Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan
déterminer l'équation d'un cercle passant par trois points Quelles sont les coordonnées de ces points d'intersection ? Exemple : • Calculer les points ...
Le cercle trigonométrique est centré à lorigine du plan cartésien et
Le point P(0) est situé à la coordonnée (1 0) du cercle trigonométrique. t: angle en radian ou longueur d'un arc. Exemple: Déterminer si ces points sont
Centre et rayon dun cercle passant par trois points donnés
5 févr. 2006 Calcul des coefficients des droites médiatrices. Pou P1P2 la droite médiatrice passe par le point milieu du segment de coordonnées.
Polycopié dexercices et examens résolus: Mécanique du point
Déterminer les coordonnées cylindriques puis sphériques du point M (2 2 3
Chapitre 1 : 2D Courbes Paramétrées et coordonnées polaires
points. Page 20. La courbe semble être un cercle. Pour convertir l'équation polaire en Cartésienne
Système de coordonnées
Dans le système de coordonnées cylindriques un point P de l'espace (3-D) est représenté Il simplifie en particulier les calculs d'integrals triples sur.
Géométrie et géométrie analytique
1. déterminer une équation cartésienne du cercle C passant par les points O M et N
La droite et le cercle dans le plan métrique
ner les coordonnées de points particuliers de distance entre deux points
CHAPITRE 6 CINÉMATIQUE DU SOLIDE 6.1. Coordonnées dun
Déterminer la position d'un point dans l'espace sa vitesse et son accélération Dans le repère R1 la trajectoire de la valve est un cercle.
Exercice 3 : Déterminer les coordonnées du point dintersection des
Déterminer les coordonnées du point I centre du cercle circonscrit au triangle. Attention à la modif d'enoncé
[PDF] Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan
Exercice 3 15: Calculer les points d'intersection entre le cercle x2 + y2 + 15x – 12y + 36 = 0 et les axes de coordonnées Exercice 3 16: Déterminer l'équation
[PDF] Centre et rayon dun cercle passant par trois points donnés
5 fév 2006 · Calcul des coefficients des droites médiatrices Pou P1P2 la droite médiatrice passe par le point milieu du segment de coordonnées
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Enoncé – Calculer la circulation des champs suivants le long des courbes indiquées ‚ Champ ÝÑ F px y zq “ z ? ´ y ` x k Parabole ?ptq“pt
[PDF] Chapitre 3 - Coordonnées dun point du plan
Calculer la distance de deux points connaissant leurs coordonnées • Calculer les coordonnées du milieu d'un segment • Utiliser les propriétés des triangles
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Produit scalaire puissance d'un point par rapport à un cercle et géométrie du triangle Igor Kortchemski Si ABC est un triangle on note a = BCb = ACc
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On peut considérer le point comme étant un cercle de Exemple : déterminer l'équation cartésienne du cercle de Déterminons les coordonnées des points
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Tracer (d') 3) Soit (C) le cercle circonscrit au triangle ABE a Calculer les coordonnées du point I le centre de (
[PDF] Exercice 3 : Déterminer les coordonnées du point dintersection des
Déterminer les coordonnées du point I centre du cercle circonscrit au triangle Attention à la modif d'enoncé car il y avait 2 points I ! 1 yB= yA donc la
[PDF] Chapitre 1 - La droite et le cercle
y) un point du plan Le vecteur OP a pour coordonnées TH ´EOR `EME 2 Une droite tangente en un point P `a un cercle de centre O est perpen-
[PDF] Système de coordonnées
Dans le système de coordonnées cylindriques un point P de l'espace (3-D) est représenté Il simplifie en particulier les calculs d'integrals triples sur
Comment trouver les coordonnées d'un point sur un cercle ?
Avec le rayon connu, la formule est 2r × ? ; avec le diamètre connu, la formule est d × ?, donc 10 × 3,14 = 31,4 m.Quelle est la formule d'un cercle ?
En déduire que : M(x; y) ? C(I; r) ?? ?t ? R, x = a + r cost et y = b + r sin t Ecrire cette équivalence en utilisant l'affixe z = x + yi du point M et l'affixe ? = a + bi du point I. est une représentation paramétrique du cercle C. t est le paramètre.
![Chapitre 1 : 2D Courbes Paramétrées et coordonnées polaires Chapitre 1 : 2D Courbes Paramétrées et coordonnées polaires](https://pdfprof.com/Listes/17/24724-17polaires.pdf.pdf.jpg)
Chapitre 1 : 2D
Courbes Paramétrées et coordonnées polairesPartie 2 : Courbes polaires
Un système de coordonnées représente un point du plan par un couple de nombres (réels en général) appelés coordonnées.Systèmes de coordonnées dans un plan
Habituellement, on utilise des
coordonnées cartésiennes qui correspondent à des projections sur des axes perpendiculaires.On peut également utiliser un système de
coordonnées introduit par Newton, appelé système de coordonnées polaires.Pole et axe polaire
origine). Ontraceunrayon(demi-droite) partant deO, on l'appelle adže polaire. Cet axe est généralement tracé horizontalement vers la droite et correspond ă l'adže des abscisses (x) en coordonnéesCartésiennes.
O poleaxe polaireCoordonnées polaires
SiPestunpoint duplan(тO), soient :
rladistance deO àP.
radians) entrel'adže polaireetlaligne OP.SiP =O, alorsr =0, onconvient que
(0, ș) representelepole pourtoute valeurdeș.P estreprésentéparlecouple(r,ș).
r,șsontappeléscoordonnées polairesdeP. On étend la définition des coordonnées polaires(r,ș)au cas oùrest On convientque les points (-r,ș)et(r,ș)sont sur la même droite (radiale) passant par Oet à lamêmedistance | r | deO,maissur les côtés opposéspar rapport àO. Sir> 0, le point(r, ș) se trouve dansle mêmequadrant queș. Sir< 0,ilse trouvedansle quadrant situé du côtéopposépar rapport au pole.Notonsque(r, ș)
représentele même point que(r, ș+ ʌ).Coordonnées polaires
Exercice
Tracerlespoints de coordonnéespolaires:
a.(1, 5ʌ/4) b.(2, 3ʌ) c.(2, 2ʌ/3) d.(3, 3ʌ/4)Solution
Le point (1, 5ʌ/4) :
Le point (2, 3ʌ):
Le point (2, 2ʌ/3) :
Le point (3, 3ʌ/4) :
Il estsituédansle 4èmequadrant.
angle 3ʌ/4 estdansle secondquadrant
etrestnégatif.CARTÉSIENNES ET POLAIRES
En coordonnéesCartésiennes,chaquepointaune
représentationunique. Alorsque, encoordonnéespolaires,chaquepointa une infinité dereprésentations. Par exemple, le point (1, 5ʌ/4) deexercice précédentpeut : (1, 3ʌ/4), (1, 13ʌ/4), or(1, ʌ/4). Unpointde coordonnéespolaires(r, ș) (r, ș+ 2nʌ) et(-r, ș+ (2n + 1)ʌ)oùnestunentierrelatif quelconque. Lepassage descoordonnées polairesauxCartésiennesLe pole correspond àorigine.
polairecoincide avecdes abscisses positives.
Sile point P a pour coordonnées
polaires (r, ș), sescoordonnéesCartésiennes(x, y) sont :
cos sin xr yr TCARTÉSIENNES ET POLAIRES
Pour trouverretșquandx etysont connus,onutilise leséquations:
Elle sont déduitesdeséquations
précédentesousimplement"lues» sur lafigure.2 2 2tanyr x yx
CARTÉSIENNES ET POLAIRES
Exercices
1.Convertirles coordonnées polaires dupoint (2, ʌ/3) en
coordonnées Cartésiennes.2.Représenterle point decoordonnées Cartésiennes(1, 1)
en termes de coordonnéespolaires.Solution 1
Puisquer= 2etș= ʌ/3,
Donc,le point est(1, ) en coordonnées Cartésiennes.1cos 2cos 2 1323sin 2sin 2. 332
xr yr T ST 3Solution 2
Sionchoisitr> 0:
Commele point (1, 1) se trouve dansle 4èmequadrant, onpeutchoisirș= ʌ/4ouș= 7ʌ/4.Aussi,uneréponsepossible est: ( , ʌ/4)
Uneautreréponsepossible est: ( ,7ʌ/4)
2 2 2 21 ( 1) 2
tan 1 r x y y x 22Base comobile
Le vecteur position du point M dans R: OMest souvent noté r, on noteurle vecteur unitaire de même direction: r= rur= r (cosux+ sinuy), uvecteur unitaire orthogonal à ur(sens direct). (M, ur, u) forme un repère orthonormé direct comobile. u= cos(+/2) ux+ sin(+/2) uy= -sinux+ cosuy On voit facilement, en dérivant les coordonnées de uret upar rapport à que : ORepère O, et de base
orthonormée directe (ux, uy). Le point Oest le pole et O,ux coordonnées polaires.Les coordonnées cartésiennes xet yen
fonction des coordonnées polaires ret ș:Courbespolaires
r= f(ș) [ou, plus généralement,F(r, ș
moins une représentation polaire (r, ș), dont les coordonnées r =2 ?cette courbe est constituée de tous les
points (r, ș) avec r = 2.r représente la distance du point
au pole.Donc, la courbe r = 2 est le cercle de
centre O et rayon 2.En général, équation r = areprésente
un cercle de centre O et rayon |a|.Exercice
Tracer la courbe polaire ș= 1.
Solution
Cettecourbe est constituéedetous lespoints (r, ș) tells que polaireșsoit1 radian. ladroitepassantparO et faisantun angle de1radian avec polaire.Notonsque :
Lespoints (r, 1) de
cettedroiteavecr> 0 sont dansle 1erquadrant.Les points (r, 1) avec r< 0 sont
dansle 3èmequadrant.Exercice
a.Tracerlacourbe polairer= 2 cos ș. b.Trouver une équationCartésiennedecettecourbe.Solution :
Pour commencer,nousindiquonslesvaleurs derpour certaines valeurs deș.On traceles pointscorrespondantpour (r, ș).
Puis, on jointcespoints pourtracerla
courbecommesuit.La courberessembleà un cercle.
On a seulementutilisé les valeurs deșcomprises entre0 et ʌsionlaisseșcroître au-delà deʌ, onretrouvelesmêmes points.La courbesembleêtreun cercle.
Pourconvertirpolaire enCartésienne, onutilise:
x= rcos ș,donccos ș= x/r.
quation r= 2 cos șdevientr= 2x/r.
Ce qui donne: 2x =r2= x2+ y2oux2+ y2 2x= 0
En complétantlecarré, onobtiend: (x 1)2+y2=1estcellecercle decentre(1, 0) et derayon1.
La figure montre que le cercle a
quationr =2 cosș.angle OPQestun angle
droit, doncr/2 =cos ș.Symétrie
Quandontrace une courbepolaire, ilest
quelquefoiscommode de tirer parti des symétries.Sipolaireestinvariante
lorsqueșestremplacéparș, lacourbe estsymétriquepar rapportpolaire.Lacourbeprécedentestsymétriquepar
polaire, puisquecos(ș)=cos ș. Cette propriété desymétrieaurait pu êtreutiliséepour tracerlacourbe. On a juste besoin de placer les points pour0 șʌ/2 et ensuite de faire une réflexion polaire pourobtenirle cerclecomplet.Autressymétries
Siéquation estinvariantelorsquerest
remplacéparr, ou quandșestremplacé parș+ ʌ, lacourbe estsymétriquepar rapportaupole.Ceci veut dire que lacourbe estinvariante
parrotationorigine.Siéquation estinvariantequandșest
remplacéparʌș, lacourbe est symétriquepar rapport à laverticaleș= ʌ/2.Exemple : parabole
Comme sinș= sin(ʌș), lacourbe estsymétriquepar rapport à la verticaleș= ʌ/2. Les valeursprisespar rsont:Cecicorrespond à la courbetracéeau dessus
(paraboleverticale).On le vérifieenpassant à cartésienne.
O r 01 /2 13/21/2
r(1 sin) =1, donc : r=1 + rsin En élevant au carré on a : r2=(1 + rsinsoit : x2+ y2= (1 + y) Après développement : x2+ y2=1 +2y+ yon voit que : x2=1 +2y= 2(1/2 + y) y sommet Sde la parabole. Si on note Y= yY= x2/2
Onretrouvedelaparabole.
SExercice
Tracerlacourbe r =1 +sinș.
Solution
On commence par tracer le graphedela fonction 1 +sinșenCartésiennes
haut.rcorrespondant à
une valeur deș, et son sens de variation.Par exemple, on voit que, lorsque
șaugmente de 0 à ʌ/2, r (la
distance de O) augmente de 1 à 2.On en déduit la forme de la partie
correspondante de la courbe polaire.Lorsque șaugmente de ʌ/2à ʌ,
la figure montre que rdécroit de 2à 1.
On endéduitla formede la partie
suivantede la courbe.Quandșcroitdeʌà3ʌ/2,r
décroitde1 à0.Finalement, quandșpassede
3ʌ/2à2ʌ, rcroitde0 à1.
La courbe obtenue est appeléecardioïdeà cause de sa formede coeur.Cettecourbe est symétriqueș= ʌ/2,du
fait quesin(ʌș) = sin șTANGENTES AUX COURBES POLAIRES
paramétriquesdelacourbe: vecteurtangentetlapente. x =r cos ș= f (ș) cos ș y =r sin ș= f (ș) sin ș dx/d=dr/dcos ș-rsin ș dy/d=dr/dsin ș+ rcos șExemple
r= a(où a est une constante positive). Montrer que le vecteur unitaire tangent à la courbe au point Mest le vecteur que nous avons noté u.Solution :
En remplaçant dans les équations de la page précédente on obtient : -à-dire ru, donc le vecteur tangent est de norme ret le vecteur unitaire tangent est u dx/d=-rsin ș dy/d=rcos ș Les tangenteshorizontalesse trouventaux points pour lesquelsdy/dș= 0 (pourvuque dx/dș0). De même, les tangentesverticalessontaux points où dx/dș= 0 (pourvuque dy/dș0).TANGENTES AUX COURBES POLAIRES
sin cos cos sin dy drrdydd dx drdxrdd TT TTTTNotons que, au pole, r =0, si dr/d
donnant la pente se simplifie en : r =2cosșpasse par le pole (r= 0) quand șʌ/2.TANGENTES AUX COURBES POLAIRES
tan if 0dy dr dx dT ztan if 0dy dr dx dT zComme le sinus est non nul en /2,
on en déduit que la droites șʌ/2 (verticale) est tangente à la courbequotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] déterminer le rayon d'un cercle
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