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OPTIMISATION 45

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Thème 17: Optimisation

Introduction :

Dans la plupart des applications, les grandeurs physiques ou géomé triques sont exprimées à l'aide d'une formule contenant une fonction. Il peut s'agir de la température d'un corps au moment t, du volume d'un gaz dans un ballon sphérique de rayon x, de la vitesse d'un corps au temps t ... Disposant de cette fonction, sa dérivée pourra nous être utile pour déterminer ses valeurs extrêmes. Celles-ci sont parfois appelées valeurs optimales parce que, vu leur signification, elles constituent les valeurs les plus favorables. Déterminer ces valeurs constitue ce que l'on appelle un problème d'optimisation.

17.1 L'optimisation lors de la construction de boîtes

Modèle 1 :

Optimisation

On souhaite construire une boîte en découpant quatre carrés aux coins d'une feuille cartonnée, et en rabattant les bords restants. La feuille mesure 22 cm de long et 18 cm de large. De la taille des carrés découpés dépendra le volume de la boîte. Calculer la dimension des carrés de sorte que la boîte ait le plus grand volume possible.

46 THÈME 17

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Exercice 17.1:

On désire construire une boîte en carton à partir d'une feui lle rectangulaire en coupant 6 carrés à chaque coin et au milieu des côtés et en pliant les côtés. Si la feuille de carton admet comme dimensions: 45 x 30 cm, le but de cet exercice sera de déterminer les dimensions de la boîte fermée admettant un volume maximum. a) Quelle est la fonction à optimiser, quelle en est la formule de base ? b)

Justifier les relations suivantes :

p = 30 - 2x l=453x 2 c)

Déterminer E

D , l'ensemble des valeurs admissibles pour x. d) Montrer que le volume exprimé en fonction de x est :

V(x)=3x

3 90x
2 +675x
e) Déterminer la valeur de x pour laquelle le volume est maximum. f)

Que vaut alors ce volume optimisé ?

x p l

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Exercice 17.2:

On désire construire un garage en forme de parallélépipède rectangle. La paroi du fond, les deux parois latérales, ainsi que le toit du garage sont en tôle. La porte est en bois. Le garage doit avoir une profondeur de 6 mètres et un volume de 75 m 3 On sait que le prix de la tôle est de 20 francs le m 2 , alors que le prix de la porte en bois est de 30 francs le m 2 Le but de cet exercice sera de déterminer les dimensions du garage qui minimisent son prix de revient total. a)

Quelle est la fonction à optimiser?

b) Montrer que la fonction à optimiser est donnée par la formule: prix = 50 xh + 120 x + 240 h c) À l'aide de l'information concernant le volume, montrer que h peut s'exprimer en fonction de x par la relation: h=25 2x d) Montrer que le prix de revient en fonction de x est donné par: p(x)=625+120x+3000 x e)

Déterminer E

D , l'ensemble des valeurs admissibles pour x. f) Déterminer la valeur de x pour laquelle ce prix est minimum. g) Déterminer les dimensions du garage qui minimisent son prix de revient total. Que vaut alors ce prix de revient optimisé ?

Source: examen du Gymnase de Burier 2008

6 xh x

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Une méthode générale ?

La variété des problèmes d'optimisation est telle qu'il e st bien difficile de donner une méthode générale de résolution. Nous allons néanmoins donner sous forme d'une marche à suivre, une stratégie d'approche de ces problèmes. Cependant, c e n'est qu'au prix de quelques efforts et d'entraînements que vous arriverez à une certaine aisance dans la résolution de ces problèmes.

Essayez donc avec ...

persévérance

17.2 Marche à suivre pour la résolution des problèmes d'optimisat

ion Lisez le problème attentivement (plusieurs fois) en réalisant pa rallèlement une figure d"étude pour y indiquer toutes les informations. Exprimez la quantité Q à optimiser (une aire, un volume, des coûts, ...) comme fonction d"une ou de plusieurs variables. Si Q dépend de plus d"une variable, disons n variables, trouvez au moi ns (n - 1)

équations liant ces variables.

Utilisez ces équations pour exprimer Q comme fonction d"une seule variable (par substitutions).

Déterminer l"ensemble de définition E

D des valeurs admissibles de cette variable. À l"aide d"un tableau de signes de la dérivée de Q, étudiez la croissance de cette fonction. Calculez les extremums de Q sans oublier de contrôler ce qui se passe au bord de E D Répondez finalement à la question posée à l"aide d"une phrase.

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17.3 L'optimisation d'une aire dans une figure géométrique

Modèle 2 :

Optimisation

ABCD est un carré de côté 6. Le point I est le milieu de [CD]. M est un point quelconque de [AB], N est le point de [CB] tel que CN BM Quelle doit être la position de M sur [AB] pour que l'aire duquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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