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4) On procède comme pour la question 1. médiatrice de [AC] admet pour équation. 5) Le centre du cercle circonscrit est à égale distance de A
Applications du produit scalaire. - Compléments de trigonométrie.
Déterminer une équation de la médiatrice d du segment [AB]. La droite d est orthogonale à la droite (AB) donc. AB est un vecteur normal à la droite d.
Première S - Application du produit scalaire : Géométrie analytique
Déterminer une équation cartésienne des droites suivantes : a) La médiatrice du segment [BC] b) La hauteur du triangle ABC issue de B.
ANALYSE DES VARIABLES MODÉRATRICES ET MÉDIATRICES
Les méthodes d'équations structurelles dont l'utilisa- tion en GRH ne cesse de se développer
Géométrie analytique
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En déduire une équation de la droite (d') médiatrice de [AC]. 3. Déterminer les coordonnées du point I
1S devoir n°9 lundi 18 mai 2015 Exercice 1 : (55 points) 1. On
18 mai 2015 Montrer que 10y-15=0 est une équation de la médiatrice du segment [BC]. c. Déterminer les coordonnées du point d'intersection I des droites.
Un corrigé du devoir surveillé n°2
(b) Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de C dans le triangle ABC. D n'appartient donc pas à la médiatrice de [AC].
COMMENT DEMONTRER……………………
Propriété: Si une droite est la médiatrice d'un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment en son milieu. Donc (D) ? (AB). On sait que ( A. ? ) est
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4) On procède comme pour la question 1 médiatrice de [AC] admet pour équation 5) Le centre du cercle circonscrit est à égale distance de A
[PDF] Équation cartésienne de la médiatrice dun segment
Dans chacun des exercices proposés ci-dessous déterminez une équation cartésienne de la médiatrice du segment [AB] Exercice 1 A (5; 3) et B (-3; 4)
Comment trouver léquation de la médiatrice dun segment - wikiHow
Pour trouver son équation il vous faut trouver les coordonnées du milieu du segment la pente entre ces deux points puis l'opposée inverse de cette pente
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Déterminer les équations paramétriques pour chacune des droites Exercice 20 Trouver les équations cartésiennes des médiatrices mAB MAC et MBC-
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18 mai 2015 · D1 est la médiatrice de [AB] donc elle est perpendiculaire à (AB) et passe par le milieu de [AB] est normal à donc a pour équation Soit E le
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Proposition-Dé nition 1 Médiatrice d'un segment Soit A = B deux points du plan Il existe une unique symétrie axiale qui envoie A sur B L'axe de cette
Médiatrice dun segment - Maxicours
La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui lui est perpendiculaire (d) est la médiatrice du segment [AB] Codage •
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En déduire une équation de la droite (d') médiatrice de [AC] 3 Déterminer les coordonnées du point I centre du cercle circonscrit au triangle
Comment calculer l'équation de la médiatrice ?
Si un point M appartient à la médiatrice (d) d'un segment [AB] alors il est à égale distance de A et de B. On a : MA = MB. Si un point M est à égale distance de deux points A et B, alors M est sur la médiatrice de [AB].Comment trouver l'équation d'un plan ?
Pour déterminer une équation cartésienne d'un plan passant par A et de vecteur normal \\vec{n}, on peut : donner la forme générale de l'équation : ax + by + cz + d = 0 ; remplacer les coefficients a, b, c par les coordonnées du vecteur \\vec{n} ; déterminer ensuite la valeur de d à l'aide des coordonnées du point A.Propriété
1La médiatrice d'un segment [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] qui passe par le milieu de ce segment.2Tout point de la médiatrice de [AB] est équidistant de A et B.3La médiatrice de [AB] est un axe de symétrie de ce segment.
Aix-Marseille Université????-????
Géométrie et arithmétique 1
PARTIEL1 - 9OCTOBRE2015
DURÉE: 2HEURES. SANS DOCUMENTS NI CALCULATRICES Exercice 1SoitE=R2ouR3muni d"un produit scalaire et soientu,v?Edeux vecteurs.1. Rappeler les définitions de la colinéarité et de l"orthogonalité deuetv.
Deux vecteursuetvdeEsont colinéaires si ou bienu=?0ou bien il existe un scalaireλ?Rtel que v=λu. Les vecteursuetvdeEsont orthogonaux par rapport au produit scalaire<,>donné si< u,v >= 0.2. Montrer que siuetvsont non nuls et orthogonaux alors ils ne
sont pas colinéaires.Dans toute la suite on note? · ?la norme associée au produit scalaire donnée, à savoir?u?=⎷
< u,u >, pour toutu?E.Supposons par l"absurde que les deux vecteursuetvnon nuls soient colinéaires et orthogonaux à la fois.
D"après la définition de colinéairité, on doit avoirv=λu, puisqueu?=?0. L"orthogonalité donne alors
0 =< u,v >=< u,λu >=λ?u?2. Puisqueu?=?0on a?u?2>0et il en suit queλ= 0. Dans ce cas,
cependant,v=?0ce qui est contre l"hypothèse.3. Enoncer l"inégalité de Cauchy-Schwarz.
Pour tousu,v?Eon a
et les deux membres sont égaux si et seulement siuetvsont colinéaires.Exercice 2Nous rappelons quemédiatriced"un segment est la droite orthogonale à ce segment et passant par
son milieu.SoientA?23?
,B?0 -1? etC?41? trois points du plan.1. Donner une équation paramétrique de la médiatricemABdu segment[AB].
La mediatrice est la droite par le pointH?11?
, qui est le milieu de segment[AB], et de vecteur directeur orthogonal àAB. Il est facile de vérifier que le vecteur?2
-1? est orthogonal à--→AB=?-2 -4? . Une équation paramétrique demABest alors?x= 1 + 2t y= 1-t.2. SoitD?mAB. Montrer que?--→AD?=?--→BD?.
Puisque la norme d"un vecteur est positive ou nulle, l"égalité considérée est vérifée si et seulement si
?--→AD?2=?--→BD?2. On considère?--→AD?2=--→AD·--→AD= (--→AH+--→HD)·(--→AH+--→HD) =?--→AH?2+?--→HD?2,
où la dernière égalité découle de la linéarité du produit scalaire et de l"orthogonalité entre--→AHet--→HD. Le
Aix-Marseille Université,L1, 2015- 20161Géométrie et arithmétique 1même calcul pour--→BDdonne?--→BD?2=?--→BH?2+?--→HD?2. On a--→AH=---→BH=--→AB/2et l"homogénéité
de la norme permet de conclure.On peut aussi montrer l"égalité en calculant les coordonnées des vecteurs--→ADet--→BDen fonction du
paramètret, puis leur normes.3. Donner une équation cartésienne de la médiatricemACdu segment[AC].
L"équation cartesienne est de la formeax+by+c= 0, où le vecteur?a b? est non nul et orthogonal à la médiatrice, donc colinéaire au vecteur AC=?2 -2? . L"équation est alors de la forme2x-2y+c= 0et on peut calculercen imposant que la droite passe per le milieu?32? du segment[AC]:2×3-2×2+c=0. Cela donnec=-2et l"équation cartésiennex-y-1 = 0, après simplification.
4. Trouver le pointMd"intersection des médiatricesmABetmAC.
Un pointPappartient àmABsi est seulement s"il est de la forme?1 + 2t 1-t? pour unt?R.Pappartient aussi à la droitemACs"il satisfait l"équationx+y-5 = 0. Les points demABqui sont aussi demAC sont ceux qui satisfont(1 + 2t)-(1-t)-1 = 0. Cela arrive si et seulement sit= 1/3, ce qui donne M?5/3 2/3?5. Montrer que?--→AM?=?--→BM?=?--→CM?.
Nous avons montré dans 2 que tout point de la médiatrice d"un segment est équidistant des extrémités du
segment. Puisque nous n"avons pas utilisé les coordonnées deAetBcela est valable pour tout choix de
AetB, en particulier pourAetC. Il en suit que le pointMqui appartient aux médiatrices de[AB]et de [AC]est équidistant deA,BetC.Exercice 3SoientA((-1
0 1)) ,B((-1 -1 2)) ,C((213)) etD((1 -2 0)) quatre points de l"espace.1. Vérifier que les trois pointsA,BetCne sont pas alignés.
Il est facile de voir que les vecteurs
AB=((0
-1 1)) et-→AC=((312)) ne sont pas colinéaires, puisqu"ils ne sont pas proportionnels, et donc les trois points ne sont pasalignés.2. Donner une équation paramétrique du planPpassant par ces trois points ; puis une équation cartésienne.
Le plan estA+R--→AB+R-→AC. Une équation paramétrique est ?x=-1 + 3s y=-t+s z= 1 +t+ 2s En éliminant les paramètrestetson obtient l"équation cartésiennex-y-z+ 2 = 0.3. Donner une équation paramétrique de la droite passant parle pointDet orthogonale au planP.
Aix-Marseille Université,L1, 2015- 20162Géométrie et arithmétique 1 Un vecteur orthogonal au plan, et donc directeur pour la droite, est((1 -1 -1)) . On en déduit une équation paramétrique pour le droite : ?x= 1 +t y=-2-t z=-t4. Donner la distance du pointDau planP.
En utilisant la formule
|ax0+by0+cz0+d| ⎷a2+b2+c2vue en cours on ad(D,P) =5⎷ 3 3.Exercice 4Considérons les pointsA((10
1 5)) etB((10 0 2)) deR3.1. Trouver une équation cartésienne du planPqui contient la droite(AB)et qui est parallèle à l"un des plans
d"équationx= 0,y= 0ouz= 0. Les plans parallèles aux plans d"équationx= 0,y= 0ouz= 0ont équation de la formex=a,y=bouz=crespectivement. Il en suit que tous les points de ces plans doivent avoir la même première, deuxième
ou troisième coordonnée rispectivement. Puisque les deux points donnés ont la même première coordonnée,
il en suit que le plan cherché est parallèle à celui d"équationx= 0et a équationx= 10.
2. Donner une équation paramétrique du planP?dont un vecteur générateur est orthogonal au planPet qui
contient la droite(AB).Le planP?est engendré par les vecteurs((100))
, orthogonal àP, et par le vecteur--→ABet passe parA. Une équation paramétrique deP?est donc???x= 10 +t y= 1-s z= 5-3s3. Donner une équation cartésienne du planP?.
En éliminant les paramètrestetson obtient3y-z+ 2 = 0.4. Donner une équation cartésienne et une équation paramétrique de la droite(AB).
La droite est contenue dans les plansP?etPqui ne sont pas confondus. Elle est donc l"intersection de ces
deux plans et une équation cartésienne pour la droite est : ?x= 103y-z+ 2 = 0
En prénanty=tcomme paramètre on en déduit une équation paramétrique : ?x= 10 y=t z= 2 + 3t Aix-Marseille Université,L1, 2015- 20163Géométrie et arithmétique 1quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] calculer la longueur d'une mediane dans un triangle quelconque
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