Fiche n°2 sur la projection de vecteurs
avec d la projection du vecteur A sur B . Application : trouver les composantes On repère la position de cette masse par l'angle θ. On considère la base ...
Projection de forces sur des axes orthonormés
Ty = 0. Ty est la coordonnée du vecteur force T selon y. Force parallèle à un axe. La valeur de la projection d'une force est égale à la valeur de
Syst`emes de coordonnées
M′ est la projection de M dans le plan (x0y). Les Nous nous posons la question de repérer un vecteur dont le point d'application est situé au point.
Fiche méthode LA TRIGONOMÉTRIE : UNE FORCE MATHÉMATIQUE
Considérons dans un repère (O ; i
Géométrie en trois dimensions
projection du repère sur l'écran. Passons au calcul. Le point A se projette ... vecteur MQ. Seule la composante tangentielle situé le plan tangent à la ...
CHAPITRE 6 CINÉMATIQUE DU SOLIDE 6.1. Coordonnées dun
de sa projection dans un repère constitué d'un point origine et d avec. # ». oR1/R0 le vecteur rotation du repère R1 par rapport au repère R0 défini plus haut ...
Fiche méthode Projection de vecteurs sur un système daxes 1S
Si vous avez deux forces dont les directions sont perpendiculaires le mieux est de choisir les axes suivants ces directions. 2 Projection des vecteurs. 2.1 Un
Rappels mathématiques Transformations géométriques 2D et 3D 1
prendre horizontal donc perpendiculaire au vecteur directeur du repère du monde. intersections entre ces rayons et un plan de projection forment la ...
Système de coordonnées
est le vecteur unitaire radial. Repère comobile. Les coordonnées cartésiennes de M sont : On aura donc pour u r.
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I 4 Projection d'un vecteur avec d la projection du vecteur A sur B On repère la position du point M par l'angle orienté ? et la base
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Ici la rotation se fait autour de avec l'angle Ainsi : Changement de base par projection orthogonale Méthode Chaque vecteur unitaire de
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La projection orthogonale de A sur P est le point H appartenant à P tel que la droite (AH) soit orthogonale au plan P Propriété : Le projeté orthogonal d'un
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Un point M de l'espace est repéré par les trois composantes du vecteur ? l'angle (Ox OM?) o`u M? est la projection de M sur le plan xOy La notation
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trois vecteurs de base OA OB OC perpendiculaires deux à deux Relation entre l'inclinaison ? de l'œil et la projection du repère sur l'écran
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Définitions : Vecteur lié - vecteur libre - vecteur glissant Repère orthonormé : définie par le vecteur u cette projection sera notée u
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définition des paramètres de la projection) • Le repère local (ou repère objet; Un vecteur (une direction) 3D en coordonnées homogènes :
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Terminologie et notations : on parle alors du repère O x yz b g ou du repère d'origine O et de Inversement la projection des vecteurs de la base B =
[PDF] CHAPITRE 6 CINÉMATIQUE DU SOLIDE 61 Coordonnées dun
de sa projection dans un repère constitué d'un point origine et d'une base de trois vecteurs orthonormés (orthogonaux et de norme unitaire)
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Cette formule est très utile pour calculer certaines longueurs de segments mais il est inutile de la retenir par cœur le plus simple étant de la retrouver
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La valeur de la projection d'une force est égale à la valeur de la force accompagnée du signe + si la force est orientée dans le sens positif de l'axe ou du
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La projection orthogonale de A sur P est le point H appartenant à P tel que la droite (AH) soit orthogonale au plan P Propriété : Le projeté orthogonal d'un
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La projection orthogonale va consister à remplacer un vecteur d'une base par la somme de deux vecteurs orthogonaux appartenant à l'autre base L'ensemble des
Fiche explicative de la leçon : Projection dun vecteur sur un autre
Dans cette fiche explicative nous allons apprendre à déterminer la mesure algébrique d'un vecteur projeté sur un autre vecteur
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Etape 4 : projeter les vecteurs sur l'axe en étant bien attentif au signe des projections L'angle repéré est celui que la pente fait avec
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du plan le carré scalaire du vecteur Dans un repère orthonormé le vecteur a pour coordonnées III) Projection orthogonale et produit scalaire:
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ce repère de l'angle de la rotation ces vecteurs se confondent avec les axes situation apparaît lorsque est une matrice de projection (que nous
[PDF] Dans un repère orthonormé direct on considère les vecteurs
1- Pour quelles valeurs de et les vecteurs et sont-ils colinéaires ? Dans un repère cartésien orthonormé 2- Calculer la projection de sur
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Un point M de l'espace est repéré par les trois composantes du vecteur ? l'angle (Ox OM?) o`u M? est la projection de M sur le plan xOy La notation
Comment bien projeter un vecteur ?
La projection d'un vecteur ? dans la direction d'un autre vecteur ? , donne un scalaire. Ce scalaire décrit la composante du vecteur ? dans la direction du vecteur ? . La projection orthogonale d'un vecteur a une interprétation très similaire.- La projection sur G parallèlement à F est l'application q = id – p, appelée aussi projecteur « associé » à p. L'image de q est alors le noyau de p, l'image de p est le noyau de q. Autrement dit : ker(p) = im(id – p) et im(p) = ker(id – p).
![VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE](https://pdfprof.com/Listes/17/24771-17Tvdp.pdf.pdf.jpg)
VECTEURS, DROITES
ET PLANS DE L'ESPACE
I. Vecteurs de l'espace
1) Notion de vecteur dans l'espace
Définition : Un vecteur de l'espace est défini par une direction de l'espace, un sens et une norme (longueur).Remarque :
Les vecteurs de l'espace suivent les mêmes règles de construction qu'en géométrie plane : relation de Chasles, propriétés en rapport avec la colinéarité, ...2) Translation
Définition : Soit ⃗ un vecteur de l'espace. On appelle translation de vecteur ⃗ la
transformation qui au point associe le point ', tel que : ′Remarque :
Les translations gardent les mêmes propriétés qu'en géométrie plane : conservation du parallélisme, de l'orthogonalité, du milieu, ...3) Combinaisons linéaires de vecteurs de l'espace
Définition : Soit ⃗, ⃗ et ⃗ trois vecteurs de l'espace.
Tout vecteur de la forme ⃗+⃗+⃗, avec , et réels, est appelé combinaison
linéaire des vecteurs ⃗, ⃗ et ⃗. Méthode : Représenter des combinaisons linéaires de vecteurs donnésVidéo https://youtu.be/Z83z54pkGqA
A l'aide du cube ci-contre, représenter les vecteurs ⃗, et ⃗donnés par : =2 1 2 2 A l'aide du cube, on construit un chemin d'origine A et formé des vecteurs (soit ) et =2 Méthode : Exprimer un vecteur comme combinaisons linéaires de vecteursVidéo https://youtu.be/l4FeV0-otP4
Dans le parallélépipède ci-contre, est le centre du rectangle .Exprimer les vecteurs
et comme combinaisons linéaires des vecteurs et• On commence par construire un chemin d'origine et d'extrémité à l'aide des
vecteurs ou ou des vecteurs qui leurs sont colinéaires. =-2 3II. Droites de l'espace
1) Vecteurs colinéaires
Définition : Deux vecteurs non nuls ⃗ et ⃗sont colinéaires signifie qu'ils ont même
direction c'est à dire qu'il existe un nombre réel tel que ⃗=⃗.
2) Vecteur directeur d'une droite
Définition : On appelle vecteur directeur de d tout vecteur non nul qui possède la même direction que la droite d.Propriété : Soit un point de l'espace et ⃗ un vecteur non nul de l'espace. La droite
d passant par et de vecteur directeur ⃗ est l'ensemble des points tels que les
vecteurs et ⃗ sont colinéaires.Propriété : Deux droites de l'espace de vecteurs directeurs respectifs ⃗ et ⃗ sont
parallèles si et seulement si les vecteurs ⃗ et ⃗ sont colinéaires.
4III. Plans de l'espace
1) Direction d'un plan de l'espace
Propriétés : Deux vecteurs non nuls et non colinéaires déterminent la direction d'un plan.2) Caractérisation d'un plan de l'espace
Propriété : Soit un point et deux vecteurs de l'espace ⃗ et ⃗ non colinéaires.
L'ensemble des points de l'espace tels que =⃗+⃗, avec ∈ℝ et ∈ℝ est le plan passant par et dirigé par ⃗ et ⃗.Remarque : Dans ces conditions, le triplet
est un repère du plan.Démonstration :
- Soit deux points et tel que ⃗= et ⃗= ⃗ et ⃗ ne sont pas colinéaires donc est un repère du plan (). Dans ce repère, tout point de coordonnées est tel que - Réciproquement, soit un point de l'espace tel que Soit le point du plan () de coordonnées dans le repère . Alors =⃗+⃗ et donc et sont confondus donc appartient à ().Remarque :
Un plan est donc totalement déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires. Propriété : Deux plans déterminés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles. 5Démonstration :
Soit deux plan P et P' de repères respectifs
et - Si P et P' sont confondus, la démonstration est triviale. - Dans la suite P et P' ne sont pas confondus. Supposons que P et P' possède un point en commun.Alors dans P, on a :
=⃗+⃗, où sont les coordonnées de dans P.Et dans P', on a :
=′⃗+′⃗, où sont les coordonnées de dans P'.Donc
⃗ donc appartient à P.Donc le repère
est un repère de P et donc P et P' sont confondus ce qui est contraire à l'hypothèse de départ. P et P' n'ont aucun point en commun et sont donc parallèles. Conséquence : Pour démontrer que deux plans sont parallèles, il suffit de montrer que deux vecteurs non colinéaires de l'un des plans sont respectivement colinéairesà deux vecteurs non colinéaires de l'autre.
Un exemple d'application :
Vidéo https://youtu.be/6B1liGkQL8E
IV. Positions relatives de droites et de plans de l'espace1) Positions relatives de deux droites
Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires. d 1 et d 2 sont coplanaires d 1 et d 2 sont sécantes d 1 et d 2 sont parallèles d 1 et d 2 sont strictement parallèles 6 d 1 et d 2 sont confondus d1 et d
2 sont non coplanaires
Exemple :
ABCDEFGH est un cube.
- Les droites (EG) et (FG) appartiennent au même plan (EFG) et sont sécantes en G. - Les droites (AD) et (FG) appartiennent au même plan (ADG) et sont parallèles. - Les droites (AD) et (CG) sont non coplanaires.2) Positions relatives de deux plans
Propriété : Deux plans de l'espace sont soit sécants soit parallèles. P 1 et P 2 sont sécants P 1 et P 2 sont sécants suivant la droite d 7 P 1 et P 2 sont parallèles P 1 et P 2 sont strictement parallèles P 1 et P 2 sont confondusExemple :
ABCDEFGH est un parallélépipède
rectangle. - Les plans (BCG) et (BCE) sont sécants suivant la droite (BC). - Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles3) Positions relatives d'une droite et d'un plan
Propriété : Une droite et un plan de l'espace sont soit sécants soit parallèles. d et P sont sécants d et P sont sécants en un point I 8 d et P sont parallèles d est incluse dans P d et P sont strictement parallèlesExemple :
ABCDEFGH est un cube.
- La droite (GI) et le plan (ABC) sont sécants en I. - La droite (EG) est incluse dans le plan (EFG). - La droite (EG) et le plan (ABC) sont parallèles.V. Parallélisme
1) Parallélisme d'une droite avec un plan
Propriété : Une droite d est parallèle à un plan P s'il existe une droite d' de P parallèle à d. 92) Parallélisme de deux plans
Propriété : Si un plan P contient deux droites sécantes d et d' parallèles à un plan P'
alors les plans P et P' sont parallèles.2) Parallélisme de deux droites
Propriété : Si deux plans sont parallèles alors tout plan sécant à l'un est sécant à
l'autre et leurs intersections sont deux droites parallèles.Méthode : Tracer l'intersection de deux plans
Vidéo https://youtu.be/4y00KbuCpsc
Construire l'intersection du plan (IMJ) avec le
cube ABCDEFGH. On construit la parallèle à (IJ) passant par M. En effet, les faces ABFE et DCGH sont parallèles donc le plan (IMJ) sécant à la face ABFE coupe la face DCGH en une droite parallèle à (IJ). De même, on trace la parallèle à (IM) passant par J. 10 On obtient les points K et L et ainsi l'intersection cherchée.Théorème du toit : P
1 et P 2 sont deux plans sécants.Si une droite d
1 de P 1 est parallèle à une droite d 2 de P 2 alors la droite d'intersection de P 1 et P 2 est parallèle à d 1 et d 2Méthode : Appliquer le théorème du toit
Vidéo https://youtu.be/TG-bVLDmAX4
ABCD est une pyramide. Le segment [FG]
est parallèle à l'arête [BC].E est un point du plan (ABC).
Construire l'intersection du plan (EFG)
avec la pyramide. (BC) est une droite du plan (ABC) et (FG) est une droite du plan (EFG). Les droites (FG) et (BC) étant parallèles, on peut appliquer le théorème du toit pour en déduire que les plans (ABC) et (EFG) se coupent suivant une droite d passant par E et parallèle à (FG) et (BC). Cette droite coupe [AC] en H et [AB] en I. D 11 Il suffit enfin de tracer le quadrilatère FGHI : intersection du plan (EFG) avec la pyramide.VI. Bases et repères de l'espace
1) Vecteurs coplanaires et bases de l'espace
Définition : Trois vecteurs sont coplanaires s'ils possèdent des représentants appartenant à un même plan.Propriété : Trois vecteurs ⃗, ⃗ et ⃗ de l'espace sont coplanaires, s'il existe un couple
de réels tel que ⃗=⃗+⃗. Application : Démontrer que 4 points sont coplanairesVidéo https://youtu.be/9baU60ZNioo
Propriété : Soit ⃗, ⃗ et trois vecteurs non coplanaires. Pour tout vecteur ⃗, il existe un unique triplet tel que ⃗=⃗+⃗+Démonstration :
- Existence : Soit un représentant de ⃗.Soit P le plan de repère
Si appartient à P alors
se décompose suivant les vecteurs ⃗ et ⃗.Supposons que n'appartient pas à P.
12 Soit d la droite passant par de vecteur directeurComme
n'est pas colinéaire avec ⃗ et ⃗, la droite d coupe le plan P en un point .
On peut écrire
appartient au plan P donc il existe un couple tel que est colinéaire avec donc il existe un réel tel queIl existe donc un triplet
tel que - Unicité : On suppose que l'on ait les deux écritures distinctes : Alors =0 Supposons que l'une au moins des trois différences n'est pas nulle, par exemple : -′≠0.Donc
⃗ et dans ce cas, les vecteurs ⃗, ⃗ et seraient coplanaires. Ce qui est exclu.Les trois différences
- et - sont donc nulles. Définition : Soit ⃗, ⃗ et trois vecteurs non coplanaires de l'espace. On appelle base de l'espace le triplet L⃗,⃗, M.Méthode : Reconnaitre une base de l'espace
Vidéo https://youtu.be/5a9pE6XQna4
ABCDEFGH est un cube.
1) Reconnaître une base de l'espace.
2) Décomposer le vecteurs
dans cette base.1) Les vecteurs
et sont non coplanaires donc forment une base de l'espace.2) Le vecteurs
se décompose dans la baseL
M en :
Méthode : Démontrer l'alignement par
décomposition de vecteurs dans une baseVidéo https://youtu.be/i4jDkJNtzZg
est un cube. Soit le milieu de [] et le point de [] tel que : 2 3 Démontrer que les points , et sont alignés. 13 Pour prouver cet alignement, on va démontrer que les vecteurs et sont colinéaires.Les vecteurs
et sont non coplanaires donc il est possible de décomposer les vecteurs et dans la base L M : 2 3 2 3Q
1 2R
2 3Q
1 2 1 2R=
2 3Q
1 2 1 2 R 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3Donc :
1 3Les vecteurs
et sont colinéaires et donc les points , et sont alignés.2) Repère de l'espace
Définition : Soit ⃗, ⃗ et trois vecteurs non coplanaires. est un point de l'espace. On appelle repère de l'espace le quadruplet L;⃗,⃗, M. Remarques : - est appelé l'origine du repère. - La décomposition donne les coordonnéesU du point .
- De même, la décomposition ⃗=⃗+⃗+
donne les coordonnées U du vecteur ⃗. Méthode : Lire des coordonnées dans l'espaceVidéo https://youtu.be/PZeBXIhNBAk
Soit un parallélépipède . est le milieu de []. et sont définis par : =2 et1) Dans le repère L;
M, donner les coordonnées
de tous les points de la figure.2) Placer le point
1;3;-1
141)X
0 0 0YX
1 0 0YX
1 1 0YX
0 1 0YX
0 0 1YX
1 0 1Y X
1 1 1Y X
0 1 1 Y X 1 1 0,5YX
1 -1 0,5YX
1 -2 1 Y 2)VII. Produit scalaire de deux vecteurs
1) Définition
Soit ⃗ et ⃗ deux vecteurs de l'espace. , et trois points tels que ⃗=
et . Il existe un plan P contenant les points , et .Définition :
On appelle produit scalaire de l'espace de ⃗ et ⃗ le produit ⃗.⃗ égal au produit
scalaire dans le plan P.quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] composante de la force musculaire
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