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FILIERE : SEGȂ S1- SECTION B&C FEUILLE DE TD N° 2 Année: 2020-2021
ANALYSE MATHEMATIQUE
Exercice 1
Déterminer définition des fonctions suivantes, puis représenter graphiquement ces ensembles dans le planExercise 2
Exercice 3
1. Calculer les dérivées partielles première et secondes de f.
2. Donner la hessien de f et calculer son hessien.
f(x,y) : a) Donner les conditions nécessaires et déterminer le(s) point(s) critique(s). b) En utilisant les conditions suffisantes, déterminer la nature de(s) point(s) critique(s).Exercice 4
On considère le p
1. Méthode de Lagrange
point(s) candidat(s) pour(P) c) Justifier la nature de(s) point(s) trouvé(s).Université Sultan Moulay Slimane
FacultĠ d'Ġconomie et de gestion
Béni Mellal
SEG-S1-Analyse Mathématique
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2. Méthode de substitution
a) Montrer que le problème. (P) variable h(x) b) Résoudre ce problème3) Que pouvez-vous dire lorsque ߙൌ- ? Et lorsque ߙ
Correction
Exercice 1
Domaine de définition géométriquement dans le plan Domaine de définition géométriquement dans le planSEG-S1-Analyse Mathématique
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Domaine de définition géométriquement dans le plan ࢞ est la partie hachurée en bleuExercice2
1. On commence par chercher les points critiques de f. Pour cela, on calcule les dérivées
partielles par rapport à x et à y : Un point (x,y) est critique si et seulement s'il est solution du système en étudier la nature, calculons les dérivées partielles d'ordre 2SEG-S1-Analyse Mathématique
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On en déduit
Nature de point (0 ;0)
Pour déterminer la nature de ce point, on calcule soit డమAlors డమ
On procède exactement de la même façon. Cette foisSEG-S1-Analyse Mathématique
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.f admet donc deux points critiques qui sont (0 ;0) (-4 ;2). Etudiant maintenant la nature de ces pointsOn calcule les dérivées partielles
Un point (x,y) est critique si et seulement s'il est solution du système : Le seul point critique est (4;2). Étudions maintenant la nature de ce point en calculant au préalable le déterminant de la matrice hessienne de la fonction f en (4 ;2)SEG-S1-Analyse Mathématique
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௬య et డమ déterminer sa nature on calcule డమ ସ- , donc le point (4,2) est un point minimum.Recherche des points critiques, :
Un point (x,y) est critique si et seulement s'il est solution du système : On trouve que les points critiques de f sont (0,0) et (2,1).Classification : Étudions maintenant séparément chacun de ces points en calculant au préalable le
déterminant de la matrice hessienne de la fonction f en un point quelconque :SEG-S1-Analyse Mathématique
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La matrice hessien au point (0,0) est :
Comme detܪ
o La matrice hessien au point (2,1) est :Comme detܪ
Exercice 3
1. Les dérivées partielles premières et secondes de f sont :
2. On en déduit la matrice hessienne de f(x,y) :
ͳെ- ቇ et det ܪ
3. On se propose f(x,y)
a) :SEG-S1-Analyse Mathématique
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d admet un point maximum local en ce point.Exercice 4
On souhaite résoudre ce problème sur Թାכ1) Méthode de Lagrange
a. f(x,y) est concave comme somme de deux fonctions concaves b. Le lagrangien associé à (p) est :Alors les condition néc :
On trouve donc un point unique (1, Ƚ) pour ɉ ൌെͳ c. Comme la fonction objectif f est concave et la fonction contrainte est affine, les CNO sont suffisantes. On conclut que f admet un maximum global est (1, Ƚ) .2. Méthode de substitution
Sous la contrainte, la fonction objective devient donc : Résoudre (p) revient à optimiser la fonction h(x).SEG-S1-Analyse Mathématique
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b) On en déduit que la fonction h(x) est concave. Elle admet donc un maximum global en x=1. On retrouve donc que( P) admet maximum global en (x,y)=(1, ߙ3. Lorsque ߙ
pas au domaine de définition . lorsque ߙ donnent y= ߙquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5[PDF] examen du nouveau né en salle de naissance
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