[PDF] Première 2019 - 2020 Le nombre dérivé feuille no 1

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Première 2019 - 2020

Le nombre dérivé, feuille n

o1Exercice 1 On considère une fonctionfdéfinie et dérivable sur l"intervalle[2;5].

On noteCfsa représentation graphique dans le

repère orthonormal(O;!{ ;!|). 1)

Déterminer f(1),f(3),f0(1)etf0(2).

2)

Quel est le nom bredériv éde fen0?

3)

Quel est le s ignede f0(3)?O~

i~ jy=f(x) xExercice 2 O~ i~ jy=f(x) xOn considère une fonctionfdéfinie et dérivable sur [2;5]. On noteCfsa représentation graphique dans le repère orthonormal(O;!{ ;!|). 1)

Lire graphiquemen tf0(0)etf0(2).

2) Lire graphiquemen tle nom bredériv éde fen1. 3)

Quel est le signe de f0(1)? Quel est le signe de

f

0(2;5)?

Exercice 3On considère une fonctionfdéfinie et dérivable sur l"intervalle[5;3]. On noteCfsa représentation graphique dans le re- père orthonormal(O;!{ ;!|).

1:Donner sans justifierf0(2)etf0(2).

2:Quel est le signe def0(4)?

3:Quel est le nombre dérivé defen0;5? Pourquoi?O~

i~ jy=f(x) x

Exercice 4

On considère une fonctionfdéfinie et dérivable sur [5;3]. On noteCfsa représentation graphique dans le repère orthonormal(O;!{ ;!|).

1:Donner, par lecture graphique et sans justifier,

f(2),f(2),f0(2)etf0(2).

2:Quel est le nombre dérivé defen0;5? Pourquoi?

3:Quel est le signe def0(4)? Expliquer.O~

i~ jy=f(x) xExercice 5 On considère une fonctionfdéfinie et dérivable sur [3 ; 6]. On noteCfsa représentation graphique dans le repère orthonormal(O;!{ ;!|). Ranger dans l"ordre croissant les nombresf0(2),f0(1), f

0(3)etf0(5).O~

i~ jy=f(x) xExercice 6 On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =1x 1) La fonction fest-elle dérivable en2? Si oui, préciser la valeur def0(2). 2) Déterminer une équation de la tangen teà Cfau point d"abscisse2. Exercice 7On considère la fonctionfdéfinie sur]0;+1[parf(x) =px. Montrer, en utilisant un taux d"accroissement, quefest dérivable en4et quef0(4) =14

Exercice 8Soitfla fonction définie sur"

43
;+1" parf(x) =p3x+ 4. On se propose de calculer le nombre dérivé defen4. 1)

P ourtout réel h6= 0tel que4+h>43

, vérifier quef(4 +h)f(4)h =p16 + 3h4h 2)

Mon treralors que

f(4 +h)f(4)h =3p16 + 3h+ 4. 3) En déduire le nom bredériv éde fen4puis une équation de la tangente àCfen4.

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Le nombre dérivé, feuille n

o2.Exercice 9 Au début d"une partie, tous les joueurs sautent d"un bus volant et plongent en chute libre vers une île. Dans cet exercice, on fait l"hypothèse que les frottements de l"air sont négligeables. Ainsi, la distance parcourue par l"avatar durant la chute, en mètres,tsecondes après le saut est donnée par :d(t) =12

gt2, oùg9;81m:s1.1)Sachant que la vitesse instantanée est égale au nombre dérivé de la distance en cet

instant, quelle est la vitesse de l"avatar, 1 seconde après le saut.

On donnera le résultat enm:s1, puis enkm:h1.

2)Pour que l"avatar ne s"écrase pas au sol, son planeur est ouvert automatiquement après

600 mètres de chute libre.

Déterminer, à la seconde près, le temps passé en chute libre.

3)On admet que la vitesse instantanée est donnée par la fonctionv(t) =gt.

Sachant que l"accélération est la dérivée de la vitesse, montrer en utilisant le taux de variation pour tout nombretque celle-ci est constante au cours du temps. Exercice 10L"entreprise Sportymax fabrique des articles de sport. Le coût total de ces articles (en euros) est modélisé par une fonctionC, dont la courbe représentativeCCest donnée ci-dessous.La tangenteTAà cette courbe au point

A(200; 880)passe par le pointB(0; 600).

1)On appelle coût marginal au rangnle

coût engendré par la fabrication dunème article. Une valeur approchée de ce coût marginal est donnée par le nombre dérivé de la fonction coût enn.

Déterminer le coût marginal au rang 200.

2)Expliquer la démarche à réaliser graphi-

quement pour déterminer le coût margi- nal le plus faible.

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Nombre dérivé, tangente et fonction dérivée, feuille n o3.Exercice 11 On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x2. Nous allons déterminerune fois pour toutele nombre dérivé defpour un réela. 1) Soien th6= 0eta2R. Déterminer le taux d"évolution defenaet le simplifier. 2) Déterminer alors la limite du taux d"év olution(il doit y a voirdu a...). 3) La fonction carr éeadmet-elle un nom bredériv ép ourtout adeR?

On parlera désormais de la fonction dérivée, de la fonction carré, définie pour toutes

valeurs deR. 4) Calculer rapidemen t(de tête) f0(3),f0(7)etf0(1;234). 5) Sur ce même princip e,déterminer le nom bredériv éde la fonction cub een a. Exercice 12Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes :

1)f(x) = 3x+ 2.

3)g(t) =t24t+ 9.

4)h(x) = 4x3+ 3x2+ 5x6.2)j(x) =x2+ 3x+ 54

5)k(x) =4x3+ 5x2xx

Exercice 13On modélise une rampe de saut à ski par un arc de parabole passant par les pointsA(0;4),

B(5;0)etC(8;0).

On désire finaliser cette rampe à l"aide d"une partie rectiligne entre les abscisses8et9sans avoir de rupture de pente.O~ i~ jy x I C fA B C D1)Déterminer une expression de la fonction fqui modélise la rampe. 2) Déterminer l"équation réduite de la droite qui mo délisela partie rectiligne [CD]. 3) La fin de la ramp ese termine par une p etitemon tée.Déterminer la hauteur totale de celle-ci.

Exercice 14

Dans un repère(O;!{ ;!|), on noteCfla courbe représentative de la fonction : f(x) =x4+ 2x2+xdéfinie surR. 1) Déterminer l"équation de la tangen teTàCfau point d"abscisse1. 2) Démon trerque Test tangente àCfen un autre point. Exercice 15Soitfla fonction définie parf(x) =x3+ 2x24x+ 5.

1)Cfadmet une tangente en chacun de ses points. Pourquoi?

2) a) Donner une équation de la tangen teT1àCfau point d"abscisse1. b) Le p ointE(4;3)appartient-il à la tangenteT3àCfau point d"abscisse3. 3) Existe-t-il des tangen tesà Cfdont le coefficient directeur vaut4? Si oui, en quels points? 4) Existe-t-il des tangen tesà Cfparallèles à la droiteDd"équationy=7x+5? Si oui, en quels points? 5) Existe-t-il des tangen teshorizon tales?Si oui, en quels p oints? Exercice 16Pour tester la sécurité des voitures, de nombreux essais sont effectués comme le lancement en ligne droite et à vive allure d"une voiture qui percute un mur. Durant ce test, on notex(t)la distance en mètres par- courue par le véhiculetseconde après son départ. La voiture percute le mur au bout de 4 secondes et on admet que pour toutt2[0; 4],x(t) =t3+ 0;45t2. xest donc une fonction de la variable tempst.1)En physique, on notedxdt la dérivée de la fonctionxen fonction det. Déterminerdxdt

2)En déduire la vitesse instantanée de la voiture au démarrage puis lors de l"impact.

On donnera les vitesses instantanées enm:s1, puis enkm:h1, en arrondissant à l"unité si nécessaire.

3)Quelle est l"expression de l"accélération en fonction du temps?

Exercice 17Une entreprise fabrique une boisson conditionnée en bouteille d"un litre. Le coût total de

production, exprimé en euro, est donné parCT(x) = 4x320x2+80x+100, oùxreprésente le volume exprimé en centaines de litres,xvariant dans l"intervalle[0; 5].

1)Déterminer l"expression du coût marginalCMen fonction dex.

2)En déduire le coût marginal pour 500 litres produits.

3)Pour quelle production le coût marginal est-il minimal?

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Nombre dérivé, tangente et fonction dérivée, feuille n o4.Exercice 18

Sur la figure ci-contre, l"arc de parabole

représente une colline, le sol est symbo- lisé par l"axe des abscisses.

Le pointS(6; 5)représente le soleil

en train de se coucher.

L"arc de parabole est la représen-

tation graphique de la fonction fdéfinie pourx2[2; 5]par f(x) =0;25x2+ 0;75x+ 2;5.O1 1 xS K BUT :On veut déterminer la longueur de l"ombre de la colline.

1:Déterminer une équation de la tangente àCfau pointK.

2:Vérifier que le pointSappartient à cette tangenteT.

3:Pour quelle valeur dexla droiteTcoupe-t-elle l"axe des abscisses?

4:Quelle est alors la longueur au sol de l"ombre de la colline?

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Nombre dérivé, tangente et fonction dérivée, feuille n o4.Exercice 18

Sur la figure ci-contre, l"arc de parabole

représente une colline, le sol est symbo- lisé par l"axe des abscisses.

Le pointS(6; 5)représente le soleil

en train de se coucher.

L"arc de parabole est la représen-

tation graphique de la fonction fdéfinie pourx2[2; 5]par f(x) =0;25x2+ 0;75x+ 2;5.O1 1 xS K BUT :On veut déterminer la longueur de l"ombre de la colline.

1:Déterminer une équation de la tangente àCfau pointK.

2:Vérifier que le pointSappartient à cette tangenteT.

3:Pour quelle valeur dexla droiteTcoupe-t-elle l"axe des abscisses?

4:Quelle est alors la longueur au sol de l"ombre de la colline?

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