[PDF] Feuille dexercices n 21 : Géométrie plane

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Feuille d"exercices n

21 : Géométrie plane

PTSI B Lycée Eiffel

7 juin 2016

Exercice 1 (*)

On se place dans un repère orthonormal(O;~i;~j)et on considère le point (1;1)ainsi que les vecteurs~ude coordonnées(1;2)et~vde coordonnées(2;3).

1. Montrer que(

;~u;~v)est un repère. Est-il orthonormal?

2. SoientA(5;6)et~zle vecteur de coordonnées(3;3)dans(O;~i;~j). Calculer leurs coordon-

nées dans( ;~u;~v).

3. Déterminer une équation dans(

;~u;~v)du cercle de centreOet de rayon1.

Exercice 2 (***)

SoitABCun triangle, on notea=BC,b=ACetc=AB, ainsi queple demi-périmètre du triangle :p=a+b+c2

1. Démontrer la relation d"Al-Kashia2=b2+c22bccos(\BAC).

2. En déduire la valeur desin(\BAC)en fonction dea.

3. Prouver la relation des sinus

asin( \BAC)=bsin( \ABC)=csin( \ACB).

4. Démontrer la formule de HéronA=pp(pa)(pb)(pc), oùAdésigne l"aire du triangle

ABC.

Exercice 3 (*)

Dans un parallélogrammeABCD, prouver la relationAC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.

Exercice 4 (*)

Démontrer à l"aide d"un calcul de produit scalaire que les hauteurs d"un triangle non aplati sont

concourantes.

Exercice 5 (***)

SoitABCun triangle vérifiantAB= 1. On se place dans un repère orthonormal dont l"origine est le pointAet le premier vecteur!AB. On note(x;y)les coordonnées du pointCdans ce repère.

1. Calculer les coordonnées de l"isobarycentreGdu triangleABC.

2. Calculer les coordonnées de l"orthocentreHdu triangleABC.

3. Calculer les coordonnées du centre du cercle circonscritOdu triangleABC.

1

4. Vérifier que

!GH= 2!OG.

5. Montrer que les symétriques deHpar rapport aux côtés du triangle appartiennent à son

cercle circonscrit.

6. Montrer que les symétriques deHpar rapport aux milieux du triangle appartiennent égale-

ment à son cercle circonscrit.

Exercice 6 (*)

Déterminer toutes les équations possibles (cartésienne, paramétrique, normale) de chacune des

droites suivantes : droite d"équation cartésienne2xy+ 3 = 0. droite passant par les pointsA(1;2)etB(5;10). droite orthogonale à la précédente et passant parC(1;3). droite passant parD(1;1)et ayant pour vecteur normal!n(1;2).

Exercice 7 (**)

On se place dans un repère orthonormal du plan. Pour tout réela, on définit la droiteDa d"équation(1a2)x+2ay+(a22a3) = 0. Déterminer tous les points par lesquels passe au moins

une droite de la famille. Déterminer tous les points par lesquels passent deux droites perpendiculaires

de la famille.

Exercice 8 (*)

Dans un repère orthonormal direct, on considère les pointsA(1;1),B(2;3)etC(3;3).

1. Calculer l"aire du triangleABC.

2. En déduire la distance deAà la droite(BC).

3. Déterminer une équation de la droite(AB).

4. En déduire la longueur de la hauteur issue deC, et retrouver ainsi l"aire du triangleABC.

Exercice 9 (***)

On considère trois points non alignés dans le plan, et une droite(d)coupant respectivant les droites(BC),(AC)et(AB)enA0,B0etC0. Par le pointA0, on mène les parallèles à(AB)et(AC) qui coupent respectivement enDetEla parallèle à(BC)passant parA. On souhaite prouver que les droites(B0D)et(C0E)sont parallèles, et on se place pour cela dans le repère(A;!AB;!AC).

1. Faire une figure.

2. Que peut-on dire des coordonnées deB0et deC0dans le repère choisi?

3. Déterminer en fonction de ces coordonnées une équation de(d), de(BC), puis les coordonnées

des pointsA0,DetE.

4. Conclure à l"aide d"un calcul de déterminant.

Exercice 10 (**)

SoitABCun triangle tel queAB=a,BC= 2aetAC=ap3.

1. Que peut-on dire du triangleABC?

2. DéterminerfMj 4MA2+ 3MB2+MC2= 6a2g.

3. DéterminerfMj 4MA2+ 3MB2+MC2= 0g.

2

Exercice 11 (**)

Dans un repère orthonormal direct, on définit la droiteDpar l"équationx+y+ 1 = 0et, pour tout réel, le cercleCd"équationx2+y22x+ 2y+ 2 = 0. Décrire le cercleCen fonction du paramètrepuis étudier l"intersection deDet deC.

Exercice 12 (*)

Dans un repère orthonormal, on considère pour un réel >0les deux cercles de centre(;0)

tangent à l"axe(Oy)et de centre(;)tangent à l"axe(Ox). Déterminer les coordonnées des points

d"intersection de ces cercles, et leur lieu lorsquedécritR+.

Exercice 13 (**)

SoitCle cercle d"équation cartésiennex2+y26x+ 2y+ 5 = 0, etA(4;4). On peut mener par le pointAdeux tangents au cercleC. Calculer la distance entre les points d"intersection de ces tangentes et deC.

Exercice 14 (***)

On utilise dans ce problème la notationABpour désigner la mesure algébrique du segment[AB]. SoitCun cercle du plan de centreOet de rayonR, etMun point du plan, on appelle alors puissance deMpar rapport àCle réelpC(M) =OM2R2.

1. Supposons queMappartienne à une droiteDcoupantCen deux pointsAetB. On noteA0

le point diamétralement opposé àAsurC, montrer queMA:MB=!MA:!MA0=pC(M).

2. SupposonsMextérieur au cercleCet notonsSetTles points de contact deCavec ses

tangentes issues deM. Indiquer une méthode pour construireSetTà la règle et au compas.

3. Montrer queMT2=MS2=pC(M).

4. Montrer que quatre pointsA,B,CetDtels que(AB)et(CD)ne soient pas parallèles (elles

se coupent alors en un point notéN) sont cocycliques si et seulement siNA:NB=NC:ND.

5. On considère désormais deux cercles non concentriquesCetC0, de centres respectifsOetO0

et on notel"ensemble des pointsMvérifiantpC(M) =pC0(M). (a) SoitIle milieu de[OO0], montrer queM2,!OO0:!IM=k, oùkest une constante à préciser. (b) En déduire la nature de(appelée axe radical des deux cercles).

(c) Déterminer l"axe radical de deux cercles dans le cas où ils sont sécants en deux pointsA

etB. (d) Déterminer l"axe radical de deux cercles quand ils sont tangents en un pointA. (e) Justifier que si trois cerclesC,C0etC00ont des leurs centresO,O0etO00non alignés, les trois axes radicaux définis à partir de ces trois cercles sont concourants en un pointR, appelé centre radical des trois cercles.

(f) Décrire une construction géométrique de l"axe radical de deux cercles disjoints, faisant

intervenir un troisième cercle sécant aux deux premiers. 3quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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