Algorithmes gloutons
Les algorithmes gloutons constituent une alternative dont le résultat n'est pas toujours L'algorithme glouton ne répond alors pas de manière optimale.
Algorithmes gloutons Problèmes doptimisation. Problèmes d
Algorithmes gloutons. Un algorithme glouton construit une solution pas à pas sans revenir sur ses décisions en effectuant à chaque étape le choix
Algorithmes gloutons [gl] Algorithmique
Ce module présente le paradigme de l'algorithme glouton puis l'applique `a ration est strictement positive par définition un sous-ensemble optimal est ...
LES ALGORITHMES GLOUTONS
Or par définition l'algorithme ordonnance l'intervalle qu'il est en train de traiter si celui-ci n'intersecte aucun intervalle de ?. C'est le cas pour ?*
Le problème du Bin Packing (remplissage de sacs)
Définition: Transformation polynômiale Un algorithme glouton est une 2-approximation. ... CAS 1 O `U w(bn) ? c/2: l'algorithme glouton est optimal.
Techniques Algorithmiques et Programmation
20 juil. 2022 3.4.1 Algorithme glouton: un principe général . ... La définition de « formule close » n'est pas assez précise pour l'expression des.
Semaine 1 : Série dexercices introductive [Solutions] 1 Culture
Explication : Un algorithme glouton est un algorithme de recherche qui à chaque étape choisit la meilleure solution (à ce stade).
Algorithmes gloutons
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Résoudre un problème grâce à un algorithme glouton. 1. Optimisation d'un problème Définition du système d'objets : liste de sous-listes.
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Supposons par l'absurde qu'il existe un intervalle ?*? ?* qui n'intersecte aucun intervalle de ? Par définition l'algorithme PTA examine tous les intervalles
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Les algorithmes gloutons constituent une alternative dont le résultat n'est pas toujours optimal Plus précisément ces algorithmes déterminent une solution
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Définition Un algorithme glouton est un algorithme qui suit le principe de faire étape par étape un choix optimum local dans l'espoir d'obtenir
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Comme la pondé- ration est strictement positive par définition un sous-ensemble optimal est toujours un sous-ensemble indépendant maximal L'algorithme ci-
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Algorithmes gloutons Un algorithme glouton construit une solution pas à pas sans revenir sur ses décisions en effectuant à chaque étape le choix
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Objectifs pédagogiques : ? Comprendre la notion d'algorithme glouton ? Résoudre un problème grâce à un algorithme glouton 1 Optimisation d
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I On voit dans ce cours des algorithmes gloutons simples et dont on peut prouver I Sinon par définition de C0 on a f0 ? fi1 et (B \ Ci1 ) ? C0 est
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Pour prouver l'optimalité de l'algorithme glouton avec les valeurs 5 2et1: intervalle (par définition de la façon dont fonctionne l'algorithme)
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Exercice 3 La théorie des matro?des permet de comprendre si un algorithme glouton est optimal pour un probl`eme Voici la définition d'un matro?de
[PDF] Chapitre 4 Algorithmes Gloutons
Interval Scheduling : Algorithmes gloutons L'algorithme glouton 'earliest finish time' est optimal Preuve cela contredit la définition de S* ?
Comment fonctionne un algorithme glouton ?
L'algorithme glouton sélectionne la plus grande valeur vn et la compare à s. somme restant à rendre étant alors s ? vn. L'algorithme continue avec la même système de pi?s Sn et cette nouvelle somme à rendre s ? vn. L'algorithme est ainsi répété jusqu'à obtenir une somme à rendre nulle.- Mais alors, pourquoi choisir un algorithme glouton ? Car les algorithmes gloutons ont une complexité plus faible. En effet, pour trouver dans l'exemple ci-dessus le chemin optimal, l'algorithme de recherche fonctionnera comme un arbre. En moyenne, il mettra plus de temps à donner la solution.
Algorithmes gloutons [gl]
Algorithmique
Karine Zampieri, Stephane Riviere, Beatrice Amerein-SoltnerUniscielalgoprogVersion 21 mai 2018
Table des matieres
1 Paradigme de l'algorithme glouton
22 Exemple : Rendu de la monnaie
43 Exemple : Location d'une voiture
53.1 Probleme
53.2 Algorithme
53.3 Preuve de l'optimalite de l'algorithme
53.4 Limites de l'algorithme
6 4Elements de la strategie gloutonne7
5 Fondements theoriques des methodes gloutonnes
85.1 Matro
des. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85.2 Algorithmes gloutons sur un matro
de pondere. . . . . . . . . . . . . . . 86 Conclusion
1 1 Algorithmes gloutonsMots-ClesTechniques de conception, Algorithmes gloutons RequisAxiomatique imperative, Recursivite des actions, Complexite des algorithmesDiculte• • ◦Objectif
Ce module presente le paradigme del'algorithme gloutonpuis l'applique a plusieurs exemples. Les dernieres sections donnent les elements de la strategie gloutonne ainsi que les fondements theoriques des methodes gloutonnes. 1 Unisciel algoprog { gl00cours-texte, May 21, 201821 Paradigme de l'algorithme glouton
Dans ce module, on se concentre sur les problemes d'optimisation.Algorithme glouton (greedyen anglais)
(Dit aussivorace) Procedure algorithmique qui construit une solution d'une maniere incrementale. A chaque etape, cette technique prend la direction la plus prometteuse,suivant des regles bien simples, en considerant une seule donnee a la fois.Globalement optimale ou heuristique
Ce choix, localement optimal, n'a aucune raison de conduire a une solution globalement optimale. Cependant, certains problemes peuvent ^etre resolus d'une maniere optimale ainsi. Autrement dit,l'optimalite locale conduit a l'optimalite globale. Dans d'autres cas, la methode gloutonne est seulement une heuristique qui ne conduit qu'a unesolution sous-optimale, mais qui peut ^etre utilisee quand on ne conna^t pas d'algorithme exact ecace. Le module @[Heuristiques] revient sur les algorithmes voraces en tant que solutions heuristiques.Algorithme generique d'une procedure gloutonne Il peut ^etre resume comme suit :AlgorithmevoraceDébutS<- EnsembleVide C ensemble des candidats la solution Tant que S n estpasunesolution etC<> EnsembleVide Faire|x <- choisir un é lémentde C le plus prometteur C C x |Sirealisable(solution,x)Alors| |solution <- union (solution,x ) |FinsiFinTantQueSiSest une solution Alors|RetournerSSinon
|Retournerpas desolution FinSi Fin Le choix de la donnee la plus prometteuse, lors de la construction de la solution, se fait suivant une regle. Cette regle denit en realite la strategie de l'algorithme glouton ainsi concu.Remarque A la n de leur execution, les algorithmes gloutons ne generent qu'une seule solution. De plus, un algorithme glouton ne revient jamais sur une decision prise precedemment. Unisciel algoprog { gl00cours-texte, May 21, 20183Remarque La fonction de selection est generalement basee sur la fonction objectif a optimiser. Unisciel algoprog { gl00cours-texte, May 21, 201842 Exemple : Rendu de la monnaie
An de clarier la terminologie introduite ci-avant :Probleme Soit le probleme de rendre la monnaie a un client en lui donnant le moins de pieces possibles.Elements du schema
Ils sont resumes comme suit :
1. L esca ndidatsp otentiels al aso lution: en semble nid ep iecesd em onnaie,p ar exemple : 1, 5, 10 et 25 centimes. 2. Un es olution: l et otald el 'ensembled ep iecesc hoisiesc orrespondante xactement au montant a payer. 3. Un esol utionr ealisable: l et otald el 'ensembled ep iecesc hoisiesn ed epassep asl e montant a payer. 4. L ad onneel ap lusp rometteuseest l ag randep ieceq uire sted ansl 'ensembled es candidats. 5. F onctiono bjectif: m inimiserl en ombred ep iecesu tiliseesd ansl aso lution.Algorithme L'algorithme glouton pour cet exemple est :AlgorithmevoraceDébutS<- EnsembleVide C ensemble des candidats la solution TantQuetotal(S)SiSest une solution Alors|retournerSSinon
|retournerpas desolution FinSi FinExemple
Soit la monnaie de 87 centimes a rendre en utilisant seulementf25, 10, 5, 1g. L'algorithme ci-dessus va generer la solution : 3*25 + 1*10 + 2*1. Unisciel algoprog { gl00cours-texte, May 21, 201853 Exemple : Location d'une voiture
3.1 Probleme
On considere le probleme de la location d'une unique voiture. Des clients formulent un ensemble de demandes de location avec, pour chaque demande, le jour du debut de la location et le jour de restitution du vehicule. Le probleme est d'aecter le vehicule de maniere a satisfaire lemaximum de clientspossible (et non pas de maximiser la somme des durees des locations). On dispose donc d'un ensembleEdes demandes de location avec, pour chaque element edeE, la dated(e)du debut de la location et la datef(e)de la n de cette location. On veut obtenir un ensembleFmaximal de demandes satisfaites. Cet ensembleFdoit verier une unique contrainte : deux demandes ne doivent pas se chevaucher dans le temps, c.-a-d. une location doit se terminer avant que la suivante ne commence. Cette contrainte s'ecrit mathematiquement :3.2 AlgorithmeAlgorithme
FonctionlocationDUneVoiture(E)Début|Tri des é lémentsde E par date de fincroissante:Onobtient une suite e [1],e[2]...e[n]
telle que f e [1])<= f e [2])<=...<= f e n F [1] <- e [1] j <- 1 |Pourk<- 1 à n Faire| |Sid (e[k]) >=f (F[j])Alors| | |j <- j + 1 F j e j | |FinSi|FinPour|Retourner(F)FinComplexite
Cet algorithme est glouton car a chaque etape il prend la location3.3 Preuve de l'optimalite de l'algorithme
SoitF={x1,x2,...,xp}la solution obtenue par l'algorithme glouton, et soitG= {y1,y2,...,yq},q≥p, une solution optimale. On veut montrer queFest optimal et donc queq=p. Unisciel algoprog { gl00cours-texte, May 21, 20186 Supposons que les ensemblesFetGsont classes par dates de n de location croissantes. SiG(solution optimale) ne contient pasF(une solution obtenue), il existe un entierk tel que : ?i < k,xi=yietxk?=yk Par construction deF,xkest une demande de location qui a la date de n minimale et dont la date de debut est posterieure a la date de n dexk-1=yk-1. Par consequent, f(yk)≥f(xk) On peut alors remplacerGparG?={y1,y2,...,yk-1,xk,yk+1,...,yq}tout en satisfaisant la contrainte de non chevauchement des demandes.G?est une autre solution optimale mais ayant strictement plus d'elements en commun avecFqueG. En repetant autant que faire se peut ce procede, on obtient un ensembleHde m^eme cardinalite queGet qui contientF. Cet ensembleHne peut contenir d'autres elements que ceux deFcar ceux-ci, debutants apres la n dexp, auraient ete ajoutes aFpar l'algorithme glouton.DoncH=FetFetGont le m^eme nombre d'elements.
3.4 Limites de l'algorithme
Il est primordial, ici, que les demandes soient classees pardates de n croissantes. Le tableau suivant presente trois demandes de location classees par dates de debut crois- santes pour lesquelles l'algorithme glouton presente ci-dessus n'est pas optimal.e 1e 2e 3d235 F848 Pour d'evidentes raisons de symetrie, classer les demandes par dates de debut decrois- santes donne par contre un resultat optimal.e 1e 2e 3d532 F675Attention
L'algorithme glouton ne donne pas l'optimum si notre but est de maximiser la duree totale de location du vehicule. M^eme si on classe les demandes de location par durees decroissantes, un algorithme glouton ne donnera pas une solution optimale : le tableau ci- dessus presente un contre-exemple. En fait, le probleme de la maximisation de cette duree totale est NP-complet (cf. module @[NP-completude]) et on ne conna^t pas d'algorithme de complexite polynomiale pour le resoudre.Remarque Si on dispose de deux voitures et non plus d'une seule, l'algorithme precedent ne donne plus l'optimum. Unisciel algoprog { gl00cours-texte, May 21, 20187 4Elements de la strategie gloutonne
Un algorithme glouton determine une solution apres avoir eectue une serie de choix. Pour chaque point de decision, il retient le choix qui semble le meilleur a cet instant. Cette strategie ne produit pas toujours une solution optimale. Il existe cependant deux caracteristiques qui indiquent qu'un probleme se pr^ete a une strategie gloutonne : la propriete du choix glouton et une sous-structure optimale.Propriete du choix glouton On peut arriver a une solution globalement optimale en eectuant un choix localement optimal (ou choix glouton). En programmation dynamique on fait un choix a chaque etape, mais ce choix depend de la solution de sous-problemes, au contraire, dans un algorithme glouton, on fait le choix qui semble le meilleur sur le momentpuison resout les sous-problemes qui surviennent une fois le choix fait. Une strategie gloutonne progresse en general de maniere descendante en faisant se succeder les choix gloutons pour ramener iterativement chaque instance du probleme a une instance5 Fondements theoriques des methodes gloutonnes
La theorie des matro
des ne couvre pas tous les cas d'applications de la methode glou- tonne, mais elle couvre de nombreux cas interessants en pratique.5.1 Matro
desMatro deCoupleM= (E,I)veriant les conditions suivantes :
1.Eest un ensemble ni non vide.
2.Iest une famille non vide de sous-ensembles deE, appeles sous-ensemblesinde-
pendantsdeE, telle que siH?Iet siF?HalorsF?I(on dit queIest hereditaire). Autrement dit, siIcontient un sous-ensembleHdeE,Icontient tous les sous-ensembles deH. On remarque que l'ensemble vide est obligatoirement membre deI. 3. S iFetHsont deux elements deI, avec|F|<|H|, alors il existe (au moins) un elementx?H\Ftel queF? {x} ?I(propriete d'echange).Theoreme Tous les sous-ensembles independants maximaux d'un matro de ont la m^eme taille.Preuve Ce resultat est une consequence directe de la propriete d'echange : si un de ces ensembles, H, est strictement plus petit que les autres, la propriete d'echange nous garantit queI contient un sur-ensemble strictH?deH, ce qui contredit la maximalite deH.Matroquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43[PDF] epreuve e2 gestion administrative des relations avec le personnel 2017
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