Sans titre
L'équation de la tangente à la courbe f. C au point d'abscisse 0 Une demi- tangente verticale à droite au point.
Chapitre 14 : Dérivation
4 mars 2011 sentative de la fonction racine carrée admet en son point d'abscisse 0 une tangente verticale. Définition 3. La fonction f est dérivable à ...
6. Études de courbes paramétrées
L'asymptote verticale est une droite qui a pour équation x = a. Si x' (t0) = 0 et y' (t0) ? 0 la courbe admet une tangente verticale en M(t0).
Courbes paramétrées
On trouve les autres tangentes horizontales et verticales par symétrie. Remarque. • Une courbe peut avoir une tangente verticale contrairement à ce à quoi on
(Tangent et dérivée)
U ne droite D est tangente au cercle C au point A si le cercle C et La courbe de la fonction f(x) = x adm et une tangente verticale en 0.
CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI DI NON DERIVABILITA PUNTO
Geometricamente vuol dire che che in x0 c'è una tangente verticale. FLESSO A TANGENTE VERTICALE lim x? x0. + f
Définition : Dérivabilité en un point Définition : Dérivabilité à droite
Tangentes verticales. Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert et soit 0 ? . est dérivable en 0 ? est dérivable à droite et à
Dérivabilité en un point x0 :
point d'abscisse x0 une demie tangente Td de vecteur directeur d tangente verticale dirigée vers le haut f(x0). (respectivement vers le bas) .
Chapitre 6 Courbes paramétrées
place les points o`u il y a des tangentes horizontales des tangentes ver- Si f (a)=0 et g (a) = 0
Fiches de cours
quement on peut voir interpréter cela comme une demi-tangente verticale. z À retenir. Les fonctions valeur absolue et racine ne sont pas dérivables en 0.
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L'équation de la tangente à la courbe f C au point d'abscisse 0 Une demi- tangente verticale à droite au point
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Demi tangente verticale et horizontale pdf limf(x) et limf(x) - MATHS INTER E LKY AMOH ED - AlloSchool Révision BAC 2022 TUNITESTSTN Tangentes et demi
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Tangentes verticales Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert et soit 0 ? est dérivable en 0 ? est dérivable à droite et à
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La droite T d'équation y = f (x0) + f (x0)(x ? x0) est la tangente à la courbe donc la courbe admet une tangente verticale en l'origine
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Exemple usuel La fonction x ?? ? ? x n'est pas dérivable en 0 et présente en ce point là une tangente verticale d'équation x = 0 ? 2 Tangente à
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4 mar 2011 · Si ?x(h) admet une limite infinie en 0+ ou en 0? on dit que la courbe de f admet une demi-tangente verticale au point d'abscisse x Exemple :
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tangente verticale au point M?(xo f(xo)) Dérivabilité sur un intervalle Fonction dérivée Activité 1 Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = x²-4
Quand la tangente est verticale ?
Si la tangente en x0 est verticale, le nombre dérivé en x0 n'existe pas. En général, les tangentes dont on a besoin sont déjà tracées sur le graphique. ? f '(1) La tangente en 1 est verticale, f '(1) n'existe pas.Comment trouver une tangente verticale ?
Equation de la tangente: y- f(xo)= f'(xo)(x- xo) Si f'(xo)=a/b , pour tracer la tangente en Mo, on porte a unités en hauteur et b unités horizontalement (dans le sens correspondant au signe de chacun). Si , f n'est pas dérivable en x mais la courbe représentative de f admet une demi-tangente verticale en Mo.Comment savoir si la tangente est verticale ou horizontale ?
si f '(t) est non nul, la pente de la tangente est m = g'(t)/f '(t), celle de la normale (n) sera -1/m si m est non nul, donc si g'(t) distinct de zéro. Sinon, la tangente est "horizontale" et la normale est "verticale". si f '(t) = 0 et g'(t) ? 0 : il faut étudier de façon précise l'annulation de f ' au point t.- comment on va faire pour savoir où se trouve cette engeance horizontale sur ma courbe f et bien pour cela il faut se souvenir qu une tangente horizontale c'est donc une droite qui est parallèle à l'axé des abscisses et donc si elle est parallèle à l'axé des abscisses et pas comme ? ni comme ?.
ÉTUDES DE COURBES PARAMÉTRÉES41
6. Études de courbes paramétrées6. Études de courbes paramétrées
6.1.Définitions
Remarques
La courbe (C) n'est pas
nécessairement le graphe d'une fonction ; c'est pourquoi on parle de courbe paramétrée et non pas de fonction paramétrée.On peut parfois, en éliminant
le paramètre t entre les deuxéquations, obtenir y comme
fonction de x, et ramener l'étude de la courbe à celle d'une courbe définie par unerelation y = h(x). Soit deux fonctions f et g définies sur le même sous-ensemble D⊂ℝ. Le point M(t) de
coordonnées (f (t) ; g(t)) décrit un sous-ensemble (C) du plan lorsque t varie dans un intervalle I. Une représentation paramétrique d'une courbe (C) est un système d'équations où les coordonnées des points de la courbe sont exprimées en fonction d'un paramètre (souvent noté t, k, , ...). (C) : {x=ft y=gtCes équations sont appelées équations paramétriques de (C).On note parfois également
{x=x(t) y=y(t) Pour que cette définition ait un sens, il faut que x(t) et y(t) existent simultanément. C'est pourquoi le domaine de définition D de la courbe (C) est l'intersection des domaines de définition Dx et Dy des fonctions x(t) et y(t). On a donc D=Dx∩Dy. Exercice 6.1Soit a et b deux nombres réels. Trouvez le domaine de définition de la courbe paramétrée : {x=t-a y=b-t6.2.Exemple de courbes paramétrées : figures de LissajousJules Antoine Lissajous
(1822 - 1880) {x=sin5t y=cos3t, t∈[0;2π[Les figures de Lissajous (ou courbes de Bowditch) sont de la forme : {x=asint2 et n≥1
En électronique, on peut faire
apparaître des figures de Lissajous sur un oscilloscope.Didier Müller, 2017Analyse
CHAPITRE 6
6.3.Asymptotes
Asymptote verticale
Asymptote verticale x = 1On obtient une telle asymptote lorsque x tend vers une valeur finie a et y tend vers une valeur infinie. limtt0 xt=a, avec a∈ℝlimtt0yt=±∞ L'asymptote verticale est une droite qui a pour équation x = a. Si x(t) - a est positif, la courbe est à droite de l'asymptote, sinon elle est à gauche.La courbe coupe l'asymptote lorsque x(t) = a.
Asymptote horizontale
Asymptote horizontale y = 1.5Cette fois, x tend vers l'infini et y tend vers une valeur finie b lorsque t
tend vers t0. limtt0 xt=±∞ limtt0yt=b, avec b∈ℝL'asymptote horizontale est une droite qui a pour équation y = b.
Si y(t) - b est positif, la courbe est en dessus de l'asymptote, sinon elle est en dessous.La courbe coupe l'asymptote lorsque y(t) = b.
Asymptote oblique
Asymptote oblique y = x 1
Si m = , il n'y a pas d'asymptote
oblique.Une asymptote oblique ne peut exister que si x et y tendent tous deux vers l'infini lorsque t tend vers t0. Cette condition est nécessaire mais pas suffisante. limtt0 La droite y = mx + h est une asymptote oblique si : m=limtt0yt xt∈ℝ Ces formules sont analogues à celles rencontrées au chapitre 5, page 33. La position de la courbe est donnée par le signe de y(t) - mx(t) - h. Si cette expression est positive, la courbe est en dessus de l'asymptote, sinon, elle est en dessous.AnalyseDidier Müller, 201742
ÉTUDES DE COURBES PARAMÉTRÉES43
6.4.Dérivées et points particuliers
DérivéesLes valeurs de t décrivant le domaine d'étude, on étudie, lorsque c'est possible, le signe
des dérivées dx dt et dy dt. Comme pour les fonctions d'une seule variable (voir chapitre 5), on présentera les résultats sous forme d'un tableau, qui est constitué de deux tableaux accolés, donnant les variations de x et y (voir § 6.6).Calcul de
dy dxOn peut écrire : m=y'x=y't x'tdy dx donne la pente de latangente à la courbe.Regardons deux points voisins de la courbe : M(t0) et M(t0 + ). La droite passant par
ces deux points tend vers la tangente à la courbe au point M(t0) lorsque tend vers zéro.
La pente de la droite passant par M(t0) et M(t0 + ) est :mt0;=yt0-yt0
Lorsque tend vers 0, la pente tend vers dy dtt0 dx dtt0=dy dxt0. Points particuliersSi x' (t0) g 0 et y' (t0) = 0, la courbe admet une tangente horizontale en M(t0). Si x' (t0) = 0 et y' (t0) g 0, la courbe admet une tangente verticale en M(t0). Si x' (t0) = 0 et y' (t0) = 0, la courbe admet un point singulier en M(t0). On pourra compléter le tableau des dérivées par une ligne donnant les valeurs de y't x'tpour les valeurs de t figurant déjà dans ce tableau.6.5.Méthode
L'étude d'une courbe paramétrée comprend six étapes.1.Domaine de définition
2.Asymptotes
3.Dérivées et tableau de variation
4.Points particuliers
5.Intersection avec les axes
6.Représentation graphiqueDéterminer le domaine D où la courbe est définie.
Déterminer, s'il y en a, les A.V, les A.H et les A.O.Calculer dx
dt, dy dt et dy dx. Faire le tableau de variation. Déterminer, s'il y en a, les points à tangente verticale, les points à tangente horizontale et les points singuliers. Calculer la limite de la pente de la tangente aux points singuliers, i.e. m=limtady dxtTrouver les t qui satisfont x(t) = 0 et y(t) = 0.
Dessiner la courbe en utilisant les renseignements glanés aux étapes 1 à5. Il n'est pas interdit de calculer certains points de la courbe, afin de faire
un dessin plus précis.Didier Müller, 2017Analyse
CHAPITRE 6
Comment remplir le
tableau de variationLes flèches indiquent
comment évolue la courbe en fonction de t.1.Commencez par écrire dans l'ordre croissant les valeurs de t trouvées auxétapes précédentes, de à . Prenez soin de laisser une colonne vide entre
les valeurs de t.2.Outre la première ligne que vous venez d'écrire, le tableau en comprendra cinq
autres (ou seulement quatre s'il n'y a pas de point singulier).Dans l'ordre : x, dx
dt, y, dy dt, dy dx.3.Hachurez les colonnes où la courbe n'existe pas.
4.Remplissez la ligne
dx dt avec des +, des - et des 0.5.Dans la ligne x, mettez des r au-dessus des + et des t au-dessus des -.
6.Remplissez la ligne dy
dt avec des +, des - et des 0.7.Dans la ligne y, mettez des s au-dessus des + et des q au-dessus des -.
8.Notez les coordonnées des points où t est donné (s'ils existent).
9.S'il y a des points singuliers, notez dans la ligne dy
dx la valeur de la pente.Comment dessiner
la courbe1.Dessinez d'abord les asymptotes et les points connus.2.Dessinez ensuite la courbe en lisant le tableau de gauche à droite. Regardez
comment évoluent les coordonnées des points en fonction de t.3.Notez sur le dessin les valeurs de t aux endroits remarquables.
6.6.Deux exemples complets
Premier exemple
Étudions la courbe
{x=t2 t-1 y=t t2-11.Domaine de définitionL'ensemble de définition de la courbe est D = ℝ\ {1 ; 1}.2.AsymptotesQuand t∞, il y a une A. H., car
limt∞yt=0Quand t-∞, il y a une A. H., car
{limt-∞ xt=-∞ limt-∞ yt=0Quand t = 1 : {limt-1xt=-1 2 t-1yt=-∞ limt-1 t-1yt=∞Il y a donc une A. V. quand t = 1.
AnalyseDidier Müller, 201744
ÉTUDES DE COURBES PARAMÉTRÉES45
Quand t = 1, il y a une A. O. :{limt1xtn'existepas,car {limt1 t1xt=-∞ limt1 t1xt=∞ limt1ytn'existepas,car {limt1 t1yt=-∞ limt1 t1yt=∞Calcul de mm=limt1t
t2-1 t2 t-1=limt11 t1 t1=limt1t
t1=1 2Calcul de h
h=limt1quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27[PDF] cours technologie 3ème cahier des charges
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