on obtientf(x+h)?f(x) =hf(x)+o(h). Commelimh0f(x) +hf(x) +o(h) =f(x), on a donclimh0f(x+h) =f(x), ce qui prouve quefest continue enx.

Définition 6.On appelledéveloppement limité à l"ordre1defenal"égalitéf(x+h) =0f(x) +hf(x) +o(h).

Remarque6.Cette égalité signifie simplement que, lorsquehest proche de0,f(x+h)peut être approché parf(x) +hf(x), qui n"est autre que la valeur prise par la tangente au point d"abscisse x+h. On parle d"ordre1car on approchefpar une fonction qui est un polynome de degré1. On peut généraliser cette notion en approchant la fonctionfpar un polynome de degré2,3ou plus

(mais il faut alors quefsoit deux, trois fois dérivable, etc). On parle alors de développement limité

à l"ordre2,3, etc., notion que vous étudierez plus intensivement l"an prochain.

1.2 Opérations

Proposition 3.Soientfetgdeux fonctions dérivables enx. Alorsf+gest dérivable enxet (f+g)(x) =f(x) +g(x). Démonstration.En effet, le taux d"accroissement def+genxvaut x(h) =f(x+h) +g(x+h)?f(x)?g(x) h=f(x+h)?f(x)h+g(x+h)?g(x)h. Autrement dit, c"est la somme des taux d"accroissements defet degenx. Sa limite existe donc et est égale à la

somme des limites de ces taux d"accroissement, c"est-à-dire quelimh0τx(h) =f(x) +g(x), d"où la

formule. Proposition 4.Soientfetgdeux fonction dérivables enx, alorsfgest dérivable enxet(fg)(x) = f (x)g(x) +f(x)g(x). Démonstration.Calculons le taux d"accroissement de la fonctionfgenx: x(h) =f(x+h)g(x+h)?f(x)g(x) h=f(x+h)g(x+h)?f(x)g(x+h) +f(x)g(x+h)?f(x)g(x)h= g(x+h)f(x+h)?f(x) h+f(x)g(x+h)?g(x)h. Le premier terme a pour limiteg(x)f(x)quandh tend vers0(la fonctiongétant dérivable donc continue,g(x+h)tend versg(x)et le reste est le taux d"accroissement defenx), et le second a pour limitef(x)g(x)puisqu"on reconnait le taux d"accroissement deg. On obtient donc bien la formule attendue. Exemple :La fonctionxxlnxest définie et dérivable surR+et a pour dérivéelnx+x1x=

lnx+ 1. Ce résultat nous sera surtout utile dans l"autre sens : on endéduit qu"une primitive de la

fonctionlnest la fonctionxxlnx?x. Proposition 5.Soitgune fonction dérivable enx, et ne s"annulant pas enx, alors1 gest dérivable enxet?1 g? (x) =?g(x)g(x)2. Sifest une autre fonction dérivable enx, alorsfgest dérivable enxet ?f g? (x) =f(x)g(x)?f(x)g(x)g(x)2.

Démonstration.Le taux d"accroissement de1

genxvautτa(x) =1 g(x+h)?1g(x) h. Il n"est défini que si g(x+h)= 0, mais on admettra que, sig(x)= 0(c"est une des hypothèses de la proposition) etgest

continue, alorsgne s"annule pas au voisinage dex. On peut alors réduire au même dénominateur :

3 τx(h) =1g(x+h)g(x)g(x)?g(x+h)h. On reconnait à droite l"opposé du taux d"accroissement de

g, qui tend donc vers?g(a), et le dénominateur à gauche tend versg(x)2cargest dérivable donc

continue ena.

La deuxième formule s"obtient en appliquant simplement la formule de dérivation d"un produit àf

et 1 g:?fg? (x) =f(x)1g(x)?f(x)g(x)g(x)2=f(x)g(x)?f(x)g(x)g(x)2.

Exemple :La formule de dérivation du quotient est notamment très utile pour dériver les fonctions

rationnelles, par exemplef(x) =2x+ 3 x2+ 1est définie et dérivable surR, et f (x) =2(x2+ 1)?2x(2x+ 3) (x2+ 1)2=?2x2?6x+ 2(x2+ 1)2.

Proposition 6.Soitfune fonction dérivable et bijective sur un intervalleI, à valeurs dansJ. Alors

f

1est dérivable en tout pointyJtel quef(f1(y))= 0, et dans ce cas(f1)(y) =1

f(f1(y)).

Remarque7.Les images des valeurs où la dérivée defs"annule, qui sont donc les points où la

fonction réciproque n"est pas dérivable, correspondant enfait à des endroits où la courbe def1

admet des tangentes verticales (ce qui se comprend graphiquement puisqu"une tangente horizontale

pourfdevient après symétrie par rapport à la droite d"équationy=xune tangente verticale pour

f 1). Démonstration.SoityJetx=f1(y). La taux d"accroissement def1enyestτy(h) = f

1(y+h)?f1(y)

h=f1(y+h)?xh. La fonctionfétant bijective deIsurJ,y+hadmet un unique antécédentbsurI. On a doncf(b) =y+het par ailleursf(x) =y, donch= (y+h)?y= f(b)?f(x)etτy(h) =b?x f(b)?f(x). En posanth=b?x, on aτy(h) =hf(x+h)?f(x), avech qui tend vers0quandhtend vers0car la fonctionf1est continue, doncb=f1(y+h)tend vers f

1(y) =x. On reconnait donc la limite quandhtend vers0de l"inverse du taux d"accroissement

defenx. Sif(x)= 0, on a donclimh0τy(h) =1 f(x)=1f(f1(y)). Sif(x) = 0, la limite deτy(h) est infinie, on a donc une tangente verticale. Proposition 7.Soientfetgdeux fonction dérivables respectivement enxet enf(x), alors la composéegfest dérivable enxet(gf)(x) =f(x).(g(f(x)).

Démonstration.L"idée est de séparer le taux d"accroissement degfpour faire apparaitre ceux de

get defde la façon suivante :gf(y)?gf(x) y?x=gf(y)?gf(x)f(y)?f(x)f(y)?f(x)y?x. Le premier quotient est le taux d"accroissement degenf(x), il converge donc versg(f(x)). Le second est le taux d"accroissement defenx, qui converge versx. On en déduit la formule.

Il y a en fait un (gros) problème, c"est que le premier dénominateur à droite peut très bien s"annuler

(quandf(y) =f(x)) et (contrairement à ce qui se passait pour l"inverse) cela peut se produire aussi

près dexque voulu. Une autre façon (correcte, celle-ci) de prouver cette propriété est de passer

par les développements limités à l"ordre1. On sait quef(x+h) =0f(x) +hf(x) +o(h), et que g(y+k) =0g(y) +kg(y) +o(k). On en déduit quegf(x+h) =g(f(x) +hf(x) +o(h)). En prenanty=f(x)etk=hf(x) +o(h)(ce qui tend bien vers0quandhtend vers0), on a donc gf(x+h) =g(f(x))+(hf(x)+o(h))g(f(x))+o(hf(x)+o(h)) =gf(x)+hf(x)gf(x)+o(h) (tout les termes restants sont effectivement négligeables devanth). Comme on sait par ailleurs quegf(x+h) =gf(x) +h(gf)(x) +o(h), une simple identification donne(gf)(x) = f (x)gf(x). 4 Exemples :La fonctionx(2x+ 3)3est dérivable surRet a pour dérivée23(2x+ 3)2=

6(2x+ 3)2.

La fonctionxex2+2x4est dérivable surRet a pour dérivée2(x+ 1)ex2+2x4.

Remarque8.Les dérivées de composées que nous utiliserons le plus souvent sont les suivantes (u

étant une fonction dérivable quelconque) :

(eu)=ueu. (lnu)=u u(un)=nuun1 u)=u2u

1.3 Dérivées de fonctions usuelles

Les quelques dérivées classiques sur lesquelles il ne faut vraiment pas hésiter : fonctiondérivéefcondition xnnxn1RouRnZ lnx1 xR+ exexR xaaxa1R+aR

Pour la première ligne, le domaine de définition et de dérivabilité estRsin <0, etRsin <0.

Démonstration.Commençons par traiter par récurrence le cas des puissancesentières positives. No-

tonsfn(x) =xn, et prouvons par récurrence la propriétéPn:fnest dérivable etfn(x) =nxn1. Pourn= 1,f1(x) =x, le taux d"accroissement defenxestτx(h) =x+h?x h= 1, doncfest dérivable en tout point etf(x) = 1, ce qui correspond bien à la formule et prouveP1. Supposons désormaisPnvraie, on remarque alors quefn+1=f1fn, doncfn+1est dérivable comme produit de

fonctions dérivables, et en utilisant la formule de dérivation du produit et l"hypothèse de récurrence,

f n+1(x) =fn(x) +f1(x)fn(x) =xn+xnxn1=xn+nxn= (n+ 1)xn, ce qui prouvePn+1et achève la récurrence.

On en déduit ensuite les dérivées des puissances entières négatives en utilisant la formule de dérivation

d"un inverse. Soitp <0etfp(x) =xp=1 xp, avec?p >0. On a doncfp(x) =?(?p)xp1(xp)2=pxp1, ce qui est bien la formule annoncée. Un petit exemple pour la route : la dérivée de1 x4est?4x5.

Pour les dérivées de l"exponentielle et du logarithme, nousmanquons d"une définition réellement

rigoureuse de ces deux fonctions. On pourrait calculer la dérivée de l"une en fonction de celle de

l"autre en utilisant la formule de dérivation d"une réciproque, mais nous nous contenterons de les

admettre. Enfin, pour les puissances quelconques, constatons quexa=ealnx, dont la dérivée vauta xealnx= a xxa=axa1.

2 Dérivées successives; convexité

2.1 Fonctions de classeketk

Définition 7.Une fonction estde classensur un intervalleIsi elle estnfois dérivable surI.

On note alorsf(n)sa dérivéen-ème (et on continue bien sûr à noterf,fetfpour les premières

dérivées). Elle estde classensurIsi de plusf(n)est continue surI. On dit plus simplement que festnounsurI. 5 Remarque9.Une fonctionnsurIest forcémentn1surIpuisqu"une fonction dérivable est nécessairement continue. Une fonctionnest bien entendun. On a donc les implications suivantes : n n n1 n1 1 1 0. Définition 8.Une fonction estde classesur un intervalleIsi elle y est dérivablenfois pour tout entiern.

Remarque10.Toutes ses dérivées sont alors continues (puisqu"on peut toujours dériver une fois de

plus), ce qui justifie qu"on ne distingue paset. Proposition 8.La somme, le produit ou la composée de deux fonctions de classek,kou (sur les bons intervalles dans le cas de la composée) sont respectivementk,ket. Démonstration.Pour la somme, c"est une conséquence du fait quen?k,(f+g)(n)=f(n)+g(n),

ce qui se prouve par une récurrence facile (c"est vrai pour lapremière dérivée, et si c"est vrai au

rangnil suffit de dériver une fois de plus pour obtenir le rangn+ 1). Pour le produit, cf le résultat

suivant.

Pour la composée, on procède par récurrence : on sait que le résultat est vrai pourk= 1. Supposons le

résultat vrai pour un entiern, et prenons deux fonctionsgetfde classen+1. On a(gf)=f.gf, or les fonctionsfetg(et égalementf) sont de classen, donc en appliquant l"hypothèse de

récurrence pour la composée et le résultat précédent pour leproduit,(gf)est de classen, donc

gfde classen+1, ce qui achève la récurrence.

Théorème 1.Formule de Leibniz.

Soientfetgdeux fonctionsnsur un intervalleI, alors(fg)(n)=k=n? k=0? n k? f (k)g(nk).

Démonstration.Vous aurez bien sûr reconnu dans cette formule une grande similitude avec la for-

mule du binôme de Newton. La formule de Leibniz se démontre dela même façon, c"est-à-dire par

récurrence en utilisant la formule de Pascal. Comme nous n"avons pas démontré Newton en cours,

nous passerons également sur Leibniz. Exemple :Pourn= 4, nous obtenons par exemple(fg)(4)=f(4)+ 4fg+ 6fg+ 4fg+g(4). Théorème 2.Toutes les fonctions usuelles sont de classesur leur ensemble de dérivabilité

(c"est-à-dire sur leur ensemble de définition, sauf pour la racine carrée qui ne seraque surR+).

Théorème 3.Théorème du prolongement1.

Soitfune fonction continue sur un segment[a;b], dérivable et1sur]a;b]. Sifadmet une limite finielquandxtend versa, alorsfest dérivable enaetf(a) =l. Remarque11.Ce théorème reste applicable si la limite defenaest infinie, on aura alors une

tangente verticale ena. On utilisera ce théorème systématiquement quand on cherchera à étudier

la dérivabilité d"une fonction aux bornes de son intervallede définition, mais il est indispensable de

commencer par faire un prolongement par continuité si la fonction n"est pas définie en ces bornes.

Exemple :f(x) =xlnx. La fonctionfest définie etsur]0;+[, de dérivéef(x) = lnx+

1. On sait par ailleurs qu"on peut la prolonger par continuitéen0en posantf(0) = 0. Comme

limx0f(x) =?, le prolongement n"est pas dérivable en0, et la courbe y admet une tangente verticale (information très utile pour tracer la courbe).

2.2 Convexité

La convexité est une notion permettant d"affiner nos représentations géométriques de courbes en

ayant une information supplémentaire sur leur forme générale. Elle s"étudie de façon similaire aux

variations, mais nécessite en général un calcul de dérivée seconde. 6 Définition 9.Une fonctionfdéfinie sur un intervalleIestconvexesur I si sa courbe est située au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle. Elle estconcavesurIsi sa courbe est située en-dessous de toutes ses tangentes. Exemple :La fonction carré est une fonction convexe surR.

0 1 2 3-1-2-3

012345

-1

Remarque12.Cette définition géométrique n"est en fait pas la " bonne » définition de la convexité,

mais cette dernière est un peu technique. Je vous la donne en guise de complément :fest convexe

surIsi(x,y)I2,t[0;1],f(tx+(1?t)y)?tf(x)+(1?t)f(y). De même,fest concave surIsi (x,y)I2,t[0;1],f(tx+(1?t)y)?tf(x)+(1?t)f(y). Que signifie tout ceci? En fait, lorsque t[0;1],tx+ (1?t)yprend toutes les valeurs comprises entrexety. De mêmetf(x)+(1?t)f(y)

prend toutes les valeurs comprises entref(x)etf(y). L"inégalité de la définition signifie que tout

point de la courbe situé entre les abscissesxetyest en-dessous (ou au-dessus dans le cas de la

concavité) du point situé à la même abscisse sur la droite rejoignant les points(x,f(x))et(y,f(y)).

Autrement dit, la courbe d"une fonction convexe est située en-dessous de toutes ses cordes. Celle

d"une fonction concave est située au-dessus de ses cordes. Voici une illustration dans le cas convexe

(la courbe rouge est en-dessous de la corde noire en pointillés) :

0 1 2 3 4-1

012345

-1 Proposition 9.Soitfune fonction dérivable sur un intervalleI, alorsfest convexe surIsi et seulement si son taux d"accroissement en tout point deIest une fonction croissante deh. 7 Démonstration.Supposons la fonction convexe surI, etaI. Soient0< h < h(les autres cas sont similaires), on a alorsa+h=ta+ (1?t)(a+h)pour un certaint[0;1], doncf(a+h)? tf(a)+(1?t)f(a+h), d"oùf(a+h)?f(a)?tf(a)+(1?t)f(a+h)?f(a), soitf(a+h)?f(a)? (1?t)(f(a+h)?f(a)). Or, par définition,(1?t)a+h= (1?t)(a+h), donc1?t=h a+h?a=hh. On obtient alors l"inégalitéf(a+h)?f(a)?h(f(a+h)?f(a)) h, soit en divisant parh,τa(h)?τa(h), donc le taux d"accroissement enaest bien une fonction croissante. La réciproque se montre en utilisant le même type de calcul.

Corollaire 1.Une fonction dérivable sur un intervalleIest convexe si et seulement si sa dérivée sur

Iest une fonction croissante. Elle y est convexe si et seulement si sa dérivée est décroissante surI.

Démonstration.En effet, soientxetydeux réels appartenant àI. Posonsh=y?x, on aτx(h) = f(y)?f(x) h?f(x)d"après la proposition précédente; par ailleurs,τy(?h) =f(x)?f(y)?h?f(y). En combinant les deux inégalités, on obtientf(x)?f(y). Corollaire 2.Soitfune fonction2sur un intervalleI, alorsfest convexe si et seulement sif est positive surI. De même,fest concave surfsi et seulement sifest négative surI. Démonstration.En effet,fest croissante sifest positive (cf plus loin). Définition 10.Soitfune fonction de classe2sur un intervalleI, unpoint d"inflexionpourf est un réel pour lequelfchange de signe. Remarque13.On a en particulierf(x) = 0en tout point d"inflexion, et c"est naturellement ainsi

que l"on détermine les points d"inflexion. Il arrive toutefois qu"un réel vérifiantf(x) = 0ne soit pas

point d"inflexion, tout comme un réel vérifiantf(x) = 0ne correspond pas toujours à un extremum.

Remarque14.La fonctionfchange donc de concavité en chaque point d"inflexion. Une autre façon

de voir les choses est que la tangente au point d"inflexion traverse la courbe représentative def,

particularité rare qui explique que le calcul des points d"inflexion améliore la précision du tracé de

courbe. On tracera systématiquement les tangentes aux points d"inflexion à chaque fois que l"on

étudiera la convexité d"une fonction.

Exemple :On cherche à tracer une courbe représentative la plus précise possible de la fonction

f:xex2. La fonctionfest définie etsurR. Elle a des limites nulles en. Sa dérivée estf(x) =?2xex2, doncfest croissante sur]? ;0]et décroissante sur[0;+[. De plus, sa dérivée seconde estf(x) = (?2 + 4x2)ex2. La fonctionfa donc deux points d"inflexion en1

2et en?12. La fonctionfest convexe entre ces deux points et concave le reste du temps, et

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