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Première ES-L a) Déterminer le taux d'accroissement de la fonction f définie sur par : ... Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points).
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Mais comment s'y prendre pour des sur les deux premières années. ... Exercice 5.2: Calculer le taux moyen d'accroissement de la fonction: f : x 3x +1.
Présentation des Travaux Dirigés – Introduction à léconomie
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DM n°1 - Suites géométriques
Exercice 1 : n° 27 p 32. Exercice 2 : n° 37 p La ère année le loyer mensuel s'élevait à €. Puis
Exercice 1 : Bilan de la population mondiale
cette période la population mondiale s'est accrue d'un nombre supérieur à a. calculez les taux bruts de natalité de mortalité et d'accroissement total.
NOMBRE DERIVÉ
On s'intéresse cependant aux valeurs de f (x) lorsque x se rapproche de 0. Ce quotient est appelé le taux d'accroissement de f entre 1 et 4.
Chapitre 1 : Taux dévolution I ] Rappels de lycée – pourcentages :
Vérifier que la différence S – S' est inférieure à 50 centimes d'euros. Exercice 2 : Une matière première coûtait 140 € le kilo la semaine dernière. Page 7
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b) Déterminer le taux d'accroissement de la fonction g définie sur par : g(x) = 1 x² + 2 en 1 En déduire le nombre dérivé de g en
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Taux de variation (ou taux d'accroissement) Première écriture du taux de variation Corrigé Exercice 4 ( d'ap rè s BAC ES 2010 )
Taux daccroissement : Cours et exercices corrigés
20 oct 2022 · Voici un cours avec des exercices corrigés sur la notion de taux d'accroissement qui va permettre ensuite de faire des dérivées
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CORRECTION DU TD N°1 - MATHÉMATIQUES OBJECTIFS : ? Etude de fonctions polynômes ? Etude de fonctions rationnelles Exercice 1
Comment calculer le taux d'accroissement ?
Définition Taux d'accroissement
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et deux nombres et dans cet intervalle. On appelle taux d'accroissement de entre et le quotient T a ( h ) = f ( a + h ) ? f ( a ) h .Comment calculer le taux d'accroissement instantané ?
Comme le taux de variation instantané est positif, il est équivalent au taux de croissance. La dérivée d'une fonction en un point quelconque est tirée de cette notion. Le taux de variation instantané d'une fonction en = ? est en effet égal à la dérivée de cette fonction en = ? .Comment calculer la dérivée d'une fonction ?
Pour déterminer la fonction dérivée d'une fonction sur un intervalle donné, on peut revenir à la définition du nombre dérivé en un point a. On calcule alors la limite du taux d'accroissement de cette fonction entre x et a, lorsque x tend vers a. Ce calcul « à la main » est souvent très long et laborieux.- Le taux de variation est égal au coefficient directeur de la droite passant par les points d'abscisses a et b de la courbe représentative de f. Cette droite est appelée sécante à la courbe de f.
Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S1
1 Exercice 1 : PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP (2 points) a) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ I GpILQLH VXU K par : f(x) = 2x² - 3 en 1.En déduire le nombre dérivé de f en 1.
b) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ J GpILQLH VXU K par : g(x) = 3 x² + 1 en -2.En déduire le nombre dérivé de g en -2.
Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
On considère la fonction f(x) = 2x² - x + 1 définie sur K et sa courbe $. a) GpPHUPLQHU OM YMOHXU GH I·-1). b) Montrer que la tangente T à $ MX SRLQP G·MNVŃLVVH -1 a pour équation y = -5x ² 1. c) Etudier le signe de la fonction g(x) = 2x² + 4x + 2 sur K. d) En déduire la position de T par rapport à $. Exercice 3 : calcul de fonctions dérivées (4 points) Donner la fonction dérivée de chacune des fonctions en précisant le domaine de définition et de dérivabilité. a) f : x -x² b) g : x - x c) h : x - x + 8 + x d) i : x x + 52x - 1
Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S2
2 Exercice 1 : PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP (2 points) a) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHment de la fonction f définie sur K par : f(x) = 3x² - 2 en -2.En déduire le nombre dérivé de f en -2.
b) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ J GpILQLH VXU K par : g(x) = 1 x² + 2 en 1.En déduire le nombre dérivé de g en 1.
Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
On considère la fonction f(x) = -x² + 2x - 1 définie sur K et sa courbe $. a) GpPHUPLQHU OM YMOHXU GH I·2B b) Montrer que la tangente T à $ MX SRLQP G·MNVŃLVVH 2 a pour équation y = - 2x + 3. c) Etudier le signe de la fonction g(x) = -x² + 4x - 4 sur K. d) En déduire la position de T par rapport à $. Exercice 3 : calcul de fonctions dérivées (4 points) Donner la fonction dérivée de chacune des fonctions en précisant le domaine de définition et de dérivabilité. a) f : x -2x3 b) g : x 5 x c) h : x 2x ² x² + 5 d) i : x 2x - 5 x + 1Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S1
CORRECTION
3 Exercice 1 : PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP (2 points) a) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ I GpILQLH VXU K par : f(x) = 2x² - 3 en 1.En déduire le nombre dérivé de f en 1.
b) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ J GpILQLH VXU K par : g(x) = 3 x² + 1 en -2.En déduire le nombre dérivé de g en -2.
a) IH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP, pour h non nul, de la fonction f en 1 est : t(h) = f(1 + h) ² f(1) h = 2(1 + h)² - 3 ² (21² - 3) hSoit t(h) = 2(1 + 2h + h²) ² 3 ² 2 + 3
h = 2 + 4h + 2h² - 2 h = h(4 + 2h) h = 4 + 2h Le nombre dérivé de f en 1 est limh0 t(h) = 4 + 20 = 4GRQŃ I·1 4
b) IH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP, pour h non nul, de la fonction g en -2 est : t(h) =g(-2 + h) ² g(-2) h = 3 (-2 + h)² + 1 - 3 (-2)² + 1 h = 3 14 ² 4h + h² + 1- 1
5 hSoit t(h) = 3
5 (h² - 4h + 5)5- (h² - 4h + 5)5(h² - 4h + 5)
h= 3 h5 ² h² + 4h ² 55(h² - 4h + 5)
Soit t(h) = 3
hh(-h + 4)5(h² - 4h + 5)= 3
5-h + 4
h² - 4h + 5 Le nombre dérivé de g en 1 est limh0 t(h) = 3 545= 12 25
GRQŃ J·-2) = 12
25Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S1
CORRECTION
4Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
On considère la fonction f(x) = 2x² - x + 1 définie sur K et sa courbe $. a) GpPHUPLQHU OM YMOHXU GH I·-1). b) Montrer que la tangente T à $ MX SRLQP G·MNVŃLVVH -1 a pour équation y = -5x ² 1. c) Etudier le signe de la fonction g(x) = 2x² + 4x + 2 sur K. d) En déduire la position de T par rapport à $. a) I·[ 22x ² 1 = 4x ² 1I·-1) = 22(-1) ² 1 = -4 ² 1 = -5
b) Une équation de la tangente T à $MX SRLQP G·MNVŃLVVH -1 a pour équation : \ I·-1)(x ² (-1)) + f(-1). Or f(-1) = 2(-1)² - (-1 Ą 1 2 Ą 1 Ą 1 4 HP I·-1) = -5. Une équation de T est donc : y = -5(x + 1) + 4 = -5x ² 5 + 4 = -5x ² 1. c) g est une fonction polynôme de degré 2. g(x) = 2(x² + 2x + 1) =2(x + 1)² Or un carré est toujours positif ou nul et g(-1) = 2(-1 + 1)² = 20² = 0 GRQŃ J[ V·MQQXOH HQ [ -1 et est strictement positif pour x -1. d) f(x) ² (-5x ² 1) = 2x² - x + 1 ² (-5x ² 1) = 2x² - x + 1 + 5x + 1 f(x) ² (-5x ² 1) = 2x² + 4x + 2 = g(x). Or g(x) > 0 si x -1, donc $est au dessus de T pour x -1. Et pour x = -1, $ et T ont en commun le point de coordonnées (-1 ;-5) .Vérification graphique :
Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S1
CORRECTION
5 Exercice 3 : calcul de fonctions dérivées (4 points) Donner la fonction dérivée de chacune des fonctions en précisant le domaine de définition et de dérivabilité. a) f : x -x² b) g : x - x c) h : x - x + 8 + x d) i : x x + 52x - 1
a) f est définie et dérivable sur K HP I·[ -2x b) g est définie et dérivable sur K \ {0} = K* HP J·[) = - -1 x² = x² c) h est définie sur ] - ;0] = K+ et dérivable sur ]- 0L HP O·[ -1 + 1 2x d) i est définie et dérivable sur K \ 1 2.Pour x K \
12, on pose i(x) = u(x)
v(x) avec u(x) = x + 5 et v(x) = 2x ² 1. On a alors L·[ X·(x)v(x) ² u(x)Y·(x) (v(x))².2U X·[ 1 HP Y·[ 2
GRQŃ L·[ 1(2x ² 1) ² (x + 5)2
(2x ² 1)² = 2x ² 1 ² 2x ² 10 (2x ² 1)² = - 11 (2x ² 1)²Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S2
CORRECTION
6 Exercice 1 : PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP (2 points) a) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ I GpILQLH VXU K par : f(x) = 3x² - 2 en -2.En déduire le nombre dérivé de f en -2.
b) GpPHUPLQHU OH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP GH OM IRQŃPLRQ J GpILQLH VXU K par : g(x) = 1 x² + 2 en 1.En déduire le nombre dérivé de g en 1.
a) IH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP SRXU O QRQ QXO GH OM IRQŃPLRQ I HQ -2 est : t(h) = f(-2 + h) ² f(-2) h = 3(-2 + h)² - 2 ² (3(-2)² - 2) hSoit t(h) = 3(4 ² 4h + h²) ² 2 - 12 + 2
h = 12 ² 12h + 3h² - 12 h = h(-12 + 3h) h t(h) = -12 + 3h. Le nombre dérivé de f en 1 est limh0 t(h) = -12 + 0 = -12GRQŃ I·-2) = -12
b) IH PMX[ G·MŃŃURLVVHPHQP SRXU O QRQ QXO GH OM IRQŃPLRQ J HQ 1 HVP : t(h) =g(1 + h) ² g(1) h = 1 (1 + h)² + 2 - 11² + 2
h = 11 + 2h + h² + 2 ² 1
3 h t(h) = 3 (h² + 2h + 3)3h - h² + 2h + 33h(h² + 2h + 3) = 3 ² h² - 2h ² 3
3h(h² + 2h + 3) = -h(h + 2)
3h(h² + 2h + 3)
Soit t(h) = - h + 2
3(h² + 2h + 3)
Le nombre dérivé de g en 1 est limh0 t(h) = - 0 + 23(0² + 20 + 3) = - 2
9Donc g·(1) = - 2
9Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S2
CORRECTION
7Exercice 2 : tangente à une courbe (4 points)
On considère la fonction f(x) = -x² + 2x - 1 définie sur K et sa courbe $. a) GpPHUPLQHU OM YMOHXU GH I·2B b) Montrer que la tangente T à $ MX SRLQP G·MNVŃLVVH 2 M SRXU pTXMPLRQ \ - 2x + 3. c) Etudier le signe de la fonction g(x) = -x² + 4x - 4 sur K. d) En déduire la position de T par rapport à $. a) f'(x) = - 2x + 2 et I·2 -22 + 2 = -2 b) Une équation de la tangente T à $MX SRLQP G·MNVŃLVVH 2 a pour équation : \ I·-2)(x - 2) + f(2). Or f(2) = -2² + 22 - 1 = -4 + 4 - 1 = -1 HP I·2) = -2. Une équation de T est donc : y = -2(x - 2) - 1 = -2x + 4 - 1 = -2x + 3. c) g est une fonction polynôme de degré 2. g(x) = - (x² - 4x + 4) = - (x ² 2)² Or un carré est toujours positif ou nul et g(2) = -(2 - 2)² = - 0² = 0 GRQŃ J[ V·MQQule en x = 2 et est strictement négatif pour x 2.d) f(x) ² (-2x + 3) =-x² + 2x - 1 ² (-2x + 3) = -x² + 2x - 1 + 2x ² 3 = -x² + 4x - 4
f(x) ² (-2x + 3) = g(x). Or g(x) < 0 si x 2, donc $est en dessous de T pour x 2. Et pour x = 2, $ et T ont en commun le point de coordonnées (2 ; -2) .Vérification graphique :
Première ES-L IE2 dérivation 2015-2016 S2
CORRECTION
8 Exercice 3 : calcul de fonctions dérivées (4 points) Donner la fonction dérivée de chacune des fonctions en précisant le domaine de définition et de dérivabilité. a) f : x -2x3 b) g : x 5 x c) h : x 2x ² x² + 5 d) i : x 2x - 5 x + 1 a) f est définie et dérivable sur K HP I·[ -23x² = -6x² b) g est définie et dérivable sur K \ {0} = K* HP J·[ D-1 x²= -5 x² c) h est définie sur ] - ;0] = K+ et dérivable sur ]- 0L HP O·(x) = 212x - 2x
O·[ 1
x - 2x d) i est définie et dérivable sur K \ {-1}.Pour x K \ {-1}, on pose i(x) = u(x)
v(x) avec u(x) = 2x - 5 et v(x) = x + 1. On a alors L·[ X·(x)v(x) ² u(x)Y·(x) (v(x))².2U X·[ 2 HP Y·[ 1
GRQŃ L·[ 2(x + 1) ² (2x - 5)1
(x + 1)² = 2x + 2 - 2x + 5 (x + 1)² = 7 (x + 1)²quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] montrer que vn est une suite géométrique
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