C1. Suites récurrentes dordre 1 ou Équations aux différences finies
Suite récurrente linéaire à coefficients constants. On dit qu'une suite (un)n?N est une suite récurrente linéaire à coefficients constants d'ordre p ? N.
C2. Suites récurrentes linéaires dordre 2
Feb 9 2018 Terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2. • Si l'équation caractéristique associée possède deux solutions.
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On appelle suite récurrente linéaire du premier ordre à coefficients constants et second membre constant une suite vérifiant une relation de récurrence de
SUITES RECURRENTES LINEAIRES DORDRE 2
Une suite u est récurrente linéaire d'ordre 2 si elle satisfait à la relation de Preuve : la suite nulle appartient à U qui n'est donc pas vide.
Compléments sur les matrices
3 Suites récurrentes linéaires d'ordre p. Une suite récurrente linéaire d'ordre p (à coefficients constants) est définie par. ?n ? N.
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termes d'une suite récurrente linéaire sur un corps sont des coefficients d'une série rationnelle. `a étudier les multi-suites formées des coefficients de
Unicité dune suite récurrente linéaire dordre 2
Oct 17 2016 Unicité d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 ... réels avec a = 0 et soient (un)n?N et (vn)n?N deux suites qui vérifient la même.
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Suites récurrentes linéaires d'ordre 2 à coefficients constants sans second membre. ?n ? N Terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2.
SUITES RÉCURRENTES LINÉAIRES
Suites récurrentes linéaires d'ordre 1. Soit ut = aut?1 +vt une suite récurrente linéaire d'ordre 1. Les solutions (ut) de cette équation sont du type.
Suites récurrentes linéaires : terme général et idempotents
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Définition On appelle suite récurrente linéaire du premier ordre à coefficients constants et second membre constant une suite vérifiant une relation de
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Pour tout polynôme P ? k[X] on note P(?) le polynôme d'endomorphisme associé Une suite u = (un) ? S(E) est dite linéaire récurrente s'il existe un entier r
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Suites définies par une récurrence linéaire Récurrence d'ordre 1 `a n composantes Soit A ? Md(K) On s'intéresse `a des suites vectorielles (Un)
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Notre principal intérêt ici est d'étudier quelques aspects de deux différentes généralisations de la notion de suite récurrente linéaire La premi`ere est celle
Comment résoudre une suite récurrente ?
Récurrence linéaire à 1 terme, uo donné et : (1) un+1 = aun + b : Les suites récurrentes à 1 terme, ou d'ordre 1, de la forme un+1 = aun + b où a, b et uo sont des nombres réels donnés, s'étudient très simplement : Le cas a = 1 correspond à une suite arithmétique de raison b.Comment résoudre une suite récurrente linéaire d'ordre 1 ?
Une suite (un)n?N est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 lorsqu'elle vérifie une relation de récurrence du type : ?n ? N,un+2 = aun+1 +bun où a et b sont deux constantes réelles, avec b ?= 0.Comment montrer qu'une suite est récurrente linéaire d'ordre 2 ?
Une suite (un) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 s'il existe deux nombres a et b tels que, pour tout entier n , on a un+2=aun+1+bun.
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SUITES RECURRENTES LINEAIRES
D"ORDRE 2
1 Définition
Soit (a,b) un couple deR×R?.
Une suite u estrécurrente linéaire d"ordre 2si elle satisfait à la relation de récurrence suivante :
?n?N, un+2=aun+1+bun(E)Exemple: suite de Fibonacci (cf. cours).
2 Quelques propriétés
Etant donné un couple (a,b) deR×R?, notonsUl"ensemble des suites u vérifiant la relation (E).1.Un"est pas vide.
Preuve :la suite nulle appartient àUqui n"est donc pas vide. 2. La donnée des de uxpremiers termes u0etu1définit une unique suite deU.3.Uest stable par combinaisons linéaires :
?(α,β)?R2,(u,v)?U?αu+βv?U. 4. Une suite géométrique de r aisonq non n ulleappartien tà Usi et seulement si q est solu- tion de l"équationx2=ax+b. Preuve :D"après la propriété précédente, nous pouvons poseru0= 1. ?n?N,qn+2=aqn+1+bqn?qn(q2-aq-b) = 0?qn?=0q2-aq-b= 0 Définition: l"équationx2=ax+bs"appelleéquation caractéristique.3 Expression en fonction de n
SoitΔle discriminant de l"équation caractéristiquex2=ax+b. Trois cas sont à distinguer :1.Δ>0. L"équation caractéristique possède dans ce cas deux solutions réelles distinctesr1
etr2et dans ce cas u appartient àUsi et seulement s"il existe(λ,μ)?R2tel que : ?n?N, un=λrn1+μrn22.Δ = 0. L"équation caractéristique possède une solution double notée r. Dans ce cas u
appartient àUsi et seulement s"il existe(λ,μ)?R2tel que : ?n?N, un= (λn+μ)rn3.Δ<0. L"équation caractéristique possède deux solutions complexes conjuguéesωet¯ω.
Posons r =|ω|etθ= argω. Dans ce cas u appartient àUsi et seulement s"il existe (λ,μ)?R2tel que : ?n?N, un=λrncos(nθ) +μrnsin(nθ)Remarque: Dans les trois cas ci-dessus, le couple(λ,μ)est déterminé à partir des valeurs
des premiers termes de la suite u (cf. infra). 14 Exemples
Etudier les suites suivantes :
1.un+2=-un+1+ 2un,u0= 0,u1= 3.
L"équation caractéristique estx2+x-2 = 0. Elle admet pour solutions les réels 1 et -2.Par conséquent :
?n?N, un=λ+μ(-2)n. En remplaçant n par 0 puis par 1, nous obtenons le système suivant : ?λ+μ=0λ-2μ=3
Doncλ= 1etμ=-1.
Conclusion :?n?N, un= 1-(-2)n.
2.un+2= 6un+1-9un,u0= 5,u1= 6.
L"équation caractéristique estx2-6x+9 = 0. Elle admet pour solution double le réel 3.Par conséquent :
?n?N, un= (λ+μn)3n. En remplaçant n par 0 puis par 1, nous obtenons le système suivant : ?λ=53(λ+μ)=6
Doncλ= 5etμ=-3.
Conclusion :?n?N, un= 3n(-3n+ 5).
3.un+2= 9un,u0= 5,u1= 1.
L"équation caractéristique estx2-9 = 0. Elle admet pour solutions3iet-3i.Par conséquent :
?n?N, un=λ3ncos? nπ2 +μ3nsin? nπ2 En remplaçant n par 0 puis par 1, nous obtenons le système suivant : ?λ=53μ=1
Doncλ= 5etμ=13
Conclusion :?n?N, un= 5·3ncos?
nπ2 +13·3nsin?
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